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一共有多少个正三角形[汇总]

一共有多少个正三角形[汇总]一共有多少个正三角形[汇总] 一共有多少个正三角形, 陕西省兴平市阜寨镇教委张晨把正六边形的各边n等分～用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样～正六边形就变成了由许多相同的小正三角形组成的网格状图形。那么～一共有多少个大小不同的正三角形呢,这是一个有趣又有一定难度的数数问题。这个问题如何解答,我们可以从研究分析简单的情形入手～最后归纳出一般的结论。如图～把正六边形的各边2等分～用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样～正六边形就变成了由有限个相同的小正...

一共有多少个正三角形[汇总] 一共有多少个正三角形, 陕西省兴平市阜寨镇教委张晨把正六边形的各边n等分～用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样～正六边形就变成了由许多相同的小正三角形组成的网格状图形。那么～一共有多少个大小不同的正三角形呢,这是一个有趣又有一定难度的数数问题。这个问题如何解答,我们可以从研究分析简单的情形入手～最后归纳出一般的结论。如图～把正六边形的各边2等分～用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样～正六边形就变成了由有限个相同的小正三角形组成的网格状图形。图中一共有多少个大小不同的正三角形呢, 通过观察分析可以发现～图中既有正立,?,的正三角形～又有倒立,?,的正三角形,既有边长为1,图中小正三角形的边长规定为1个单位长度,的小正三角形～又有边长为2和3的大正三角形。而且～由于正六边形的对称性～所有正立正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等。下面我们从上到下逐行数出所有正立正三角形的个数。第一步～边长为1的正立正三角形有: 3+4+3+2=12,个, 第二步～边长为2的正立正三角形有: 3+2+1=6,个, 第三步～边长为3的正立正三角形有1个。所以正立正三角形的个数是:12+6+1=19,个, 因为正立正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等～所以图中一共有19×2=38,个,大小不同的正三角形。通过进一步的观察和分析～我们发现正六边形各边的等分数n分偶数和奇数两种情形～即当n=2m和n=2m+1时正六边形中正三角形的个数有不同的结论。先看当n=2m时正六边形中正三角形的个数。同上～我们只要先从上到下逐行求出边长为1，3m(边长为3m的正立正三角形是正六边形中最大的正立正三角形)的正立正三角形的个数～再乘2～就可以得出正六边形中全部正三角形的个数。第一步～边长为i(1?i?2m)的正立正三角形的个数是: (2m+1)+(2m+2)+…+,4m+1-i,+(4m-i)+…+(2m+1-i) =,(2m+1)+(2m+2)+…+(4m-i),×2+,4m+1-i,+2m+(2m-1)+ …+(2m+1-i) 1=(6m+1-i)(2m-i)+,4m+1-i,+i(4m+1-i) 2 11222=12m+2m-8mi-i+i+4m+1-i+2mi+i-i 22 11221=12m+6m+1+i-6mi-i 22 第二步～边长为2m+j(1?j?m)的正立正三角形的个数是: (2m+1-2j)+ (2m-2j)+ …+1 =(2m+1-2j+1)(2m+1-2j)?2 =(m+1-j)(2m+1-2j) 22=2m+3m+1+2j-4mj-3j 第三步～边长为1，2m的正立正三角形的个数是: 2m1122(12m+6m+1+i-6mi-i) 1,22i,1 112222=2m(12m+6m+1)+ ,1+2+…+(2m),-(6m+)(1+2+…+2m)122 1123=24m+12m+2m+m(2m+1)(4m+1)-m(2m+1)(6m+1)62 11132323211=24m+12m+2m+m+m+m-12 m-9m-m 362 1232=13m+4m+m 33 11222注: 1+2+…+(2m)=(2m)(2m+1)(4m+1)=m(2m+1)(4m+1)63 11+2+…+2m=(2m)(2m+1)=m(2m+1) 2 第四步～边长为2m+1，3m的正立正三角形的个数是: m22,2m+3m+1+2j-4mj-3j, ,j,1 2222=m,2m+3m+1,+2×(1+2+…+m)-(4m+3)(1+2+…+m) 112=m,2m+3m+1,+m(m+1)(2m+1)-m(m+1)(4m+3)32 211132323231=2m+3m+m+m+m+m-2m-m-m 3322 21123=m+m-m 326 所以当n=2m时正六边形中大小不同的正三角形的总数是: 122112233,13m+4m+m+m+m-m,×2 33326 1123=,14m+4m+m,×2 22 23=28m+9m+m (个) 再看当n=2m+1时正六边形中正三角形的个数。第一步～边长为i(1?i?2m)的正立正三角形的个数是: (2m+2)+,2m+3,+…+,4m+3-i,+(4m+2-i)+…+(2m+2-i) =,(2m+2)+…+(4m+2-i),×2+,4m+3-i,+,(2m+1)+ … +(2m+2-i) , 1=(6m+4-i)(2m+1-i)+,4m+3-i,+i(4m+3-i) 2 112221=12m+14m+4-8mi-5i+i+4m+3-i+2mi+i-i22 11224=12m+18m+7+i-6mi-i 22 第二步～边长为2m+j(1?j?m+1～边长为3m+1的正立正三角形是正六边形中最大的正立正三角形)的正立正三角形的个数是: (2m+4-2j)+ (2m+3-2j)+ …+1 =(2m+4-2j+1)(2m+4-2j)?2 =(m+2-j)(2m+5-2j) 22=2m+9m+10+2j-4mj-9j 第三步～边长为1，2m的正立正三角形的个数是: 2m1122( 12m+18m+7+i-6mi-i) 4,22i,1 112222=2m(12m+18m+7)+ ,1+2+…+(2m),-(6m+)(1+2+…+2m)422 1123=24m+36m+14m+m(2m+1)(4m+1)-m(2m+1)(6m+)462 111222333=24m+36m+14m+m+m+m-12 m-15m-m14362 1223=13m+22m+9m 33 第四步～边长为2m+1，3m+1的正立正三角形的个数是: m，122(2m+9m+10+2j-4mj-9j) ,j,1 2222=,m+1,,2m+9m+10,+2×,1+2+…+,m+1),-(4m+9) ,1+2+… +,m+1), 112=,m+1,,2m+9m+10,+(m+1)(m+2)(2m+3)- (m+1)(m+2) 32 (4m+9) =2m+11m+19m+10+m+3m+m+2-2m-m-m-9 3322 2153235=m+m+m+3 326 所以当n=2m+1时正六边形中大小不同的正三角形的总数是: 12215323235(13m+22m+9m+m+m+m+3)×2 33326 1132=,14m+25m+15m+3,×2 22 32=28m+51m+31m+6(个) 下表是正六边形各边等分数n为1，6时正六边形中大小不同的正三角形的总数: 等分数n 1 2 3 4 5 6 正三角形 6 38 116 262 496 840 的总数有兴趣的读者可以亲自画图数一数～分析验证一下。

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