数论1质数与合数
质 数 与 合 数
【质数与合数的定义】
质数是指那些大于 1的，且除了 1 和它本身外再没有其他约数的自然数。
合数是指一个正整数具有除了 1 和自身以外的其他约数的自然数。
注意:
(1)只有 1 和它本身两个约数的数，叫质数。
(如:2?1=2，2?2=1，所以 2的约数只有 1和它本身 2这两个约数，2就是质数。
(2)除了 1 和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数。
(如:4?1=4，4?2 =2，4?4=1，很显然，4的约数除了 1和它本身 4这两个约数以外，还有约数2，所以4是合数。)
(3)1既不是质数也不是合数。因为它的约数有且只有 1 这一个约数。
(4)判断一个数是质数，还是合数，可以根据它约数的个数来确定:
只有两个约数的数是质数;
有三个或三个以上的约数的数是合数;
有且只有一个约数的数既不是质数也不是合数。
两个正整数只有一个公约数 1 时，它们的关系叫做互质，如3和11互质。
1 和任何数都成倍数关系，但和任何数都互质。
因为 1 的因数只有1，而互质数的原则是:只要两数的公因数只有 1时，就说两数是互质数。
1 只有一个因数，无法再找到 1 和其他数的别的公因数了，所以 1 和任何数都互质。 几种常见的互质情况:
(1)1与任何数互质。 (2)质数与质数之间是互质的。
(3)相邻的两个自然数是互质的。 (4)相邻的两个奇数是互质的。
(5)2与任何奇数都互质。
(6)一个质数和一个合数，当质数大于合数的时候，这两个数一定互质。 【例 1】 (难度星级??)有一个质数，它加上10是质数，加上14也是质数，这个数是多少,
【拓展】(难度星级??)将 2008写成 3个质数之和，其中最大的质数最大是多少,
【例 2】 (难度星级??)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同。如果个位数字等于前两个数字之和，那么这个数是几,
【铺垫】(难度星级??)五个连续的自然数，每个数都是合数，这 5个连续自然数和的最小值是多少,
【例 3】 (难度星级???)写出 12个都是合数的连续自然数。
【例 4】 (难度星级???)机器人对自然数从 1开始由小到大按如下的规则进行染色:凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大染下去，则第1992个数是多少,
【拓展】(难度星级????)分子小于 6而分母小于60的不可约分的真分数有多少个,
分解质因数
【一、分解质因数的定义】
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例:12 =2×2×3
【二、分解质因数的
方法
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】
举个简单例子，12的因数分解可以有以下几种:
12 = 2×2×3 = 4×3 =l×l2，其中 1，2，3，4，6，12都可以说是12 的因数，即相乘的几个数等于一个自然数，那么这几个数就是这个自然数的因数。
2，3，4中，2和3是质数，就是质因数，4不是质数。
那么什么是质数呢,就是不能再拆分为除了 1 和它本身之外的因数的数，如 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29等等，质数没有什么特定的规律，最大的质数仍然在计算当中。
我们常用的方法就是短除法。
【三、唯一分解定理】
aaak12nppp,,,, 每一个大于 1的自然数 n都可以写成质数的连乘积，即(1)，其中12kppp,,
标准
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分解。
【铺垫】(难度星级??)在1998 的两位数的因数中，其中最大的是哪个数,
【例 5】(难度星级??)有10张标有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29的纸牌，从中抽出一张，记住其数字后放回去重洗，再抽出一张记住其数字后又放回重洗。如此进行四次，记住的四个数乘积为 P，那么 136，198，455，1925，2001五个数不能等于P的是多少,
【例 6】 (难度星级??)三个质数的乘积恰好等于它们的和的 11倍，求这三个质数。
【例 7】(难度星级????)请在算式l口×l口= l口×l口中的四个方框填入四个互不相同的数码，使等式成立,所填四个数码的和是多少,
【铺垫】(难度星级???)两个两位数的整数，乘积是6975，这两个数中较小的数是多少,
【例 81 (难度星级???)幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新入园一位小朋友，这样每个小朋友就要少分 2个苹果。则原来有多少个小朋友,
【拓展】(难度星级???)11112222个棋子排成一个大的长方阵。每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多一个。这个长方阵每一横行有棋子多少个,
最 值 问
题
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有些数学问题中，题目中量的变化是在一定的范围之间，我们常把求量变化范围最大和最小两个极端点的问题归结为最值问题。求解最值问题没有固定的一成不变的方法，原因是此类问题可以涉及的知识
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繁多，而且变化多端。在解决最值问题的时候，我们要本着具体问题具体分析的原则，采用试验，归纳，估计，枚举，反证，构造，应用抽屉原理、奇偶分析、不等式等手段，把量的变化推向极端进而求解。
【铺垫】(难度星级??)有红、蓝、黄、黑四种颜色同一规格的运动鞋各 5 双，杂乱地堆放在一个大布袋中。如果闭着眼睛取鞋，至少从布袋中取出多少只鞋，才能保证有2双同色的运动鞋。
【例 9】(难度星级???)袋中有红球40个，白球20个，黄球25个，黑球15个。那么至少从袋中摸出多少个球，才能保证摸出的球中红、白、黄、黑4种颜色都有。
【巩固】(难度星级???)房管员不小心把11个房间的11把钥匙弄混了，若每把钥匙恰好能开启一个房间，则至少试多少次才能一定把房间与钥匙配对好,
【例 10】(难度星级???)一个自然数N乘以 13后，后三位是579。N最小是多少,
【铺垫】(难度星级??)如果有13个互不相同的自然数，他们的和是102，那么这13个数之中，最大的那个自然数至少是多少,
【例 11】 (难度星级???)有13个不同的自然数，它们的和是100。问其中偶数最多有多少个,最少有多少个,
【铺垫】(难度星级???)三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少,
【例 12】(难度星级????)盒中装有10分，20分，25分面值的邮票，其中20分邮票的张数是10分邮票张数的 3倍还多 1，25分邮票的张数是20分邮票张数的5倍还多 3。问:盒子中全部邮票总面值最少是多少分,
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