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-复数开方与实系数一元二次方程-宝山补习班新王牌
复数开方与实系数一元二次方程 一、基础
知识点
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1. 复数开方 若 , , *Nnzx n ，则称 x 为 z 的一个 n 次方根. 2. 复数 z 的平方根有两
个，立方根有三个. 3.1 的立方根 设 i 2 3 2 1,,
，则 1，
， 2
都是 1 的立方根.
4.
的性质 (1) 1 3 ;
(2) 0 1 2 ,,
;
(3)
2 . 5. 实系数一元二次方程 , , 0,,,02 ,, aRcbacbxax 的根
判别式 ac b 4 2 ,
(1) 0 方程有两个不相等的实根
a
b
2 ,
;
(2) 0 方程有两个相等的实根
a b 2 , ;
(3) 0 方程有两个共轭虚根 a
b
2 ,
，虚根成对出现.
二、基础自测
1.-1 的平方根为 .
2. i 43 , 的平方根是 .
3. i 68 , 的平方根是 .
4. 记 i 2 3 2 1,,
，则 , 1 .
5. 1 , 的立方根为 .
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6. 计算:, , , , , ,
,, ,,,
2
12
156
2 1
2 112 3131 iii ii .
7. 方程 , , Rpkpxx ,, 02 有一根为 i 21 , ，则实数 k= .
8. 方程 , , , , Rkkixikx ,,,, 0222 有实根，则 k .
三、典例解析
【例 1】设
是方程 1 3 x 的一个虚数根，则, ,, , ,,,, 4 242 11
.
【例 2】已知等比数列 n zzzz ,,,, 321 ，其中 , ,. 0,,,1 321 , , x Ryxxiyzyixzz ，且 (1)求 y x、 的值; (2)试求使 0 321 ,,,, n zzzz 的最小正整数 n; (3)对(2)中的正整数 n，求 n zzzz 321 的值.
【例 3】(1)非零复数 c ba , , 满足
cba cbaz
a c
c b
b a
,, ,,
,1 ，求 9 21 z zz , ,,, 的值.
(2)已知 0 1 2 ,, x x ，求 200 1001 x x,
的值.
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【例 4】求复数i的立方根.
【例 5】已知
、 是实系数一元二次方程 0 2 ,, c bxax 的两个虚根，且 R 2 ，求 .
【例 6】已知关于 x 的实系数方程 0 322 ,,, k kkxx 有一个模为 2 的虚根，求实数 k 的值.
【例 7】已知 2 1,xx 是实系数方程 0 2 ,, p xx 的两根，且满足 3 21 ,xx ，求实数 p 的值.
【例 8】已知 z 为复数. (1)若 0 1 , z z ，求 z. (2)若 2 12 , , z z ，求 . z 苏 L 老师 高二数学—寒假班 新王牌教育 www.xwp.com400-000-9755 -14高中数学组
【例 9】在复数范围内解方程: , ,
i iizzz , , ,, 2 32
(i 为虚数单位).
【例 10】(1)设 2 ,02,, 2 2 221 2 121 ,, z zzzzCzz ，则以 1 z 为直径的圆的面积为 (2)若 2 1,zz 为复数，且 0 1221 z zzz ，则
2
1
z z
的值是( )
A. 实数 B. 虚数 C. 纯虚数 D. 实数或纯虚数
(3)设复平面上三点 C BA 、 、 对应的复数分别为 3 21 z zz 、 、 ，若 i zz zz 3 41 13
12 , , ,
，则 ABC
的三边长之比为 .
四、巩固练习
1. i 24-7 的平方根是 .
2.
, , , , , , 5 4 31 22 i i
.
3. i 2 3 2 1,,
，则 , 22 1
.
4. 复数 i , 的一个立方根是i，它的另外两个立方根是( ) A. i 2 1 2 3 B. i 2 1 2 3 , C. i
2 1 2 3 , D. i 2 1 2 3 ,
5. 方程 0 42 ,, k xx ，有一根为 i 21 , ，则 k= . 6. 已知 1 z ，则 6 ,,, ziz 的最小值为 .
7. 已知 3 1 ,z ，则 z 的最大值为 .
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8. 已知方程 , , Rbabaxx ,, ,02 的一个根是 i 31 , ，求 b a, 的值. 9. 已知
、 是实系数一元二次方程 0 32 ,, mxx 的两个根，求
, 的值.
10. 已知 10 33 ,,, zz 且 8 55 ,,, i ziz ，求复数 z.
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