关于含有Wallis公式的双边不等式

关于含有Wallis公式的双边不等式 关于含有公式的双边不等式W a ll is 赵德钧 ( 浙江大学数学系, 浙江 杭州 310027; 绍兴文理学院数学系, 浙江 绍兴 )312000 摘要: 得到了含有公式的一个简洁且更为精细的双边不等式. W a llis 关键词: 双边不等式; W a llis 公式; 积分不等式 J. W a llis 乘积公式 ( ) 2n - 1! ! 1 ()～1 () 2n ! ! Πn 可以改进为如下更便于应用的双边不等式 () 1 2n - 1! !1 ()< 2 < () 2n ! ! (())Πn + 1ƒ2 Πn + 1ƒ4 此后关于这一不等式的改进仍经久这一结果是由 D. K. K aza r ino ff 于 1956 年给出的. 不衰. 本文继续这一问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的讨论. 我们得到如下的 定理 当 n Ε 1 时, 有 ( ) 1 2n - 1! ! 1 ()3 < < () 2n ! ! 1 1 Πn 1 + Πn 1 + 4n - 1ƒ2 4n - 1ƒ3 我们首先建立以下的积分不等式. 引理 当 t > 1 时, 有 t 1 1 1 v 1 1 ()4 - < + dv <2 2 2 t ?0 1 +() () 4 t 2 1 + tv 4 1 + t 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 利用分部积分得 t t 1 1 1 v v 1 1 v t- 1 dv = vr -dv =dv2 ?0 ?0 1 +?0(2 t 1 + v t 1 + ) v v 1 1 1 1 1 t- 1 () 5 > - v dv =- 2?2 t 2 t 4 t 4t 0 () () 此即 4之左边. 又由 5得 t+ 1 t+ 1 t 1 1 1 v v v 1 t dv = v = - ddvv - ?0 1 +v ?01 + t ?0 1 + 1 + v v 1 1 1 < - - 2( )( ) t + 1 2 1 + 4 t + 1 t 1 1 ()= + 证毕 2( ) 2 t + 1( ) 4 t + 1 定理的证明 记 ( ) 2n - 1! ! 1 A = n 1 + n, Α () 2n ! ! 4n - Α () 则由 1得 n 1 1 1 1 lo gA n, Α = lo gn + lo g1 + + lo g1 - ? 2 2 n - 2k 4Α k = 1 1 1 1 lo g= lo g 1 - + 1 + 2n 2 n - Α 4 n- 1 1 1 1 lo g+ lo g 1 - + 1 + ? 2k 2 k k = 1 1 1 1 lo g 1 ++ = - lo g Π + lo g 1 - 2n 2 4n - Α ? 1 1 1 lo g- lo g 1 - + 1 + ? 2k 2 k k = n 1 1 1 lo g= - lo g Π + lo g 1 - + 1 + n 2 24n - Α ? 1 1 1 lo g- lo g 1 - + 1 + ? () 2 n + k 2 n + k k = 0 ()()Χ - Π + f n , Α 6 lo g 注意到 1 1 1 1 + lo glo g 1 - 1 + ～ 2) (() 2 n + k 2 n + k n + k () () 因此 f n , Α中的级数绝对收敛. 现考虑含参数 Α的函数 f x , Α, 易知有 ()() 7 0 f ?, Α= 另一方面 1 1 1 1 1 () f ′x , Α= - + - () x - 1ƒ2 x 2 x + 1 - Αƒ4 x - Αƒ4 ? 1 1 1 1 1 --- - ? x + 2 x + k x + k + 1 x + k - 12 ƒk k = 0 ? 1 1 1 1 1 1 ()8 = + - - - ? ) (x - 1 - Α4 x - Α4 ƒƒ2x 2 x + k - 12 x + k ƒk = 1 记 ? x + k x + k - 1ƒ2 t t ( ) g t= - ? x + k - 1ƒ2 x + k k = 1 x x - 1ƒ2 t t - ( ) () ( ) 从而. 则 g t绝对收敛, 且 g 0= 0, g ′t= 1 - t x 2x x - 12 ƒt t v v v -( ) g t= v = dvd2 ?v 1 - ?01 + 0v 因此 ? 2x 1 1 1 v () ()g 1= 9 - = 2 d v ? ?0 x + k - 1ƒ2 x + 1 + v k k = 1 () () 合并 8, 9即得 2x 1 1 1 1 1 v () - - 2 dv f ′x , Α= + (x + 1 - ) x - Α4 ?0 1 + vƒx 2 2Αƒ4 当 Α= 1ƒ2 时, 利用引理得 2x 1 1 1 v () f ′x , 1ƒ2= v - - 2 d2 ?0 x v 21 + 8x - 8 1ƒ 1 1 1 1 2 - < - - 2 28 2x x - 4x 16x 8 1ƒ 1 1 = - < 0 22 8x 8x - 1ƒ8 ) () (() () 12> ƒ据此并由 7知, 当 x Ε 1 时, 恒有 f ,x 0. 从而由 6知 3之左边成立. 当 Α= 13 时, 类似地有ƒ 2x 1 1 1 v () v - - 2 df ′x , 13= ƒ() ()?0 1 + vx - 1ƒ12x + 1ƒ6 8 2x 1 1 1 1 > - 2 + - 2() () 2 2x + () ()1 18 x - 1ƒ12x + 1ƒ6 2x 4 2x + 2 6x - 13x - 1 () 当 x Ε 3 时= > 0 2 ) ) ()((6 1ƒ576x x + 1ƒ2x - 1ƒ12x + () ( ) ( ) ) (据此并由 7知, 当 x Ε 3 时, 恒有 f x , 1ƒ3< 0. 从而由 6知当 n Ε 3 时 3之右边成 () ()立. 而当 n = 1, 2 时直接验算知 3之右边成立. 证毕 () 作为不等式 3的一个直接应用, 可以得到 数C a ta lan 2n 2n ( ) n - 1! ! 21 2 C = = r n ) (1 2n ! ! n + 1 n + n 的如下估计: 2n 2n 21 2 1 ()C < 9 r < r n (())n + 1 n + 1 Πn Πn 1 1 1 + 1 + 4n - 12 4n - 13 ƒƒ这一结果已优于文2中给出的相应估计. 参考文献: 1 广西: 广西人民出版社, 1986. M it r ino v ic D S, V a sic P M 著, 赵汉宾译. 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 不等式[M . ( ) 2 徐利治, 罗笑南. 关于含有 S t ir ling 公式的双边不等式[J . 数学研究与评论, 1999, 19 3: 491—494. - ′On a Twos ided In equa l ity In vo lv in g W a ll iss Form ula 2ZHA O D eju n (). , , 312000, D ep to f M a th em a t ic sSh ao x ing Co llege o f A r t s and Sc ience sSh ao x ing C h ina : 2′. A bstrac tA co nc ise and sh a rp e r tw o sided inequa lity invo lv ing W a lliss fo rm u la is o b ta ined 2′; ; Keywords: tw o sided inequa lityW a lliss fo rm u lain teg ra l inequa lity