线性非齐次方程待定函数法及相关定理证明

线性非齐次方程待定函数法及相关定理证明 线性非齐次方程待定函数法及相关定理证 明 第25卷第4期辽宁 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 技术大学2006年8月 —————————l:坠-一一;:.;一——些-- 文章编号:1008.0562(2006)04-0638—03 线性非齐次方程待定函数法及相关定理证明 夏志 (渤海大学数学系,辽宁锦州121000) 摘要:把数理方程混合问题的方程和边界条件视为一个整体,给出了齐次方程加齐 次边界条件的形式通解的概念并证明了相关定 理,还证明了非齐次方程加非齐次边界条件的形式通解的结构定理, 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 了待定函 数法解题步骤及一般形式,提供了求解线性非齐次 方程混合问题的简便解法. 关键词:形式通解;分离变量法:待定函数法 中图分类号:0151文献标识码:A Theoremofmethodofundeterminedfunctionforlinear nonhomogeneousanditsproof XIAZhi (DepartmentofMathematics,BohaiUniversity,Jinzhou121000,China) Abstract:Inthispaper,regardingtheboundaryconditionofthemixedproblemofequationof mathematical physicsasaunity,wepresenttheconceptofformalgeneralsolutionofhomogeneousequation withhomogeneous boundaryconditionandtheproofofrelevanttheorem.Furthermore,weprovethestructurethe oremofgeneral solutionofnonhomogeneousequationwithnonhomogenousboundarycondition.Finally,w elistthestepsof methodofundeterminedfunctionanditsapplicablerange,Thispaperprovidesasimplemeth odforsolving themixedproblemoflinearnonhomogeneousequation. Keywords:formalgeneralsolution;methodofseparationofvariables;methodofundetermin edfunction 弓I言 参考文献【1】在分离变量法的基础上给出了求 解双曲型方程,抛物型方程混合问题以及椭圆型方 程边值问题的待定函数解法.它引进了线性方程+ 边界条件的形式通解的概念,把线性常微分方程定 解问题的理论与 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 平行推广到线性偏微分方程 的定解问题中来.待定函数法的解题思路是,先求 方程+边界条件的形式通解,然后由初始条件来 确定形式通解中的任意常数.这种解题方法条理清 晰,便于掌握,是求解线性方程混合问题的行之有 效的方法'6】.本文对文献【1】中提出的理论问题进 行了论证,并给出了待定函数法的一般形式. 本文中所提及的方程如不特别标明,皆指线性 偏微分方程. 1齐次问题形式通解定理 为讨论方便,引进如下线性微分算子符号记 着+易+c等+d+音七 三+JIz d 其中,a,b,C,d,e,k,h是实常数,是法向 d 导数. 于是线性非齐次方程+非齐次边界条件可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为 f8u=f在区域内 (I1l=g在的边界上 其中,U足未知函数:,,g是已知函数. 与问题(I)对应的线性齐次方程+齐次边界 条件为 f=0在区域内 (II1MI=0在勺边界上 (I)简称非齐次问题,(II)简称齐次问题. 说明:对于双曲型,抛物型方程的混合问题, (I),(II)中的边界条件就是全部边界条件.对 于椭圆型方程的边值问题,(I),(II)中的边界 条件是指确定特征值,特征函数的那组边界条件. 收璃日期:2005-09.12 基金项目:辽宁省教育厅疑助项目(2004C057). 作者简介:夏志(1946一),男,辽宁锦州人,副教授,主要从事偏微分方程方面研究.本 文编校:赵娜 第4期夏志:线性非齐次方程待定函数法及相关定理证明639 定理1设(=1,2,…)是问题(II)由分离变量 法得到的一系列特解.若级数>U在上一致收??_'' n=l 敛,且可以对,Y逐项求二阶偏导数,则U=>U??_.. n=l 是(II)的解,且包含了(II)的任一解. 证明由已知条件,(=1,2,…)是对应于 特征值的特解,所以有 f=0 1l=o 由于>U一致收敛且可以对,Y逐项求导两次,J?_.. n=l 故有 ???J?J = ?=o?I=?一=on=ln=ln=lIn=lI 即U=>U是问题(II)的解.J?_.. n=l V~-V~IEu=?U包含(II)的任何一个解.n=l 若是(II)的任一解,由于>U是(II)』_一" n=l 的解,且U中含有任意常数,可设=>U,若"』" n=l 从该式中能唯一确定U中的任意常数,则表明含 在?U之中.注意到=(f)x()是由分离变n=l 量法得到的问题(II)的解,由施图姆一刘维尔关 于固有值的理论,{X())构成完备正交系.而任 一 解必满足某一初始条件,将该初始条件代入 = >U中,必能唯一确定U中的任意常数,使』"" n=l 得可由级数>U表出,即U=>U包含了(II)』"』" n=ln=l 中的任何一个解. 定义定理1中的函数项级数U=>U称为J?_.. n=l 问题(II)的形式通解. 作为齐次的波动方程,热传导方程的齐次边 值问题以及拉普拉斯方程齐次边值问题,可以看作 问题(II)的特殊情形,此时定理1可作如下推广 推论1设 = 喜(s+nin竽是 (II)t』Uu2-0 lu(O,f)=0,u(1,f)=0 以对,f逐项求导两次,则该级数是(II)'的 推论2设:e下n2~2a2f sin是问题 (II)..』n:o lu(O,f)=0,u(1,f)=0 由分离变量法得到的级数,若该级数一致收敛,H 可以对逐项求导两次,对Z逐项求导一次,则该 级数是问题(II)"的解,且包含了(II)"的任 何一个解. 注:对于一维热传导方程的其余两类边界条 件,也有类似于推论2的结论. 把定理1推广到拉普拉斯方程圆域上的边值问 推论3设"=+?(COSrl+BSin,l)r 11. lug0,o~I<oo 由分离变量法得到的级数.若该级数一致收敛,且 可以对r,逐项求导两次,则该级数是问题(II) 的解,且包含了(II)的任何一个解. 2非齐次问题形式通解的结构 定理2设=>U是(II)的形式通解,U』_一" n=l 是(I)的某个特解,则U=+是(I)的解, 且包含了(I)的任何一个解,称为(I)的形式 通解. 证明先证U=+是(I)的解,由已知 640'辽宁工程技术大学第25卷 条件及定理1,有 (+U)=廊+:0+f=f (+)l=I+l=0+g=g 即U=+U是(I)的解. 设是(I)的任一解,则有 = 厂 I=g 从而有 (一U)=一=一f=0 fl(~-)I=I一8ug—g=0 上式表明,一U是问题(II)的解,由定理1, 它可由(II)的形式通解表出,故有 =+U. 定理2给出了问题(I)形式通解的结构, 即(I)的形式通解等于对应齐次问题(II)的形 式通解再加上(I)的某个特解. 3待定函数法解题步骤及一般形式 已给线性非齐次方程混合问题 f=f {f=g【 ll= 用待定函数法求解该问题的步骤是: (I)先用分离变量法求解齐次问题 』=0 lI=0 的形式通解. (2)求非齐次问题 f=f ll=g 的特解U,从而得到该问题的形式通解 =+. (3)令U=+U满足初始条件,确定形式通 解中的任意常数,从而得到非齐次混合问题的解. 上述求解步骤中,求非齐次问题的特解是个难 点.但是,当厂,g呈现某些特殊形式时,可用待 定函数法求其特解. 类型I.若厂,g均与t无关,即f=F(x), g=M时,则有特解U=().其中()为待 定函数. 事实上,将U=()代入方程及边界条件, 整理得 f()=以()+d()+忌()=F(x) lP~'fx)l=M 上式是一个二阶常微分方程边值问题,解此方程可 得(). 类型II.若f=F(x)e,g=Ae,则有特 解"'=()e.其中()为待定函数. 事实上,将U=()e代入方程可得 J1=(+(+d)(+(—c+/w/+)(]=F( 【(砒= 解此二阶常微分方程边值问题可得(),故有 "=()e. 类型III.若f=F(x)e一,g=Me-,(m> 0).则非齐次定解问题有特解U=()e一,其 中()为待定函数. 事实上,将"=()e一代入方程及边界条 件,可得 』[n()+(d—6)()+m2cml十七)()]=F() 【(硎=M ()可由解上述二阶常微分方程边值问题得到, 故"=()e. 4结语 待定函数法理论严谨,解题方便,适用范围广 泛,它是求解线性微分方程非齐次定解问题的行之 有效的方法. 参考文献: [1]石文善.线性偏微分方程非齐次定解问题的待定函数法[J].大学物理, 1992(2):35—37. [2]复旦大学数学系.数学物理方程[M].北京:人民教育出版社,1979. [3]南京工学院.数学物理方程与特殊函数[M].北京:高等教育出版社, l982. [4]陆平.线性偏微分方程问题的微分算子解[J].华北工学院, 2004,25(3):157—161. [5]余长安.常系数非齐次微分方程初值问题的显式解[J].武汉大学学 报:自然科学版,1997,43(1):39.43. [6]宁伟.Banach空间中非线性积分一微分方程的正解[J]l辽宁工程 技术大学.2002.21r61:811.813.