高二数学排列、排列数公式 知识精讲 人教版

高二数学排列、排列数公式 知识精讲 人教版 一. 本周教学内容: 排列、排列数公式 二. 重点、难点: 重点: 1. 排列的概念、排列数公式 2. 排列的应用 难点: 有附加条件的排列数的计算，排列应用问题等是这部分内容的难点。 【典型例题】 例1. 一排有8个座位3个人去坐，若每个人左右均有空位，有多少种坐法, 分析:转化为3个人插5个空的模型:每个人都拿着一把椅子，先排其余的5个椅子(一 3种排法)，它们之间产生4个空档，再把手拿椅子的3个人排到这4个空档中，共有A,424种。 例2. 把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按从小到大的顺序排列，构成一个数列。(1)43251是这个数列的第几项,(2)这个数列的第96项是多少,(3)求这个数列的各项和。 解:(1)本题实际上是求不大于43251的五位数有多少个的问题，逆向考虑，将大于它的数分成如下三种情况。 答:43251是此数列的第88项。 (2)用排除法逆向分析，此数列共有120项，第96项以后还有120,96,24项，即比 4第96项所表示的五位数大的五位数有24个，而以5打头的五位数恰好有A,24(个)，4所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项，即为45321. 答:这个数列的第96项是45321. 4 (2)实际上是求所组成的五位数的和，因为1、2、3、4、5各在万位上时都有个五P4 4位数，所以在万位上的和为。 (1，2，3，4，5)P,100004 4同理，它们在千位、百位、十位、个位上也都有个五位数，所以其和为 P4 4。 (1，2，3，4，5)P,(1，10，100，1000)4 用心 爱心 专心 综上可知，这个数列的和为: ？ 答:这个数列的各项和为3999960。 说明:本题中的逆向思维的分析方法是解决问题的重要方法，当从正面解决问题比较困难时，可以考虑从它的反面入手，问题往往就可以迎刃而解。 例3. 一场晚会有5个唱歌和3个舞蹈共8个节目，问按下列要求各可排出多少种不同的节目单,(1)前4个节目中即要有唱歌又要有舞蹈;(4)3个舞蹈节目的先后顺序一定。 844 解:(1)不受任何限制的排法有种，前4个节目全部排唱歌有种。 P,PP854 844 故要求前4个节目既有唱歌又有舞蹈的节目单有(种) P,P,P,37440854 (2)先在8个节目中排好5个唱歌节目，再将3个舞蹈节目按特定顺序(一种)插入空档，故3个舞蹈的先后顺序一定的节目单有 83 题(2)还可用“机会均等法“:8个节目的全排列有种，而其中的3个舞蹈的种PP83 835排列我们只能取其一种，故3个舞蹈的先后顺序一定的节目单有(种) P,P,P,6720388 例4. 某小组6个人排队照相留念。(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法,(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法,(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法,(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法,(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法,(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法, 分析:(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3,6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题。 11 (2)先确定甲的排法，有P种;再确定乙的排法，有P种;最后确定其他人的排法，244114有P种。因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P?P?P种不同排法。 44245 (3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P种不同排法。然后甲、5252乙两人之间再排队，有P种排法。因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P?P种252排法。 16 (4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P种排法。 62 (5)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了。 33这样男生有P种排法，女生有P种排法。因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有4333P?P种排法。 435 (6)符合条件的排法可分两类:一类是乙站排头，其余5人任意排有P种排法;一5类是乙不站排头;由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有114P种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P种排法，中间4个位置无限制有P种排444 用心 爱心 专心 114法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有PPP种排法。 4446 解:(1)P,720(种) 6114 (2)P?P?P,2×4×24,192(种) 24452 (3)P?P,120×2,240(种) 52 16 (4)P,360(种) 62 33 (5)P?P,24×6,144(种) 435114 (6)P，PPP,120，4×4×24,504(种) 5444654 或法二:(淘汰法)P,2P，P,720,240，24,504(种) 654 n,m，1m 说明:(1)“相邻”问题，n个元素排成一排，其中有m个元素相连的排法有。 P,Pn,m，1m nn (2)“相间”问题中，若两类元素个数相同(都是n个)，则排列总数为PP;若，n1n，1nn两类元素个数不同(一类n个，另一类n，1个)，则排列总数是PP。 ，n1n (3)“次序”一定问题中，n个元素排成一行，其中有m个元素次序一定的排法数是nmP/P。 nm (4)“不相邻”问题中，n个元素排成一行，其中有m个元素两两不相邻的排法数是,nmm。 PP,,，1nmnm 【疑难解析】 1. 理解排列的概念，必须注意以下几点: (1)定义中规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况。也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了，否则就变成了取出两个相同的元素。 (2)在定义中，包含两方面的内容: 第一是选元素。“从n个不同元素中任取m个不同元素”，要注意被取的元素是什么,取出的元素又是什么,即明确问题中的n和m各是什么, 第二是排顺序。“将取出的m个元素按照一定的顺序排成一列。”有排顺序的要求是排列问题中的本质属性。 (3)由于是从n个不同元素中取出m个不同元素，因此必有m?n，当m,n时，即所有元素都取出的排列，这种特殊的排列叫做全排列。 (4)定义中的“一定顺序”，是与位置有关的问题。对有些具体情况，如取出数字1，2，3组成三位数，就与位置有关。因123和132是不同的三位数。但如取出数字1，2，3考虑它们的和，则与位置无关。 2. 写出所有排列的方法 排列是指具体的排法。如一个排列ABC，是指A排在左端，B排在中间，C排在中端这一具体排法，在写具体的排列时，必须按一定规律写，否则容易造成重复或遗漏。我们常用画树形图的方法逐一写出所有排列。 如:写出A，B，C，D四个元素中任取两个元素的所有排列。 用心 爱心 专心 所有排列为AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，共有12种不同的排列。 3. 相同排列 从排列定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同。例如，AB和BA，虽然元素相同，但由于顺序不同，所以就不是两个相同的排列，而是两个不同的排列。 4. 排列问题的判断 如何判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同元素中取出的m个元素是有序还是无序，有序是排列，无序就不是排列。例如，从2，3，7，21四个数中任取两个数相加，可得到多少个不同的和。这四个数中任取两个数出来以后做加法，因为加法满足交换律，2，3,3，2，它们的和与顺序无关，因此就不是排列问题。 如果从上面这四个数中任取两个相减，一共有多少个不同的差。因为3,2?2,3，这里有被减数和减数的区别，取出的两个数2与3就与顺序有关了，这就属排列问题。 5. 排列与排列数 要分清“排列”和“排列数”这两个不同的概念，一个排列是指从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定顺序排成一列的一种具体排法，它不是数。而排列数是指从n个不同元素中取m不同元素的所有排列的个数，它是一个数。如从a，b，c中任取两个元素的排列可以有以下6种:ab、ac、ba、bc、ca、cb，每一种都是一个排列，而数字6就是排列数。 6. 关于排列数公式 m (1)排列数公式P,n(n,1)„(n,m，1)，其特点是:从自然数n开始，后一个n 因数比前一个因数小1，最后一个因数是n,m，1，共m个因数相乘。 n (2)当m,n时，排列数公式为P,n～相应地从n个不同元素中将元素全部取出的n 一个排列是全排列。 (3)阶乘的定义是n～,1?2?3„n，(n?N)，即自然数1到n的连乘积，为了适应 n!m0P, 公式当时的需要，规定这与的规定一样，不是a,1(a,0)m,n0!,1n(n,m)! 由定义直接得到的。 n!mmP, (4)排列数的两个公式P,n(n,1)？(n,m，1)和前一个公式常用nn(n,m)!于计算具体的排列数的值，后一个公式常用于含字母的排列数的变形和 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 有关等式。 用心 爱心 专心 7. 关于排列的应用题 在解关于排列的应用题时，要特别注意如下几点: (1)弄清题意。要明确题目中的事件是什么，可以通过怎样的程序来完成这个事件，进而是采用相应的计算方法，不能乱套公式，盲目地计算。 (2)弄清问题的限制条件。注意特殊元素和特殊的位置，必要时可画出图形帮助思考。 (3)合理的分类(加法原理)和分步(乘法原理)，即通过讨论来解决问题。 在排列问题时，常分如下两类基本的方法: <1>直接法。从条件出发，直接考虑符合条件的排列数; <2>间接法。先不考虑限制条件，求出所有排列数。然后再从中减去不符合条件的排列数(排除法)。 【模拟 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 】 一、选择题 1. 由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有( ) A. 24个 B. 36个 C. 48个 D. 60个 2. 3位教师、3名学生站成一排，教师与学生间隔的排法种数为( ) 33333333 A. B. C. D. 2AA2AAAAAA34333334 3. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的个数共有( ) A. 210 B. 300 C. 464 D. 600 4. 4名学生和2位老师排成一排照相，若2位老师必须相邻，学生甲必须站在右端或左端，则各种可能排法的总数为( ) A. 96 B. 48 C. 120 D. 60 5. (全国春季高考题)从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有( ) A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 6. (上海高考题)计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画、排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有( ) 45345145245 A. B. C. D. AA种AAA种AAA种AAA种45345345245 7. 如果4个男生和3个女生排成一行照相，规定两端不排女生，并且任意2个女生都不相邻，那么不同排法的种数是( ) 7433422 A. B. C. D. AAAAAAA7774543 32 8. 不等式的解集是( ) xA,3Axx * A. ,x|x,,, B. ,,,,,,，,?N, ** C. ,x|3,,,,，,?N , D. ,,,,?3，,?N, 9. 用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比2 0000大，并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数，共有( ) A. 96个 B. 78个 C. 72个 D. 64个 10. 用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，将这些数从小到大排列，则2013 用心 爱心 专心 是其中第( ) A. 60个 B. 21个 C. 11个 D. 61个 11. 有6个座位连成一排，3个人就座，恰有2个空位相邻的排法种数是( ) A. 96 B. 72 C. 48 D. 36 12. 已知集合A,,0，2，3，5，7,，从集合A中任取两个元素的积作为集合B的元素，则集合B的子集个数为( ) A. 64 B. 128 C. 16 D. 1024 二、填空题 13. (上海高考题)有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本.若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有 _______________种(结果用数字表示)。 14. 已知集合M,,0，1，2，3，4,，若A，ω，φ，,互不相等，且A，ω，φ，,?M，则满足周期、振幅都大于2的正弦曲线y,Asin(ωx，φ)，k共有 条。 15. 书架上的一格内原有6本书，现在再放上3本书，但要保持原有的书相对顺序不变，方法共有 种。 16. 12个人分坐在四排，每排3人，其中甲必在第一排，乙、丙两人必坐第三排，共有 种坐法。 三、解答题 17. 8个人排成一排，其中甲、乙、丙3人中，有2人相邻，但这3人不同时相邻排列，求满足条件的所有不同排法的种数。 18. 将a，a，a，a四个元素排成一排，要a不排在第一位，a不排在第二位，a不排1234123在第三位，a不排在第四位，共有多少种排法, 4 19. 由1，2，3，4，5，6这个6个数字排成一排(数字不重复)，若1，6两个数字中间插入了2个数字，问共有多少种不同排法, 20. 6个人站成一排，若甲不站排头、乙不站排尾，共有多少种不同的站法, 21. 从1到9这9个数字中取出5个进行排列，问:(1)奇数位置上是奇数的有多少个, (2)取出的奇数必排在奇数位置上的有多少个, 22. 由数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数120个，若把这些数从小到大排成一列数:12345，12354，„54321，问: (1)43251是这一列数的第几个数, (2)这列数中的第93个数是怎样的一个五位数, (3)求这一列数各数之和(不必具体算出). 用心 爱心 专心 [参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ] 一、选择题 1. B 2. C 3. B 5 解法一(直接法):分别用1. 2. 3. 4. 5作十万位的排列数，共有5种，故这样的六位A5 15数有个. ，5A,30052 6 解法二(间接法):取0，1，2，3，4，5的数字排列数有，而0作为十万位的排列A6 1565有，故这样的六位数有个。 A(A,A),3005652 4. A 14 先排学生甲有种排法，将2位老师变成一个元素和其余3名学生全排，有 种AA24 2142排法，2位老师可以调换有种，则各种可能的排法总数为种. AAAA2242 5. B 6. D 2 先各看成整体，但水彩画不在两端，则为，然后水彩画与国画各全排列，所以共有A2 245种陈列方式. AAA245 7. B. 8. D. 9. B. 10. D. 11. B 12. A. 二、填空题 5 13. 将数学书与外文书分别捆在一起与其他3本书一起排，有种排法，再将3A,1205 35322本数学书之间交换，有种，2本外文书之间交换，有种，故共有, A,6AAAA,253223 1440种排法。 14. 本题是排列问题，先考虑有限制条件的A和ω，最后排没有限制条件的φ和k，由周 ,2期得:ω,π且ω?0.先定A再定ω，因为振幅A,2，则A分为取3或取4两类T,, 21情况:当A取3时，ω只能取1或2，有种方法，那么φ和k有种取法，此种情况AA23 211有正弦曲线 条;当A取4时，ω可以取1，2，3中的任意一个，有种方法，此AAA332 221时φ和k仍有种取法.这种情况有正弦曲线条.由分类计数原理，共有正弦曲线AAA333 2211，,30条。 AAAA3332 22211 也可先定ω再定A解答，同样可得共有正弦曲线，， ,30条。 AAAAA33322 用心 爱心 专心 9A9 15. ,5046A6 1 16. 6531840.先考虑有限制条件的甲、乙、丙3人，甲从第一排，有种坐法;乙、丙坐A3 29第三排，有种坐法;其他9个人全排在剩余的座位上有种坐法，由分步计数原理，AA39 291共有,6531840种坐法。 AAA339 三、解答题 17. 21600 5 方法一:先排出甲、乙、丙以外的5个人，有种排法;再从甲、乙、丙3人中选2A5 22人合并为一个元素和余下的1人插入6个空中，有种插法.故总的排法种数为AA36522,21600。 AAA536 8 方法二:(间接法)，先将8个人进行全排列，有种排法，其中甲、乙、丙3人两两A8 5363都不相邻的排法有种;甲、乙、丙3个人同时相邻的排法有种，故共有排法种AAAA5663 85363数为,(，),21600。 AAAAA85663 18. 9 解法一:把所有符合条件的都列出来:当a在第2个位置的排列，列出有aaaa，aaaa，121433142 aaaa。同样，当a在第3位置及第4位置时，也各有3个排列，因此满足条件的排列共41231 9个。 解法二:排第一位由a，a，a中选取，有3种方法，后三位置先排a也有3种方法，2341 ，，排剩下的两个位置，只有一种方法了,共有331,9种 19. 144 先考虑1的排法，可以排在前3个位置，而后再相应的排6，在1，6排好以后再排其 44，，他元素，所以共有排法3,72种;由于6也可排在前3个位置，同上面一样有3AA44 ，,72种排法，所以共有排法272,144种。 20. 504 5 直接法，第一类，甲站在排尾，其余元素任意排，共有排法种;第二类，甲A,1205 1站在中间位置中的任一个，有种排法，此时乙可以排在除了排尾与甲已经排的位置上，A4 14也有种排法;而后另4个人任意排在不同的四个位置上，排法为。由分步计数原理，AA44 114共有排法,384种。再由分类计数原理，两类共有排法120，384,504种。 AAA444 21. (1)奇数共有5个，奇数位置共有3个，偶数共有4个，偶数位置有2个，分两步 用心 爱心 专心 3排:第一步，先在奇数位置上排上奇数，共有种排法:第二步再排偶数位置，因为对偶A3 2数位置没有特殊要求，所以余下的4个偶数与2个奇数都可以来排，排法有种，由分步A6 32计数原理，得排列方法有,1800种。 AA36 (2)这是要求奇数只能排在奇数位，偶数位置上不能排列奇数，奇数位置上若奇数不 排可以由偶数来排.这里关键的问题是:取出的奇数必须在奇数位上，故先考虑排偶数位， 23排法为余下的2个偶和5个奇数有可能排在奇数位上，所以排列方法为，由分步计AA74 23数原理得排法有,2520种。 AA74 432 22. (1) 3A，2A，A，2,88432 43 (2)万位数取1，2，3共有3,72个;万位数取4，千位数取1，2，3共有3,AA34 218个;万位数取4，千位数取5，百位数取1，共有,2个，所以第93个数是45213。 A2 5 (3)(1，2，3，4，5)×1111,120×15×1111。 A5 用心 爱心 专心 用心 爱心 专心