定积分的计算方法[指南]

定积分的计算方法[指南]定积分的计算方法[指南] 定积分的计算方法摘要定积分是积分学中的一个基本问题～计算方法有很多～常用的计算方法有四种:,1, 定义法、,2,牛顿—莱布尼茨公式、,3,定积分的分部积分法、,4,定积分的换元积分法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法～并在系统总结中简化计算方法:并注重在解题中用的方法和技巧。关键字:定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法 Calculation method of definite integral Abstract the integr...

定积分的计算方法 [指南] 定积分的计算方法摘要定积分是积分学中的一个基本问题～计算方法有很多～常用的计算方法有四种:,1, 定义法、,2,牛顿—莱布尼茨公式、,3,定积分的分部积分法、,4,定积分的换元积分法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法～并在系统总结中简化计算方法:并注重在解题中用的方法和技巧。关键字:定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法 Calculation method of definite integral Abstract the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills. Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method 目录目录................................................................................................ 2 1绪论 ............................................................................................. 3 1.1定积分的定义 ..................................................................... 3 1.2定积分的性质 ..................................................................... 4 2 常用计算方法 .............................................................................. 5 2.1定义法 ................................................................................ 5 2.2牛顿-莱布尼茨公式 ............................................................. 6 2.3定积分的分部积分法 ........................................................... 7 2.4定积分的换元积分法 ........................................................... 8 3 简化计算方法 ................................................. 错误～未定义书签。 3.1含参变量的积分 ..................................... 错误～未定义书签。 3.2有理积分和可化为有理积分的积分 ......... 错误～未定义书签。 4总结 ............................................................................................. 9 致谢.............................................................................................. 10 参考文献....................................................................................... 10 1绪论 1.1定积分的定义定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，如图1.1所示。即由 [1]y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x,x], (x,x], (x,x], …, 011223(x,x]，其中x=a，x=b。可知各区间的长度依次是:?x=x-x, ?x=x-x, …, ?x=x-x。n-1n0n110221nnn-1在每个子区间(x,x]中任取一点ξ(1,2,...,n)，作和式 i-1ii 设λ=max{?x, ?x, …, ?x}(即λ是最大的区间长度)，则当λ?0时，该和式无限接12n [2]近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为其中:a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，? 叫做积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法: 特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为: 1.2定积分的性质 bbb性质1 [f(x),g(x)]dx,f(x)dx,g(x)dx,,,aaa bb性质2 kf(x)dx,kf(x)dx,(k为常数),,aa bcb性质3 假设a 要求函数在区间内必须连续。求连续函fx(),,数fx()的定积分只需求出fx()的一个原函数，再按照公式计算即可。 ab,fx()Fx()fx()定理:若函数在区间连续，且是的原函数，则,, bfxdxFbFa()()(),,。 ,a ',,xab,Fx()fx()证明:因为是的原函数，即有Fxfx()(),,, x 积分上限函数也是的原函数 ftdt()fx(),a 'x 所以ftdtfx()(), ，，,a x 所以 ftdtFxC()(),,,a a 令有即 ftdtFaC()(),,xa,CFa,,(),a bxb, 再令有 fxdxFbFa()()(),,,a 我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的。但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这不仅给定积分的计算带来极大的方便，在理论上把微分学与积分学沟通起来，这是数学分析的卓越成果，有着重大的意义。 1例1、用牛顿莱布尼茨公式计算定积分xdx。 ,0 1112解: 原式= x,220 同样的一道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单，容易计算。 2.3定积分的分部积分法 ab,公式:函数，在有连续导数则ux()vx(),, bbbuxdvxuxvxvxdux()()()()()(),, ,,aaa ab,证明:因为ux()，在有连续导函数 vx(),, '''uxvxuxvxvxux()()()()()(),，所以 ,, bb'bb''，，uxvxuxvxuxvxvxuxdxuxvx()()()()()()()()()(),,，, 所以,,,,，，aaaa bbb''uxvxdxuxvxvxuxdx()()()()()(),, 即 ,,aaa bbbuxdvxuxvxvxdux()()()()()(),, 或 ,,aaa 2例1、求定积分。 lnxdx,1 2222lnlnln2ln202ln21xdxxxxdxx,,,,,,,,,11解:11 2.4定积分的换元积分法应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计算。一般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，通常在应用换元积分法求原函数的过程中也相应交换积分的上下限，这样可以简化计算。公式:若函数ab,,,,在区间连续，且函数在有连续导数，当fx()xt,,(),,,, 时，有则: ,,,,tatb,,,() b,,'fxdxfttdtftdt()()()()(),,,,,, ,,,,,,,a,, bbfxdxFxFbFa()()()(),,, 证明: ,aa ,,'fttdtFtFFFbFa,,,,,,,()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,, b,'fxdxfttdt()()(),,, 即 ,,,,a, 这个公式有两种用法: bfxdx()(1)、若计算 ,a ,1、选取合适的变换，由a,b通过，分别解出积分限,与;xt,,()bt,,()at,,()? b,'fxdx()fttdt,,()()2、把xt,,()代入得到; ,,?,,a, 3、计算. ? a22axdx,例1、计算定积分。 ,0 xat,sindxatdt,cos解:设有 ,x,0t,0 时，;时， ,txa,2 ,,22aatsin2,222222 ,,,，,axdxatdttacos(),,002240 ,'(2)、计算，其中 gtdt()gtftt()()(),,,,,,, '1、把凑成的形式; ftt,,()()gt(),,? 2、检查是否连续; xt,,()? 3、根据与通过求出左边的积分限a,b; ,,xt,,()? 4、计算. ? 11例2、计算定积分。 dt,,1,54t 25,x154,,txt,dtxdx,,解:令，则， 24 t,,1x,3t,1x,1 当时，;当时， 11111 所以原式= ()1,,,,xdx,3x223 4总结定积分计算中最常用的四种方法，本文通过举例分析定积分的几种计算方法，来体现定积分的计算。定积分的计算类型很多，要熟练地进行定积分的各种运算，就要对定积分的运算技巧不断熟悉和掌握。其实，在实际计算中，遇到的题目不一样，用的计算方法也不一样。定义法一般不常用，计算起来比较困难，所以一般不会用定义法计算。常用的就是其他三种，即牛顿-莱布尼茨公式，分部积分法和换元积分法。致谢在老师的悉心指导下我完成了这篇关于定积分的计算方法的论文，感谢老师以以其严谨求实的教学态度、高度的敬业精神和孜孜以求的工作作风对我产生重大影响。在此想对理学院的老师表示真诚的感谢，感谢您们给我这次机会，感谢您们知道与教诲。也感谢在学习过程中陪伴我帮助我的同学们，谢谢你们。参考文献 [1] 华东师范大学数学系编数学分析[M]，北京:高等教育出版社，2002 编高等数学与数学分析——方法导引[M]，上海:复旦大学出版社，1982 [2] 姚允龙 [3] 钱吉林编数学分析题解精粹[M]，武汉:崇文书局，2003 [4] 中国科学技术大学高等数学教研室编高等数学导论[M]，合肥:中国科学技术大学出版社，1995

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