音乐与数学之间的千丝万缕

《数学与文化》课程结业论文 课程：《数学与文化》 题目：音乐与数学之间的千丝万缕 学院：行知学院 班级：电子信息科学类091 姓名：朱璐 学号：09226122 指导教师：张维忠 成绩： 音乐与数学之间的千丝万缕 朱  璐 摘要：音乐为何悦耳、调和、美呢？可否说出一些道理？田野中昆虫啁啾的鸣叫，枝头鸟儿清脆的叫声，《牧笛》优美动听的旋律，贝多芬令人振奋的交响曲……当沉浸在这些美妙的音乐中时,你是否想到了它们与数学有着密切的联系？数学家莱布尼兹（Leibniz，1646-1716）说:“音乐是一种隐藏的算术练习，透过潜意识的心灵跟数目在打交道。” 近代作曲家斯特拉文斯基 (Stravinsky，1882-1971)说：“音乐的形式较近于数学而不是文学，音乐确实很像数学思想与数学关系。”他特意将“像数学思想的东西”溶入他的音乐作品之中。 关键词：乐谱的书写；比例；指数曲线；周期 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数；计算机科学； 人们对数学与音乐之间联系的研究和认识，可以说源远流长。相信音乐的背后有数学规律可循，并且努力去追寻出音律，这在历史上最早且最著名的当推毕达哥拉斯学派（约公元前5-6世纪）。而中国古代的 “三分损益法” 就是通过数学运算研究音律的方法。人们常用的乐谱也是数学在音乐上应用得最为显著的地方之一。 一、乐谱的书写 若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起。在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育的课程中。今天的新式计算机正在使这条纽带绵延不断。乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域。 首先，所有的乐符都是借用了数学中的阿拉伯数字。1、2、3、4、5、6、7、8这8个数字根据不同的方式结合在一起就形成了现在无数种令人悦耳的声音。这不得不说是乐符和数字巧妙地结合。并且我们还可以发现1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的。 其次，在乐稿上，我们看到速度、节拍（4／4拍、3／4拍，等等）、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符，等等。书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应。作曲家创作的音乐是在书写出的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体的。如果将一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数。 其实早在公元前六世纪，毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来.。他们不仅认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系，从而发现了和声与整数之间的关系，而且还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的。 于是,毕达哥拉斯音阶(thePythagorean Scale) 和调音理论诞生了 ， 而且在西方音乐界占据了统治地位。 虽然托勒密(C. Ptolemy ,约100 —165 年) 对毕达哥拉斯音阶的缺点进行了改造，得出了较为理想的纯律音阶(the Just Scale) 及相应的调音理论，但是毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位直到十二平均律音阶(the temperedScale) 及相应的调音理论出现才被彻底动摇。 在我国，最早产生的完备的律学理论是三分损益律， 时间大约在春秋中期《管子·地员篇》和《吕氏春秋·音律篇》中分别有述；明代朱载 (1536 - 1610) 在其音乐著作《律学新说》对十二平均律的计算方法作了概述，在《律吕精义 ·内篇》中对十二平均律理论作了论述，并把十二平均律计算的十分精确， 与当今的十二平均律完全相同,，这在世界上属于首次。由此可见，在古代，音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起.。从那时起到现在，随着数学和音乐的不断发展，人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深。感觉的音乐中处处闪现着理性的数学。乐谱的书写离不开数学。 二、蕴含在音乐中的函数 除了上述数学与乐谱的明显联系外，音乐还与比例、指数曲线、周期函数以及计算机科学等相关联。毕达格拉斯的追随者们（公元前585-400）最先用比例把音乐和数学结合起来。他们发现在乐声的协调与所认识的整数之间有着密切的关系，拨动一根弦发出的声音依赖于弦的长度。他们还发现协和音是由长度与原弦长的比为整数比的绷紧的弦给出。事实上被拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比。由增大成整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。例如，从一根产生音C的弦开始，接着C的16/15给出B,C的长度的6/5给出A,C的4/3给出G,C的3/2给出F,C的8/5给出E,C的16/9给出D,C的1/2给出低音C。 由一段三角函数图像出发,我们只要对它进行适当的分段，形成适当的小节，并在曲线上选取适当的点作为音符的位置所在，那么就可以作出一节节的乐曲。 由此可见，我们不仅能像匈牙利作曲家贝拉·巴托克那样利用黄金分割来作曲，而且也可以从纯粹的函数图像出发来作曲。 这正是数学家约瑟夫.傅里叶的后继工作，也是其工作的逆过程。其中最典型的代表人物就是20 世纪20 年代的哥伦比亚大学的数学和音乐教授约瑟夫·希林格(JosephSchillinger) ，他曾经把纽约时报的一条起伏不定的商务曲线描述在坐标纸上，然后把这条曲线的各个基本段按照适当的、和谐的比例和间隔转变为乐曲，最后在乐器上进行演奏，结果发现这竟然是一首曲调优美、与巴赫的音乐作品极为相似的乐曲！这位教授甚至认为,根据一套准则，所有的音乐杰作都可以转变为数学公式。他的学生乔治·格什温(George Gershwin) 更是推陈出新，创建了一套用数学作曲的系统，据说著名歌剧《波吉与贝丝》(Porgy and Bess) 就是他使用这样的一套系统创作的。 你是否曾对大型钢琴为何制作成那种形状表示过疑问？实际上许多乐器的形状和结构与各种数学概念有关。指数函数和指数曲线就是这样的概念。指数曲线由具有y＝kx形式的方程描述，式中k＞0。一个例子是y＝2x。它的坐标图如下 不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器，它们的结构都反映出一条指数曲线的形状。 19世纪数学家约翰·傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点。他证明所有乐声——器乐和声乐——都可用数学式来描述，这些数学式是简单的周期正弦函数的和。每一个声音有三个性质，即音高、音量和音质，将它与其他乐声区别开来。音高指各种不同高低的声音，即音的高度，音的基本特征的一种。音的高低是由发音体的振动频率决定的，两者成正比关系：频率振动次数多则音"高"，反之则"低"。音量又称响度、音强，是指人耳对所听到的声音大小强弱的主观感受，其客观评价尺度是声音的振幅大小。这种感受源自物体振动时所产生的压力，即声压。物体振动通过不同的介质，将其振动能量传导开去。是声音的品质，但是在音响技术中它包含了三方面的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ：声音的音高，即音频的强度和幅度；声音的音调，即音频的频率或每秒变化的次数 ；声音的音色，即音频泛音或谐波成分。谈论某音响的音质好坏，主要是衡量声音的上述三方面是否达到一定的水准，即相对于某一频率或频段的音高是否具有一定的强度，并且在要求的频率范围内 、同一音量下，各频点的幅度是否均匀、均衡、饱满，频率响应曲线是否平直，声音的音准是否准确，既忠实地呈现了音源频率或成分的原来面目，频率的畸变和相移又符合要求 。声音的泛音适中，谐波较丰富，听起来音色就优美动听。 傅里叶的发现使声音的这三个性质可以在图形上清楚地表示出来。音高与曲线的频率有关，音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关。 如果不了解音乐的数学，在计算机对于音乐的创作和乐器设计的应用方面就不可能有进展。数学发现，具体地说即周期函数，在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的。许多乐器制造者把他们的产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较。电子音乐复制的保真也与周期函数密切相关。音乐家和数学家将继续在音乐的产生和复制方面发挥同样重要的作用。 多少世纪以来，数学思想一直视音乐和声波发生曲折和转动。你只要到罗马圣彼得教堂那圆顶建筑里走一圈，就会发现这圆顶建筑墙壁的曲线能把一个人的耳语声传给对面的听者。到埃皮扎罗斯的古代圆形剧场去看希腊悲剧，会认为它的设计者在设计和建造者非凡的露天剧场时一定对声学的数学进行国研究和实验。坐在最远一排的观众能够容易地听到一位演员在舞台中心让一根针落下来所发出的声音。特殊的数学形状被用来设计悬挂在交响音乐厅天花板上的声音反射装置的一座大厅能反射站在抛物线焦点处的人对话。两个人可以站在两个焦点上正常地对话和交谈，而不会被大厅内吵闹声所干挠。 参考文献： [1] 刘卫峰. 音乐与数学 [s] . 数学通报. 上海：上海出版社，2005.4 [2] 张维忠. 文化视野中的数学与数学教育[M].北京：人民教育出版社,2006. [3] 孙清吉. 乐学原理[M]. 台北：全音乐谱出版社，1989.2 [4] 贾方爵. 基本乐理. 重庆:西南师范大学出版社 ,2003 [5] M. Kline. 西方文化中的数学. 张祖贵译 ,九章出版社 ,台湾 ,1984