高等代数论文

正交变换与群问题探 （莆田学院数学系02级1班  林月娥、连涵生） [摘要] 主要探讨：  （i）正 边形保形运动的存在情况及分类；  （ii）保形运动构成一个群； （iii）运用到南开大学2004年研究生入学考试 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 第5题。 [关键词]  正 边形；正交变换；保形运动；群 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ：以下我们用 表示平面运动的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 度量； 表示图形绕中心旋转， ； 表示沿对称轴翻转， ； 表示由 和 的所有正交变换的集合； 实线表示图形原来位置，虚线表示图形运动后位置。⑥ 以下均以正方形代表正 边形来作图。 1、 y 引言 A 南开大学2004年研究生 入学考试试题第5题如下： x N B P M 给定 　标准度量。求出 中所有保持下列正方形（其中A＝（1,1），B＝（-1，1），C＝（-1，-1），D＝（1，-1））整体不变（即正方形四条边上的点经过变换后仍落在这四条边上）的正交变换[1]。（如图（1）） 上述试题所涉及的正交变换的更一般情况： （图（1）） C D 定义1: 平面上对称图形经过某些运动后仍能回到自身图形的运动，称为保形运动。（即保持原来图形的形状不变又保持原来图形所在的位置不变。） 我们首先讨论一般的正 边形的保形运动的存在情况及分类。因为这些保形运动对于正交变换的乘法运算构成一个群，所以由这些结果可以解答并 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 [1]。由此我们还可得到[1]的进一步结论。 2．保形运动的存在情况及分类 定义2：正交变换就是保持点之间的距离不变的变换[2]。 几何的形式，M.chasles定理[3]平面的运动有且只有下列三种： (a)沿任一给定向量的平移; (b)以任意点为中心的旋转; (c)绕某一直线作翻摺后再沿该直线上的一个向量作一平移（包括作纯翻摺的情况）。 由M.chasles定理，对于一个给定的正 边形，适当选取坐标系，不妨选其中心为坐标原点O，则它在平面上的保形运动的存在情况可通过以下分析得到： （1）由M.chasles定理的(a)，我们可以通过简单的正 边形沿某一个定向量平移知平移后图形不可能回到自身上去。 例如：图（2）所给定的向量,沿该方向平移一小段距离后不会回到原位置，故由定义1知不是保          形运动。                      y x （2）由(b)有两种情况， 若选任意非正 边形原点的点为中心旋转点。 由正交变换的保距性知正 边形旋转任何角度后也不会回到自身上去。即也不是保形运动。 （图（2）） 若正 边形以原点为中心旋转点。（i）由正交变换的保距性知绕原点旋转 都可以使它回到自身上去。 y （ii）若旋转任意角度 ， 且 ， ，根据正交变换的保距性可知都不会使它回到自身上去。 x 例如：当 （其中 为任意相邻的顶点与原点 所成的角 ，如图（3），也不是保形运动。 （图（3）） （3）由(c)对于一个正 边形，这种直线有两种取法： 以不过原点的直线为轴； 以过原点的直线为轴。 故有两种情况：（i）以一条不过原点的直线为轴作翻转（即绕这条直线翻转 度，再取定这条直线的一个方向，然后沿这个方向或沿这个方向的逆方向平移），易见不会 使它回到自身上去，即不是保形运动。例如，如图（4）所取的直线，以它为轴所作的翻转。再沿该直线上的一个向量作平移也不会回到自身上去。所以不是保形运动。 （ii）对于 任取一条过原点的直线，则这条直线又有两种取法： I：这条直线就是对称轴； II：这条直线是除对称轴外的任意直线。 由于，正 边形是轴对称图形，所以它绕它的对称轴所作的翻转 度的运动一定是保形运动。 而正 边形有 条对称轴。 （图（4）） 命题：正 边形有 条对称轴。 证明：（i）当 时，即正三角形有 条对称轴，也就是过任一顶点与它对边中点的连线。 （ii）当 时，为正四边形有 条对称轴，即这它的两条对角线和两条对边中点的连线。 （iii）现在讨论 的情况： （a）当 为偶数时，不妨设 的整数。也就是说它有 对顶点和 对对边。所以它有 条对角线和 条对称轴。又由于图形的对称性， 条都使图形分成完全一样的两半，即这 条直线都是对称轴。 所以正 边形有 条对称轴。 (b)当 为奇数时，由于图形的对称性，过任一顶点与它对应的只能是一条边。而这个顶点与它对应边中点的连线把正 边形分成完全相同的两半。所以这是一条对称轴。 故它有 条对称轴，因为它有 个顶点。 综上所述，对于任意正 边形都有 条对称轴。命题成立。 反之，若这条直线不是对称轴，那么正 边形绕它所作的翻转 度的运动一定不是保形运动。 综上分析知，正 边形的保形运动的存在情况是： （1）正 边形绕原点旋转 ， 角度的运动； （2）正 边形绕它的对称轴翻转 度的运动。 我们可以把正 边形的保形运动的变换分为两类： 第一类：将正 边形绕中心沿逆时针方向旋转 ， 角度； 第二类：绕对称轴翻转 角度。 3．所有保形运动的变换构成一个二面体群[5]. 定理１.正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换。    群的第二定义[4]：一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如 I． G对于乘法来说是闭的； II． 结合律成立  对于G的任意三个元 都对； III． G里至少存在一个左单位元 ，使 对于G中的任意元 都成立； IV． 对于G的每一个元 ，在G里至少存在一个左逆元 ，能让 ; 以下我们来证正 边形的所有保形运动的变换构成一个群。 设 为正 边形的顶点的集合，且按逆时针方向排列（如图（5））。由2知，正 边形保形运动的变换是： （图（5）） 第一类：将正 边形绕原点沿逆时针方向旋转 ， 角度,则顶点 变到原顶点 的位置,故这个旋转是 上的一个变换,记作 ,则 可表为 。 旋转 角度的变换记作 ,则 可表示为 ， 。 其中加法为模 的加法且取值为 到 之间（下同）。 为单位变换。 可表为 , 第二类：变换为绕对称轴翻转 角度，我们称这类变换为反射或翻转，由于这样的对称轴共有 个，记过顶点0的轴为 ，过边 中点的轴为 ，…，直到 （如图（5））相应的反射变换记作 ，则 ={以 为对称轴，绕 轴翻转 角度}。 例如： 。 可表示为 ,其中加 减法为模 的加减法。由此可证明以下的运算关系： ， ， ， , ， ， ， ，其中下标的加减法均为模 的加减法。 下面证明这些运算关系: 证: 由上知 因此只要证 即可。 因为当 时  成立。 当 时 成立 假设 当 时   成立。 当 时 。 综上所述命题成立。 （2） 即 由于       （3）   我们知道 为 阶置换， 因此有     即   所以       也就是 （4） 由 而   所以结论成立。 （5） （6） （7） 其中下标的加减法均为模 的加减法。    证毕 令 ， （1） 由上面的运算关系可知， 对变换的复合是封闭的， （2） 结合律对于所有的变换都成立，这里自然成立。 （3） 有单位元 （恒等变换），对于任意的 中的元 ，有   （4） 由以上的运算关系知： 中的每个元素都有逆元。  即 ， 所以 构成一个群，称此群为二面体群（dihedron group）。 4．运用以上结果来解答[1],并得到[1]的进一步结论。 由正 边形的保形运动的存在情况及分类可知[1]中的问题相当于 时的情形，所以平面上正方形的正交变换的运动有且只有 种：绕原点旋转 度（恒等运动）；绕原点旋转 度；绕原点旋转 度；绕原点旋转 度；以对角线AC为轴所作的翻转；以对角线BD为轴所作的翻转；以坐标x轴所作的翻转；以坐标y轴所作的翻转。同时可知这些正交变换是属于哪一类且由这些正交变换组成的集合构成一个群。 [1]的进一步结论是：正 边形保形运动的求解思路及保形运动个数的判断。 结论1：求解思路及保形运动的分类。 结论2：正n边形的保形运动的个数，只要看它的边数。 由上述知，正 边形的保形运动的个数 。 致谢 感谢系老师们的指导及全班同学的热心帮助。特别感谢（杨忠鹏）杨教授提供的题目作为本小 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 的切入口，及杨老师的细心及耐心的教导。 由于我们知识及能力的有限，肯定有存在不足的地方，望老师给予指出，我们将努力更正。在此，我们向所有给予本论文关心，支持与提供宝贵意见的老师、同学表示衷心的感谢。 [参考文献] [1] 南开大学2004研究生入学考试试题。——高等代数部分 [2] 北京大学数学几何与代数教研究 高等代数 北京：高等教育出版社，1988 [3] 刘绍学 近世代数基础[M] 北京：高等教育出版社，1999 [4] 张禾瑞 近世代数基础[M] 北京：高等教育出版社，1978年修订本。 [5] 胡冠章 应用近世代数[M] 北京：清华大学出版社，1999。 继续阅读