对数与对数函数
吴运兴
一(基础知识
1(对数
(1)对数的概念
b 如果,那么b叫做以a为底N的对数,记 b,logN(a,0,a,1)a,N(a,0,a,1)a(2)对数的性质:?零与负数没有对数 ? ? log1,0loga,1aa(3)对数的运算性质 ?logMN,logM，logNaaa
M ?log,logM,logNaaaNn其中a>0,a?0,M>0,N>0 ?logM,nlogMaa
logNmlogN,(N,0,a,0且a,1,m,0且m,1)(4)对数换底
公式
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: alogam
2(对数函数
x一般形式: y= (a>0且a?1) loga
,+ ?) 值域:(0,+ ?) 过定点:(1，0) 定义域:(0
图象:
单调性: a> 1,在(-?,+ ?)上为增函数
,,a<1, 在(-?,+?)上为减函数
值分布: 当y>0 当y<0 a,1,且x,1时0,a,1,且x,1时
y<0 y>0 a,1,且0,x,1时0,a,1,且0,x,1时3.记住常见对数函数的图形及相互关系
二、题型剖析
1(对数式的化简和运算
题组?指数式与对数式的互化
?将下列指数式改写成对数式;
b11,,4a,35,202,16; ; ; 3,,0.45,,272,,?将下列对数式改写成指数式;
lga,,1.699log3,,2; ; log125,315
3
题组?计算:
11(1); (2); (3); log18log2,，log2loglglg25,33aa24(4); (5); (6)。 2log253log64，log(log16)2log10log0.25，555222题组?计算:
222? ? (lg5)，lg50,lg22(lg2)，lg2,lg5，(lg2),lg2，1
2(换底公式及应用
4(3,a)log27,a,:log16,例2(1)已知 (2)若 log35,m,求log1.4求证571263，a
思维分析:用换底公式化成相关数质数为对数的底数与真数，再进行代换。
3(指对数互化
xyz3,4,6例3(已知x,y,z为正数，满足
111,,? 求证: ?比较3x、4y、6z的大小 2yzx
思维分析:掌握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径。
4(对数函数的图象
421例4.图中的曲线是对数函数的图象，已知的取值为、、、四个值，则a2y,logxa356
C1相应于曲线、、、的的值依次为【 】 aCCCC1243y C2421412A(、、、 B(、、、 22356365
412421x C(、、、 D(、、、 22 C3653563
C40 01,,a训练:?若，则函数的图象不经过 【 】 yx,，log(5)a
A(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限
3?若，则的取值范围是 【 】 alog,1a4
3333A( B( C( D( :(1,，,)(0,)(,，,)(,1)(0,)4444
5(对数函数的性质
例4.已知函数是实数集上的奇函数，且当x,0时， R，，，，，，fxfx,logx，12
a,0a,1(其中且)
，，fx,1?求函数的解析式;?画出函数的图像;?当时，写出的范围 ，，，，xfxfx
x，b例5. 已知函数,. ，，loga,0,b,0且a,1，，fxax,b
?求的定义域;?判断的奇偶性;?讨论的单调性。 ，，，，，，fxfxfx
6.综合运用
1、已知，，试比较与的大小 ，，，，gx,2log2fx,1，log3，，fx，，gxxx
1,mxa,0,a,1)、已知f(x),log是奇函数 (其中， 2ax,1
(1)求的值; m
f(x)(2)讨论的单调性;
f(x)(1,a,2)f(x)(1,，,)定义域区间为时，的值域为，求的(3)当a值.
23、对于函数，解答下述问题: f(x),log(x,2ax，3)1
2
(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围;
(2)若函数的值域为R，求实数a的取值范围;
[,1,，,)(3)若函数在内有意义，求实数a的取值范围;
(,,,1):(3,，,)(4)若函数的定义域为，求实数a的值;
(,,,,1](5)若函数的值域为，求实数a的值;
(,,,1](6)若函数在内为增函数，求实数a的取值范围.
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