齐次对称多项式的分解原理与方差平均不等式猜想

齐次对称多项式的分解原理与方差平均不等式猜想 文家金 , 张 勇 ()成都大学 数学与计算机科学系 , 四川 成都 610106 ( ) 摘要 :获得了如下齐次对称多项式的分解原理 :设 f x 为 m 次齐次对称多项式 , 且 m ? 2, n ? 2, 如果当 ( ) ( ) ( ) x= ? = x时 , 有 f x ? 0, 那么存在 m - 2次齐次多项式 px 1 ? i < j ? n, 使得 1 n i, j 2 ( ) ( ) ( ) f x ? px ? x- x.i, j i j ? 1?i < j?n 利用这个结果并借助于计算机可以给出一大批齐次对称多项式不等式的可读性机器证明 . 由此结果的证明 方法证明了方差平均不等式猜想 . 关键词 :齐次对称多项式 ; 方差平均 ; 猜想 ; 不等式 ( ) 文章编号 : 100128395 2006 04 20438205 中图分类号 : O178 文献标识码 : A 1 r r ( )r- 2 1 引言和主要结果 ( ) ( ) 2 A x, p- A x, p, ?2 2 ( ) rr - 1(( A x, p ) - A x, p ) α (αα) 本文尽量采用文 [ 122 ]中的记号 : = , ?,; 1 n 2 < r < + ?, ϖ i, j: x ? x ; i j n 2 2 α α α Z为整数集合 , Z= {| ? Z,? 0, i = 1, ?, n}; m + i ( ) ( ) ( )A xlnx, p - Ax, plnA x, p 3ex p , - 2 2 2(( ) ) A x , p- A x, p ααα:? R, B< {? | + ? += m } 为非空有限集; x ( ) m 1 n D x, p = r n r = 2, ϖ i, j: x? x; i j( ) () = x, ?, x; e = 1, ?, 1; R= { x | x? 0, i= 1, 1 n + i m ax{ x, x, ?, x} , n 1 2 n nr = + ?, ϖ i, j: x ? x ; ?n}; R = { x | x > 0, i = 1, ?n}; i j ++ i n x,x= ? = x, 1 1 n α ααα 1 1 iiii1 2n( )xxSx x?x,= = α π ( i)12 n ?? ? n !n ! x, x, ?, x的 r阶方差平均.π为 n 个正实数 ?S i = 1 i? i 1 2 n n 1n ()见文 [ 3 ] 文 [ 3 ]将切比雪夫不等式推广到 m 次一般齐次对 n )( 称多项式上 即引理 7. 本文首先考虑 m 次齐次对称 pxk k ? k = 1 ( ) A x, p= , n 多项式的分解问题 ,获得的主要结果如下 : pk? k = 1 ()定理 1 齐 次 对 称 多 项 式 的 分 解 原 理 设 r r r ( ) = x, ?, x,x 1 n ( ) f x 为 m 次齐次对称多项式 , 且 m ? 2, n ? 2. 如果 2 2 2 ( ) xlnx, ?, xlnx.x lnx = 1 1 n n ( ) 当 x= ? = x时有 f x ? 0, 那么存在 m- 2次 1 n [ 3 ] n 定义λ αλα 1 设 ? R,为 的实变函数 , ( ( ) α α px 1 ? i) 齐次多项式 < j ? n , 使得 i, j n 2 ( λ ( ) ) ? R, x ? R,则称函数 f x = S x 为 n元( ) ( ) ( ) ( ) + + pα α f x ? x ? x - x. 1 i, jij ? ? α ?B m1 ? i < j?n n 其次 ,利用定理 1 的证明方法证明了文 [ 4 ]的猜想 ( ) m 次一般齐次对称多项式. 当 B< Z时 ,称 f x 为 m + 1 ,即定理 2. m 次齐次对称多项式 , 简称为齐次对称多项式. n k ( )若 x, p ? Rn( 定理 2 方差平均不等式 + + ( ) ( ) 5f x 5 f x ( )k: : ( ) ( ) 以下记 : = f′x , = fx , i i k 5x ) ( ) 5x i? 2 , 实数 r ? 2, 则 D x, p关于实数 r递增 . 即 : ir ( ) k = 1, 2, ?; i = 1, ?, n . 如果 2 ? r < s, 那么有不等式 [ 4 ] n ( )定义2( ) ( ) ( ) 2 设 x, p ? Rn ? 2 , 实数 r ? 2, D x, p? D x, p. + + r s 注 利用定理 1 可以给出一大类齐次对称多 则称 - - 收稿日期 : 2005 01 18 ( )基金项目 :国家自然科学基金 10171073 和四川省教育厅自然科学重点基金资助项目 λ 项式不等式的可读性机器证明 ; 匡继昌在文 [ 2 ]中 αα(α) (α) [- 1 ? - { k + 1 + 1 1 1 ? 2 (αα) ,?B 将定理 2列为 152 个未解决的问题之问题 132 ,它 12mm - k ) ( )α(α- k + 1 ] } x.5 () (α) 在统计学及矩阵论中有着重大意义 见文 [ 4 ] . - 1 ? 2 2 22 由 Taylo r定理有 2 定理 1 的证明 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x= f x , x = f x , x + f′x , x x - x + 1 2 2 2 1 2 2 1 2 m ( )k 0 ( )fx, x1 2 2 k 2 当 m = 2时 , 必有 ( )() ( ) x= p x ? x - x , - x 1 2 1, 2 2 1? n k! k =2 λ μ 22( ) (λ μ )f x= xx x += 0+ = i i j ?? 其中 ( ) n n - 1n =1 i 1?i < j?n n m ( )k 0 ( ) fx, x1 2 2 k - 2 λ 2 ( )) ( px =- xx 1, 2 2 1 ( ) [ n - 1 x2 xx] =- ? ii j ? ? k ! k = 2 ( )n n - 1 i = 1 1 ? i < j?n ( )k ( ) ( )2次齐次多项式 , fx, x的表达式由 5 - 为 m 1 2 2 λ 2 2 ( )[ x + x - 2 xx]= ij i j ? ? )( 1 n n - 1 ? i < j?n 式给出 . 这就是说 , 当 n = 2时断言成立 . 1 ? i < j?n () ( ) ( ) λ B 假定 f x 的变量个数为 n - 1 n ? 3 时 2 ( ) - xx= ij ? )( n n - 1 1 ? i < j?n ( ) ( ) 定理 1已经证明. 现证 f x 的变量个数为 n n ? 3 2 ( ) ( px ? x) 时定理 1 成立 . 由定义 1知 - x, i, j ij ? 1 ? i < j?n n λ αα iλ j )( x( ) 6 f x = , j( ) 其中 , px = . 此时定理 1成立. ? ??i, j n ! α?B i? ij = 1 )( 1 n n - m 1n λ ( α)k 下面对 n 施行数学归纳法证明 :当 m ? 3时定 ) (α( αα) (fx = - 1 ? - 1 iii1 1 1 ? ? n ! α?B i? i m 1n理 1 成立 . n α α - k i ij() 1A 设 n = 2, 由定义知 , ) ( )k = 1, ?, m ,k + 1 xx , 7 j 0 1 ? j = 2 ( ) ( )f x = f x, x = 1 2 其中 λ αααα α 1 22 1( )( ) 3 xx+ xx. ααα ( )m = m ax{, ?,:? B}. 8 1 21 2 0 1 n m ? 2 (αα) ,?B 12m) ( ( = x, x, x, ?, x, x= x, ?, x, x,x记 r 2 3 n i, r 1 i - 1 r 1, r( )( )0, 故 = 在 3 式中 ,令 x= x= 1得 f x 1 2 ) ( ) x, ?, xr, i = 1, ?, n, r ? i, 则 i +1 n ( )λ4 = 0. α ? λ (αα) ,?B ( )α 12mkf( )α (α ) (α - 1 ? - x= iii 1 1, r ? ? 1 11n ! α?B i? i 由定理 1的前提知 , m 1nααα+- k ii i 1 rj( )= 0, f x, x ) )( k + 1 x2 ? r ? n, 9 x, 2 2 j r? 2 ? j?n, j? r ααλ αα - 1 - 1 α 2 11 2λ ( ) α) f ′x, x=(α xx+xx, αααα + 1 1 2 2 1 2 1 1 2ii i ? 1 j r()αx f ′ x = x x , 2 (αα) r j ?B r 1, r i, 1 12m1 ? ? ? n ! α?B i ? i2 ? j?n, j? r m 1 n αααα λ - 1 - 1 α1 22 1( ) 10 ( ) 2 ? r ? n, f ′x, x=(α xxα)= +xx 1 2 2 1 2 22 2 2 ? 2 α(α) ,?B 12mλ ααα +α ii i 1 rjx( )λ ααf x = x, +- 1 r1, r αj 1 2 ?? ? n ! αα) ?B i? i (α- 1 x 2 ? j?n, j? r = + m 1n12? 2 (αα) ,?B 12m( )2 ? r ? n, 11 m - 1 m - 1 n λ x = 0.2 α 1 ? 2 ( ) ( ) ( ) f x是 x, ?, x的 n - 1元 ma (αα) ?B ,1, r 2 n 12m? 1 n - r = 2 αα当 1 ? k ? m= m ax{,: 0 1 2 (αα) ,? B} 时 ,有 1 2 m 次 齐 次 对 称 多 项 式 , 且 当 x = ? = x 时 2 n ( )k n ( )x, xf = 1 2 1 1 ( ) f x? 0. 这是显然的事实 . 1, r ?λ αα α- k 1 n - = 2 r 1 2 ) (α) α(αk + 1 xx[? 1 - - + 1 211 1? n 2(αα ) ?B ,12m 1 ( )αα( ) ( ) b - k xf ′x是 x, ?, x的 n - 1 2 1r 1 1, r 2 n ? ) (αα(α) - 1 ? - k + 1 xx], 2 221 2 1 n - r = 2( )k 元 m 次齐次对称多项式 , 且当 x= ? = x时( ) fx, x= 2 n 1 2 2 n n n 1 x 1 1 ( )xf ′x? 0. r 1 1, r ( )( ) f x+ f ′x- ?1, r 1 1, r ?? n - 1 r = 2 n - n - 11 r = 2r = 2 n ( ) ( ) 事实上 ,因为 f ′x 是 x, ?, x的 n - 1元 1 2 n 1 ( ) xf ′x.( ) 14 r 1 1, r n ? n - 1 r = 21 ( ) ( )x f ′x对称函 数 , 所 以 是 x , ?, x r 1 1, r 2 n ? 1 n - ( ) ( ) ( ) r = 2由断言 a, b, c ,归纳假设及 m 3 知 , 存在 ? ( ) ( ) 的 n - 1元对称函数 ; 因为 f ′x是 x, ?, x的 1 1, r 2 n ( ) 关于 x, ?, x的齐次多项式 2 n n [ 1 ] [ 2 ] ( ) () ( ) () x m - 2次 , - 3次 , x m 1 ppi, j i, j n - 1 元 m - 1 次 齐 次 多 项 式 , 所 以 x fr ? [ 3 ]n - 1 r = 2( ) () px m- 2 次 , 2 ? i < j ? n, i, j ( ) ( ) ′x是 x, ?, x的 n - 1元 m 次齐次多项式 ; 1 1, r 2 n 使得 n ( ) ( ) 当 x= ? = x时 4 式仍然成立 , 故由 10 式 , 有 2 n 1 ) ( f x=1, r ? 1 n - r = 2 n 2 [ 1 ] 1 ( ) ( ( )x ? x-) 15 px, i i, j j ( )?xf ′x? r 1 1, r ?2 ? i < j?n 1 n - r = 2 n 1 λ α) 1 α αα ( + f ′x = 1 1, r i ii j1 r? αx ? xj n - 1 i rr = 2 1 ? ? ? n - 1 n ! α2 ? j?n, j? r ?B i? i m 1n[ 2 ] 2 ( ) ( )( ) x ? x16 px, - ij i, jλ ? α1 m 2 ? i < j?n ( α) x? i n1 ? ? n 1 n ! αn - ?B i? i m 1n1 ( )xf ′x = r 1 1, r ?λ α 1 1 m m1 n - r = 2 λm x ? 0. m n! x? α n n ? ? n - 1 n! n - 1αα3 ] 2 [ ?B ?B mm( ) ( ) ( )px ? x 17 - x, i, ji j ? 2 ? i < j?n λ( ) 这里用了 f 1, 1, ?, 1 = = 0, 就证明了断 α ?α?B 令 m[ 1 ] [2 ] [ 3 ] ( ( ) ) 言 b. 同理可证下面的断言 c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18 px= p x + x p x - p x , i, j 1 i, j i, j i, j n 1 ( ) px是 m() () 则 - 2次齐次多项式. 由 14218式得 i, j ( ) ( ) ( ) 1 cf ′x 是 x , ?, x 的n - 1 1, r 2 n ?n - 1 n r = 22 ( ) ( )) ( = px ? xf x - x+ 1, r 1r 元 m - 1次齐次对称多项式 , 且当 = ? = x时 ? x n 2r = 2 n 2 1 ( ) ( ) px ? x- x= i, j i j ( )?f ′x? 0. 1 1, r ?2 ? i < j?n 1 n - r = 2 2 ( ) ( ) px ? x- x,i, j i j ( ) d由 Taylo r定理知 ? ? i < j?n 2 )( ) ( ) ( ) ( f x = f x+ f ′xx- x + ()1, r 1 1, r 1r 断言 B 获证 . 定理 1 证毕 . m ( )k0( )x f 1 1, r k ( ? x) - x= 1r 3 定理 2 的证明? k ! k = 2 ( ) ( ) ( f x+ f ′xx) n - x+ 1, r 1 1, r 1r ( ) 引理n ? 2 , 实数 r ? 2, E= 1 若 x ? R + + 2 ) ( ) ( 1 px ? x)( ( ) 12 n - x, - 1, r 1r t? 0, t? 0, t+ t? 1 } , 则有( )| { t, t 1 21 2 1 2 其中 ( )r r r r - 1 ( )() m A x , e × - A x, e = ( )k02 ( )fx n 1 1, r k - 2 ( ( )( )) px =? xx13 - 1, r 1r ? ( ) n - 1 k ! k = 2 2 ( ) - x[ tx+x j 1 i i ?κ 为 m - 2次齐次多项式 . 于是 1 ? i < j?n E r- 2 n n n ) ( ) ( t A x, e] d t d t . t x + 1 - t - 2 j 1 2 1 2 ( )( )( )f x = f x+ xf ′x- 1, r 1 1 1, r ? ? ? r = 2 r = 2 r = 2 证明 ( ) 以下简记 A = A x, e. 因为 n n r- 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) [ t xt xf ′x+ n - 1px?x+ t x + 1 - - t A x, e] d t d t = ) - x, 1 i 2 j 1 2 1 2 r 1 1, r 1, r 1r ?? κ r =2 r =2 E n t1 - 11 2 r- 2 ( ) ( ) ( ) f x = px ? x- x+ d t [ t x + t x ( ) 1, r 1+ 1 - t - t A ] d t = r 1 1 i 2 j 1 2 2 ? ? ? r = 2 00 1r- 1 ( ) [ tx+ 1 - tA ] } d t= 1 i i 1 1 d t [ t x + t x + 1 1 i 2 j ?r r r r( ) ( ) r - 1 x- A 0j x- A 1 x - x i i j, r- 1 1 - t - 1 ( ) ( ( )1 - ) r r - 1 x- A t-= tA ] j 1 2 0 x- xx - A i j i 1 所以 1 r- 1( ) { [ t x + 1 - t x ] - i i 1 j ? ( ) ( )0r - 1 x- A j 2 r- 2 ) ( ) ( ( )A x, e] d td tt[ tx+ tx+ 1 - t- x- x = 2 1 21 i2 j1i j ? κ 1 ? i < j?n E r r 1 1 A A A A x- x 1 r 1 r i j 1 1 1 1 xx=x x = - iiii? ? )( ) ( )( )( r r - 1 x - A x - A r r - 1 x - A x - A j i 1 ? i < j?n 1 ? i < j?n j i r r x xx1 x1 jjjj r r A A 1 1 A A 1 1 1 r r 1 1 x xxx- = iiii ? ? ( )2 r r - 1 x - A x - A 1 ? i, j?n 1 ? i, j?n j i r r 1 xxxx1 jj jj r r A 1 A 1 A A n n 1 n n r r A - = ( )1 1 xx A x , e ii? ? ( )2 r r - 1 xxj = 1 - A i = 1 - A j i r r x 1 xj 1 ( )A x , e A j r r r 0 ( )0 1 A A A - A x , e n n 1 n n r r A - = ( 1 1 )xxA x , e ii? ? ( )r r - 1 xx2 - A - A j = 1 i = 1 j i r r rx 1 x j( ) A x- A 0 0 j rr rr n n )() ) ((( ( ) ) ()- x A - A x, eA A - A x, eA - x n j i = + ? ? )( 2 r r - 1 x - A x - A j = 1 i = 1 j i 2 n r r ( ) ( ) [A x, e- A x, e]. 证毕. ( )r r - 1 [ 2 ] n ( ) 引理i设 2a , ?, 关于 r是递增的. a, p ? Rr ? R, 则 + + 1 a关于权 p的r阶加权平均 有关 引 理 2 的 一 些 加 强 与 推 广 可 以 参 考 文 n n 1 / r [ 5 26 ]. r pak k? ( ) k = 1 定理 2的证明由于 D x, p关于实数 r连 r , - ? < r < + ?; n ( ) 续 , 所以不妨假定 r > 2. 又 D x, p 关于 x连续 , 故 r p( ) M a, p= kr ? k = 1 ( ) 不妨假定 x? x1 ? i < j ? n . i j n n p 1 / p k?k 首先证明 p = e的情形 ,即证 :若 2 < r < s,有 ( a) r = 0, ,k = 1 k? k = 1 ( ) ( ) D x, e? D x, e.( ) 19 r s 关于 r是递增的 . ( 令 E = { t , t ) | t ? 0, t ? 0, t + t ? 1 } , 1 1 2 1 2 2 ( ) () ω()ii设 E为 L 可测集 , f,是 E上的非负 L ω ( t , t) ? 1, 则 1 2 ω ω ( ) ( ) μ 可积函数 ,E = x d> 0, 则 f关于权函数 1 E?ω ( ) ω ( ) μE 0. > = t , t d =1 2 E? 2 ω在 E 上的 r次加权平均 ( )( ) ( ) 再令 ft, t1 / r = tx+ tx+ 1 - t- tA x, e, i, j 1 2 1 i 2 j 12 r 1 , ( ) ω( ) μ[ f x]xdE? 则由引理 1得 ω( ) Er r (( )) - A x, e = A x , e ( ω) M f,, E= - ? < r < + ?; r )( r r - 1 2 r- 2 1 ( ω) )( x [M f ,, E ] , x -exp 0 r = ( ) ω( ) μ ,i r- 2 i, j [ lnf x]xdj 2?E? ω( ) 2 n i < j n E1 ? ? ( )r r 1 / r- 2 ( ) ( )( ) 2 A x, e- Ax, e由以上证明及 D x, e的定义知 , 等号成立当且仅 r ( ) Dx, e= = ? r 2 2 )( rr - 1 ( ) ( )A x, e- Ax, e当 x = ? = x . 证毕 . 1 n ( )1 / r- 2 2 r- 2 ( ) ( ω) 其次证明 p ? e的情形 , 即证 :若 2 < r < s, 则 x- x[M f,, E]i j r- 2 i, j ? 1?i < j?n ? ( ) 2 式成立如下 : 2 ( )x- x ij ? 1?i < j?n ( ) ( ) 若 p的分量全为正整数 , 由 19 式知 , 2 式 (( ) )用 0 < r - 2 < s - 2及引理 2 之 ii得 成立 ; 若 p的某些分量为正分数 , 则存在正整数 N , ( )1 / r- 2 2 r- 2 ( ) ( ω) x- x[M f,, E]( ) ( 使得 N p的分量全为正整数 , 则 D x, p= D x, i j s - 2 i, j r r ? 1?i < j?n ? () ( ) ) ) ( N p? D x, N p= D x, p, 2 式也成立 ; 因为 s s 2 ( )x- x ij ? 任意正实数均可由正分数来逼近 , 所以当 p的某些 1?i < j?n (( ) )用 0 < r - 2 < s - 2及引理 2之 i得 ( ) 分量为无理数时 , 2 式仍成立 . 由以上证明可知 , ( )1 / s - 2 2 s - 2 ( ) ( ω) x- x[M f,, E]i j s - 2 i, j 等号成立的条件是 x= ? = x. 证毕. ? 1 n1?i < j?n = 2 致谢 作者衷心感谢中国科学院成都计算机 ( )x- xi j ? 1?i < j?n 所杨路给本文提出的宝贵意见 . ( ) D x, e. s 参考文献 ’’ [ 1 ] B u llen P S, M itrinnovicD S, V a sicP M. M ean s and The ir Inequa litie s[M ]. Do rd rech t: R e ide l, 1988. 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L e t f x ( ) homogeneou s and symm e tric po lynom ia l of degree m , and le t m ?2, n ?2 , if x= ? = x, we have f x ?0, then the re exists a homo2 1 n ( ) ( ) geneou s po lynom ia l px1 ? i < j?n of degree m - 2 such tha t i, j 2 ( ) ( )( ) f x? px? x- xi, j i j ? 1?i < j?n is ho ld s. B y m ean s of th is re su lt and comp u te r, the readab le m ach ine p roofs fo r a lo t of the inequa litie s of homogeneou s and symm e tric po lynom ia ls can be ob ta ined. A nd u sing the p roof of p roving th is re su lt, a con jec tu re fo r inequa lity of va riance m ean is p roved. Key word s: Homogeneou s and symm e tric po lynom ia l; V a riance m ean; Con jec tu re; Inequa lity 2000 M SC : 26D15; 26 E60 ()编辑 余 毅