对新编高中数学教材中球面积、球体积公式处理方案的考虑　

对新编高中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 教材中球面积、球体积公式处理 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 的考虑　 对新编高中数学教材中球面积、球体积公式 处理方案的考虑 一、问题的提出国家教委基础教育司编订的《全日制普通高级中学数学教学大纲》,在必修课的“直线、平面、简单几何体”部分的教学目标中,列入了“掌握球的概念,掌握球的性质,掌握球的表面积、体积公式。” 球是一种基本旋转几何体,它的表面积和体积公式是有广泛应用的基本度量公式。在现行《高级中学课本立体几何》中,是如下处理这两个公式的。先讲球的表面积公式的,后讲球体积公式。为讲前者,首先积证明了预备定理“若球面证内接圆台内的高为h,球心到到母线的距离为p,则圆台的侧面积为”。然后台 根据预备定理,利用分割逼据近的方法,给出球面积公近式式。为讲体积公式,需先引入祖氏原理“夹在两个引平平行平面间的几何体,被平行于这两个平面的任意平平平面所截,若截得的两个截截面的面积总相等,则这两两个几何体的体积相等。”然后应用祖”氏原理,通过过比较半球体与内挖圆锥的圆柱体,得出球体积的 公式。式 多年的教学实践证明,在原教材总体系中上明述处理方式述是比较合理的。。在逻辑上比较周密,教学学上也比较自然顺畅。然而,原立体几何教材体系而也也存在过于强调内容与体系的完系整严密,内容多且旧的问题。原《立体几何旧》总课时设计为》 57,其中“直线和平面”部分为中282课时,“多面体和旋转体”部转 1 / 11 分为29课时。在在几何体中包括了棱柱、棱棱锥、棱台,圆柱、圆锥、圆台,球、球冠、球缺、等。对立体几何安排如此等多多的教学内容和课时,在目目前世界各国的中学数学教材中已不多教 见。为了精简传统内容,给增加新内简容容提供课时,以适应21世世纪的需要,新大纲对立体体几何的教学内容做了必要要的调整,以“直线、平面、简单几何体”为标题面安排立体几何内容,安 总课时为时36。在保留原来的“直线和平面”部分主要“内内容的基础上,简化了几何何体部分,重点讲棱柱、棱棱锥、正多面体和球。对于圆柱、圆锥、棱台和圆于台,则不作为教学内容列台出。出从中学数学课程和教材的全局来看,以上调整材是是必要的,也是比较合理的。第一,这样做保留了的三维空间几何的最基础三 的内容,即空间的线线、线内面、面面关系。掌握了这面些核心些内容,就得到立体几几何的精髓,就可以不太费力地进而学习费 立体几何的的其他内容,同时也为学习习其他涉及立体几何知识的的相关分支和学科储备了基本够用的基础知识。第基二,这样二做精简了基本几何何体,分散处理基本几何体体及有关计算问题,节约了课时,为高中数学增加了概率与统计、微积分等近概代代数学知识让出了时间。 鉴于上述新大纲的调整,教材中关于球面积和体积教公式公的处理必须做相应变化。其理由主要有,化 1,教学内容中删除圆台后,,,原教材中引出球面积公式式的预备定理就不能出现了了,因此球面积公式的处理理不能沿用 2 / 11 原教材方式。 2,教学目标中未包含体积积公理及柱、锥体积的理论论推导,而这些内容恰恰是原教材中球体积公式之是前前的内容。如果不讨论圆柱、圆锥的体积,而直接柱用它们来推出球的体积用 公式,就在逻辑上显得很不式协调。人们不仅要问,为协什么圆什柱、圆锥的体积公式式不作理论上的推导,而球的体积公式却球 要推导呢,, 3,新大纲在限定选修课的理科部分安排了“修积积分”,其中包括“旋转体的体积”。这就能使部体分学生在高中阶段运用定分积积分完成球体积公式的理论证明,这种证法要比原论教材的初教等数学证法更具一一般性。因此,对选学理科的学生来说,在科 学习“积分”时讨论球体积公式积的的理论依据是最适宜的。 在新编高中数学教材中,怎样具体处理球面积和体怎积公积式呢,这是一个需要认识思考的问题。下面笔认者对所考虑到者的几种方案进行分析比较。进 二、几种方案的分析比较种 方案11,直接给出两个公式,不不在理论上进行证明或说明明解释,至多在直观上用实验对公式加以验证,只实要要求学生理解公式所表示的意义,会利用公式进行的计算。计 分析,这种方案虽然实施起来毫不费力,虽但但是显然过于简单,仅停留在初中一年级“代数式留求值”的层次,与高中学求生生的思维发展水平和求知欲欲望相差甚远,与新大纲教教学目标所 3 / 11 要求的“掌握”公式是不一致的。新大”纲纲有关“掌握”的解释是“一“般地说,是在理解的基础上,通过练习,形成基技技能,能够用它去解决一些些问题。”这里所说的“理解”又被解释为“对概理念念和规律达到了理性认识,不仅能够说出概念和规,律律是什么,而且能够知道它是怎样得出来的,它与它其他概念和规律之间的其 联系,有什么用途。”显然系,,方案1不能实现新大纲规定的“掌规握”级教学目标。标 此外,虽然用实验的的方法可以验证球体积公式,但是验式证球面积公式是困难的。这是由于球面是是由曲率处处不为零是 的圆弧所形成的旋转面,不能弧象圆柱面或圆锥面那样沿象一一直母线展成平面图形。 方案2,补充圆台等有关内容和体积公理等预备关知知识,采用原教材方式处理两个公式。理 分析,这种种方案是“退回原来”,为此需要补充一系列超出为新新大纲规定范围的教学内容,增加较多课时。这与容新新大纲对立体几何所做调整整的初衷相悖。 方案3,,先给出两个公式,待后面的“积分”部分再解决面其其“怎样得出”的问题。 分析,对球体积公式,这种方案可行。然而,对这球球面积公式则有困难。因为新大纲在“积分”部分为的教学内容中包含的 4 / 11 “旋转体的体积”,而不含“旋体转面的面积”。旋转体的转体体积V= 较容易推导,而而旋转面的面积S=的推导则较复杂。它导 或者从弧的的微分的角度由得出,或者者从面积微元 求和并取极极限得出。但是,无论哪种种方法都涉及超纲的知识。因此,在新大纲所规定。的高中数学范围内用积分的法法得出球面积公式是难以实现的。实 还应指出,由于新大纲未在文科和实科于的选修课中列入的 微积分,所以即使对于球体积公式所,文、实科学生也不能在,高高中阶段通过积分掌握。 方案4,将球体积公式移前面讲,具体处理方法移与与原教材一样,即以祖氏原理为依据对比球与内挖原圆锥的圆柱体,圆 然后运用““分割,求和,取极限”的的思想,利用球体积公式导导出球面积公式。具体方法法如下, 如图1 ,将球面分割为许多小网格,球连接球心和这些小网格的连顶顶点,就得出许多小棱锥。设其中第。i个小棱锥的体体积为V,则。 h为棱锥的高,棱锥的底面为。锥 当这样的分割不断加密时,各小棱锥中从球心引出,的高的就不断接近球半径R,,这些小棱锥底面的面积之和就不断接之 近球面积,这些小棱锥的体积图这1之和就不断接近球体积,和 5 / 11 即 , 当上述分割无限加密时,就有密 , 于是球面积面 分析,这种方案对将要选修文、理、实各科将学生都可用。学它不仅可以解决两个公式的推导,更解重要的是在球面积公式重 的导出中渗透了“分割,求导和,取极限”和“化曲为和直,又积直直为曲”的微积分基本思想。这既为理科分选修微积分做了铺垫,选 也有利于文、实科学生了解有微积分的思想方法。微 这种方案中,球体积公式的种证明方法属于构造性证法证,,它是在已有结论的前提下下,对固定目标的证明。与与用积分法相比,它在普遍遍性和培养发现未知目标的的能力方面都显逊色。此外,这种证法之前要有祖外氏氏原理等预备知识,为使教教学内容安排得连续紧凑,,同时考虑到在球面积公式式的导出中需知棱锥的体积积公式,笔者认为应在棱锥锥部分安排祖氏原理,并解决柱体和锥体的体积公解式式。这样一方面可使学生对对柱体和锥体有完整的认识识,另一方面也能引导学生生把对体积的认识从观察实验的水平上升到理论分实析的水平,而这恰是析 高中阶段与 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 、初中阶段在阶教教学要求上的一个区别。 方案5,除球体积公式的给出改为如下方法之外,给其他其 6 / 11 安排处理同方案4。 如图2,用一组平行于半球球底面的平面将半球分为nn小片,每片厚度为,每片片体积近似等于,其中可由由勾股定理r求得,即i==0,1,2,…,n-11, n片体积之和为。 当n时,n片体积之和就无限接近半球的体积。就于于是半球体积是,球体积是。是 分析,这种方案保留了方案留4的优点,又对球体积公式球的导出做了改进。其所用方法实质上是进积积分法,只是表达上较简单朴素,虽不十分严格正单规,但尚未学极限和微积规分分的学生有可能接受。由于这种方法体现了“分割于,求和,取极限”, 等微积分基本思想,所以它比方分案案4的方法更具一般性,因因而更有利于培养发现未知知结论的能力。还应指出,这种球体,积公式的证法与方案与4的球面积公式的导出方法,在思想上导 是一致的,连续两次使用这种致方法,有利于介绍和强化方一一种基本的数学思想和方法,也有利于对后续的极法限和微积分的限学习。关于如如何看待这种方案与积分法的关系,笔者认为这法 种方案是运用积分法的思想方,通过通俗易懂的方式和,语言,语解决和解释简单的具体问题。我们也要看到具,,由于这种方法包含较深刻刻的变化思想,涉及“有限与无限”的转化,对学限习习者来说认识上要有一个新新的飞越,所以有一定难度度。然而, 7 / 11 只要在教材和教法上处理得当,注意深教入入浅出,从特殊归纳一般,对于高中学生来说飞越,这这些障碍是完全可能的。 以上为简明起见,使用了专用数学符号,在编写了教教材时要注意以说明道理为主,叙述上要符合学生为水平。水 比较以上几种方案案,笔者认为在体现新大纲的精神,实纲现教学目标,突出基本数学思想方法,,适应学生的思维发展, 水平和注重培养学生的数学平能力等方面,相对而言,能方案方5要优于其他几种。 三、对中小学数学关于面积、体积教学的认识积 面积、体积是基本的几何度积量概念。从理论上看,在量传传统的欧氏几何体系中,这些概念是在有关公理基这础础上建立和展开的,在近代数学中,集合的测度理代论又成为这些概念的论 基础。数学的教学体系有别于。数学的理论体系,它既要数照照顾知识之间的和谐统一,又要照顾学生的接受能,力力,做到严谨性与量力性相结合。因此,中小学数相关于面积、体积的教学关 必须由浅入深地分步进行。须 高中教育是与义务教育接轨的。从我国现行小学、轨初中初义务教育数学教材和新高中数学大纲联系起来新看,中小学数看学中关于面积、体积的教学大体可分积为以下几个阶段,为 1,建立最基本的概念,通过建观察实验建立简单的公式观。。这个阶段主要在小学进行行。最基本的概念包括面积积、体积, 8 / 11 及由单位正方形、单位正方体引出的面形积、体积单位,简单积 的公式有正方形、矩形、平行式四边形、梯形、三角形、四圆圆等的面积,正方体、长方体、圆柱、圆锥等的体方积。这些公式积多是通过分割、拼合、直观比较等手割段得出的。段 2,在已知简简单公式的基础上,通过简简单推理建立新公式。这个阶段主要在初中进行。个例例如,扇形的面积是在圆面面积的基础上推出的,圆锥的侧面积又是以扇形面锥积积为基础推出的。这个阶段与前一阶段相比,抽象段性性有所提高,但推理还属较简单的层次,在较大程较度度上还要借助直观印象。 3,在有关公理的基础上,,经分析推理建立新公式。。这个阶段主要在高中必修课进行。修 例如,在祖氏氏原理的基础上,推出一般柱体和锥体的体般 积公式,,用方案4或方案5的 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 推出球的体积、面积公法式式等。这个阶段与前一阶段段相比,在理论方面要求又又进一步。这主要表现在提提出了公理,因而不再仅仅仅依赖于未作明确的、统一的规定的直观经验,而一且推理的复杂程度也明显且加加强,推理中所运用的思想想方法更为丰富。 4,运用高等数学的方法建立运新公式。这个阶段主要在新高高中理科选修课进行。这主要是以微积分为工具,主解解决一般的平面图形的面积和旋转体的体积问题。积这个阶段与前一阶段这 的最突突出的区别在于它已明确地地使用高等数学的思想方法法及有关法则和符号表示,方法更具一般性和规范,性,解题速性 9 / 11 度大大提高,解决的问题更广泛。解 这些些阶段分别适应不同年龄段段的中小学生的认知能力和和思维发展水平,它们互相相联系,形成一个相对完整的教学整体系。经过这几个阶段循序渐进的学习,个就就可以具有有关面积、体积的一般基础知识,学会积解解决问题的普通方法,并锻锻炼出相应的分析问题、解解决问题的能力。 研究和和编写高中数学教材中有关关球面积、球体积的内容,是建设上述教学体系的,任务之一,它关系到完成任上述第上三个教学阶段的最后部分,也涉及第三、四后教学阶段的衔接。教 对此应予以充分重视。予 参考资料,料 1,《全日制普通高级中学数学教学大纲》高,国家教委基,教司编订, 2,《九年义务教育六年制小学教科书数学》,人制民教育民出版社小学数学室编著,编 3,《九年义务教教育三年制初级中学教科书几何》,人民书 教育出版社社中学数学室编著, 4,《高级中学课本立体几,何何全一册》,人民教育出版版社数学室编著, 5《数学分析》,江泽坚等,《著,著 6,《数学分析》,复旦大学数学系主编,, 7,《DiscoveringGeometryi》》,KeyCurriculumPress, u 10 / 11 11 / 11