圆幂定理
?7.2.6 圆幂定理
顺义八中 张海英
教学目标：
1. 通过学生自己对问题的研究、探讨，自觉地理解相交弦定理、割线定理、切割
线定理的含义；并在研究过程中，理解三者之间的内在联系；初步会应用定理
进行简单的证明或计算。
2. 通过“转化”及“运动----变化”思想方法的运用，培养学生“观察——分析”、
“归纳——概括能力及发散思维能力，并对学生进行事物之间是相互联系和运
动变化的观点的教育。
3. 通过学生亲身经历知识的三个形成过程：发现——论证——结论，让学生学会
创造性思维方法，培养学生的创新意识和探索精神，并领会在研究性学习中合
作学习的重要，学会学习。
教学重点：在观察、实验的基础上让学生亲身经历知识的三个形成过程：发现——
论证——结论。
教学难点：发现结论、概括定理。
教学方法：引导发现法与讨论法相结合。
教学用具：正投、多媒体电脑、圆规、三角板
教学过程：
(,
1.为学生创设具有挑战)
1.学生边实验、边画出性的问题情境，激发学1. 结合点与圆、直线与圆的位置关系，
位置图形。 生进行思考。 找出两条相交直线与圆的位置关系。 2.教师为学生提供交流2. 教师巡视，并让学生到前面展示位置2.学生讲解展示。 的空间，使其充分发才关系； 智、张扬个性。 3.学生边思考，边观看3.用运动的观点来统一3. 教师提示学生思考这些图形之间是图形间的运动变化。 认识图形间的联系。 否有联系？——几何画板演示 4. 在研究了位置关系后，我们应研究它4.学生猜想、实验、讨4.发现比结论更重要。 们的数量关系，在上述符合条件的图论交流自己的看法。 形中，你能否发现各线段之间的数量 关系呢？ 5. 学生们受到启发，5. 在学生一筹莫展时，教师为学生提供5.使学生学会学习，进思路豁然活跃，积极认识事物规律的一般方法——由特一步体会人们认识事物
寻找结论。并同小组殊到一般，由简单到复杂。即，上述规律的方法。
成员讨论。 图形中较熟悉的垂径定理基本图形
和切线长定理的基本图形。 6为学生提供充分探索
6.学生独立思和探索，6. 教师要求学生们发现结论后进行论与交流的空间，能在倾
在探索的过程中形成证，并用文字语言组织该命题。然后听别人意见的过程中逐自己的观点。 学生到前面为大家讲解。 渐完善自己的想法。
7.教师在学生总结的基础上，进一步归纳 概括出定理，并用Powerpoint演示。 8. 此处教师板书定理的推理形式。 7.学生在倾听老师意7.因定理本身的叙述很
见的过程中逐渐完善绕嘴，故只须学生说出
自己的想法。 意思即可。 9.此处按排一些小型练习题，教师引导落 实，并注意强化定理的使用中应注意的问9.学生独立完成，在与9.及时反馈，尽快补救。DA题。 同学交流。 每一个问题都能考查双
E CA基。 O 例:反馈 练习1 B （1）?O中，弦AB、CD交于圆内于点E， PCO（1）题图 且AE=2，BE=6，CE=3，求DE=？ D(3)题图C（2）?O的两条割线PAB、PCD分别交圆于 P A、B和C、D两点，且PA=2 ,AB=7 ,PC=3 求OA PD=？ B 反馈1为了从正面加强(2)题图（3）PA切?O于A，PO交?O于C， 对定理的理解及运用。 PA=5 ，PC=2，则?O半径为（ ） (A) 12.5 (B) 6.75 (C) 11.5 (D) 5.25 A D PCB 例:反馈 练习2如图：若点A、B、D分别为反馈2为了从反面加强 ?C上的点，则 有 PA ? PB = PC ? PD 对定理的理解。 BA2.如图：若PAB、PCD分别为?O的两条割线 PO 且交?O于A、B、C、D， 则有 C DPA ? AB = PC ? CD A3P
O C. 割线PCD交?O于C、D，PO交?O于A， 则有 PA ? PO = PC ? CD4. 如图：若PC切?D CCO于点C，PAB为割线， 交 PP2 A?O于A、B，则有 PC= PA ? AB 5. 如图：OOA 若PC切?O于点C，PO交?O于A，则有 2BPC= PA ? PO
O
B AP FG本例题的设计，主要是例如：已知：?O的半径为R，过?O内一定为揭示圆幂定理的本22点P作弦AB，求证： PA? PB= R – OP 质，同时也作为本课的OBC 延伸，在解决问题的基 P础上，又提出新的问题， AD思考：?经过一定点P可作?O的多少条弦？ EH
?可以得到PA?PB=PC?PD=PE ?PF=PG ?PH=??
?事实上：点P到各弦两端的距离之积相等，学生们自由发言 待学生们课下继续研等于什么？有没有一般规律？结合例题想一究、探讨。 想，相信你一定会有所发现！
? 通过本节课的研究、探讨，你认为本节课
的最大收获是什么？ ? 对于本节课中研究的三个定理，你认为应
注意哪几方面？ 为学生再一次提供合作
交流的机会，为今后继 ?定理的等积式中的每一个线段都是由公
续进行研究性学习做好共端点引出的；每一个相乘的两条线段均
铺垫。给他们为自己亲位于同一条线段上。 身感受发现这一重要数 ?不符合定理条件的图形，应添加适当的学知识的愉悦心情提供辅助线。 一个交流的场所。 ? 通过―运动——变化‖思想方法的运用，使
学生从不断变化的几何图形中发现不变的
几何规律，从而体会数学知识结构的内在
美，数学语言的简洁美。
六、板书设计（略） 附加Powerpoint部分板书
?7.2.6 圆幂定理
定理：若两条相交直线分别与圆相交，则两直线的交点到与圆交点的两条线段长的积相等。
C 即 PA?PB = PC?PD PB1.相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的 O
D两条线段长的积相等。 AC 即 PA?PB = PC?PD D2.割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每 OPB条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 A
即 PA?PB = PC?PD
3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段C长的比例中项。
OP2 即 PC= PA?PB BA
4.三个定理间的本质联系：点P为与圆相交直线上的点，该点到与圆交点的两条线段长的
22积是定值。 即 PA?PB=|R-OP|
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