历年数列高考题汇编

历年数列高考题汇编 历年高考真题汇编---数列(含) 1、(2011年新课标卷文) 11 已知等比数列中，，公比( {}aq,a,n133 1,an (I)为的前n项和，证明: S{}aS,nnn2 (II)设，求数列的通项公式( {}bbaaa,，，，logloglognn31323n 111(1,)1,nn111n,1333 解:(?)因为a,，(),.S,,,nnn133231,3 1,an所以 ,S,n2 n(n，1),,(?) b,loga，loga，？，loga,,(1，2，.......，n)n31323n2 n(n，1) 所以的通项公式为 {b}b,,.nn2 2、(2011全国新课标卷理) 2等比数列的各项均为正数，且 a231,9.aaaaa，,,,,n12326(1)求数列的通项公式. a,,n ,,1(2)设 求数列的前项和. baaa,，，，loglog......log,,,nn31323bn,, 12322得所以。有条件可解:(?)设数列{a}的公比为q，由aaa,9aa,9q,n326349 1知a>0,故。 q,3 11由得，所以。故数列{a}的通项式为a=。 231aa，,231aaq，,a,nn12121n33 (? ) baaa,，，，loglog...logn111111 ,,，，，(12...)n nn(1)，,,2 1211,,,,,故 2()bnnnn，，(1)1n 1 111111112n ，，，,,,，,，，,,,...2((1)()...())bbbnnn22311，，12n 2n1所以数列的前n项和为 {},bn，1n 3、(2010新课标卷理) 21n,设数列满足 aaaa,,,2,32,,n11nn， (1) 求数列的通项公式; a,,n (2) 令，求数列的前n项和 bna,Snnn解(?)由已知，当n?1时， aaaaaaaa,,，,，，,，[()()()]nnnnn，，,111211 2(1)1n，,2123nn,,。 ,2,，，，，3(222)2 21n,而 所以数列{}的通项公式为。 a,2,aa,21nn 21n,(?)由知 bnan,,,2nn 3521n, ? Sn,,，,，,，，,1222322n 235721n，从而 ? 21222322,,,，,，,，，,Snn 2352121nn,，?-?得 。 (12)22222,,,，，，，,,Snn 121n，即 Sn,,，[(31)22]n9 4、(20I0年全国新课标卷文) 设等差数列满足，。 aa,5a,,9,,n310(?)求的通项公式; a,,n (?)求的前项和及使得最大的序号的值。 aSSnn,,nnn 解:(1)由a= a+(n-1)d及a=5，a=-9得 m 1 110 ad，,251 { ad，,,991 2 a,91 {解得 d,,2数列{a}的通项公式为a=11-2n。 ……..6分 nn nn(1),。2 (2)由(1) 知S=na+d=10n-nn12 2因为S=-(n-5)+25. n 所以n=5时，S取得最大值。 n 5、,2011年全国卷, 设数列的前N项和为,已知求和 aSa,6,630,aa，,aS,,nn212nn 6、( 2011辽宁卷) 已知等差数列{a}满足a=0，a+a=-10 n268 (I)求数列{a}的通项公式; n a,,n (II)求数列的前n项和( ,,n,12,, ad，,0,,1解:(I)设等差数列的公差为d，由已知条件可得 {}a,n21210,ad，,,1, a,1,,1解得 ,d,,1., 故数列的通项公式为 ………………5分 {}aan,,2.nn aaann2 (II)设数列，即， {}的前项和为,，，，,,1故nSSaSnn11,1,nn1222 Saaann12 .,，，，n2242 所以，当时， n,1 3 Saaa,aa,nnnn,121,，，，,a1nn,12222 1112,n,,，，，,1() nn,12422 12,n,,,,1(1)nn,122 nn =所以 .,.Snn,1n22 ann综上，数列 {}.的前项和,nSn,,11nn22 7、(2010年陕西省) 已知{a}是公差不为零的等差数列，a,1，且a，a，a成等比数列.n1139 (?)求数列{a}的通项; n an(?)求数列{2}的前n项和S. n 解 (?)由题设知公差d?0， 12，d18，d 由a,1，a，a，a成等比数列得,， 1139112，d 解得d,1，d,0(舍去)， 故{a}的通项a,1+(n,1)×1,n. nn man (?)由(?)知2=2，由等比数列前n项和公式得 n2(12),23nn+1 S=2+2+2+…+2==2-2 n12, 8、(2009年全国卷) 设等差数列{}的前项和为，公比是正数的等比数列{}的前项absnnnnn 和为T，已知的通项公式。 ababTSb,,，,,,1,3,17,12,},{}求{an113333nn解: 设的公差为，b的公比为 aqd,,,,nn 2由得 ? ab，,1712317，，,dq33 2由TS,,12得 ? qqd，,,433 由??及解得 qd,,2,2 q,0 n,1故所求的通项公式为 anb,,,，21,32nn 4 9、(2011福建卷) 已知等差数列{a}中，a=1，a=-3. n13 (I)求数列{a}的通项公式; n (II)若数列{a}的前k项和S=-35，求k的值. nk 10、(2011重庆卷) 设是公比为正数的等比数列，,. (?)求的通项公式; (?)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和. 11、(2011浙江卷) 111已知公差不为0的等差数列的首项为，且，，成{a}a(a,R)naaa124 等比数列( (?)求数列的通项公式; {a}n 5 11111*(?)对，试比较与的大小( n,N，，，...，23naaaaa12222 1112解:设等差数列的公差为，由题意可知 {}ad(),,naaa214 22 即，从而 因为 ddaa,,,0,.所以()(3)adaad，,，add,11111 故通项公式 ana,.n 111n (?)解:记 Taa,，，，,因为,2nn2aaa2n222 11n,(1())1111111n22 所以 T,，，，,,,,()[1()]n2n1aaa2222,12 11 从而，当时，;当 a,0T,aT,,时0,.nnaa1112、(2011湖北卷) 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、 13后成为等比数列b中的b、b、b。 ,,n345(I) 求数列b的通项公式; ,,n 5,,S，(II) 数列b的前n项和为S，求证:数列是等比数列。 ,,,,nnn4,, 6 13、(2010年山东卷) 已知等差数列,,满足:，，,,的前项和为 Saa,7a，a,26an357nnn(?)求及; Sann 1*,,(?)令()，求数列b的前项和为。 b,Tnn,Nnnn2a,1n ,,解:(?)设等差数列的首项为，公差为， aad1n 由于，，所以，， a,7a，a,26a，2d,72a，10d,2635711 ()na，a1n解得，由于a,a，(n,1)d， ， a,3d,2S,1n1，n2 所以， a,2n，1S,n(n，2)nn 7 2(?)因为，所以 a,2n，1a,1,4n(n，1)nn 1111因此 b,,(,)n4n(n，1)4nn，1 111111故 T,b，b，？，b,(1,，,，？，,)n12n4223nn，1 nn11,T, 所以数列的前项和 ,,b,(1,)nnn4(n，1)4(n，1)4n，1 14、(2010陕西卷) 已知{a}是公差不为零的等差数列，a,1，且a，a，a成等比数列.n1139 an(?)求数列{a}的通项; (?)求数列{2}的前n项和S. nn解 (?)由题设知公差d?0， 12，d18，d 由a,1，a，a，a成等比数列得,， 1391112，d 解得d,1，d,0(舍去)， 故{a}的通项a,1+(n,1)×1,n. nn man (?)由(?)知2=2，由等比数列前n项和公式得 n2(12),23nn+1 S=2+2+2+…+2==2-2.、 m12, 15、(2010重庆卷) 已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和. aSan,,,,nnn(?)求通项及; aSnn (?)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通ba,b,,,,nnn项公式及其前项和. Tnn 8 16、(2010北京卷) 已知为等差数列，且，。 ||aa,,6a,0n36 (?)求的通项公式; ||an (?)若等差数列满足，，求的前n项||b||bb,,8baaa,，，n12123n 和公式 解:(?)设等差数列的公差。 {}adn ad，,,26,1 因为 所以 解得 aa,,,6,0ad,,,10,2,361ad，,501,所以 ann,,，,,,,10(1)2212n (?)设等比数列的公比为 因为 {}bqbaaab,，，,,,,24,8n2123 所以 即=3 ,,,824qq nbq(1),n1所以{}b的前项和公式为 nS,,,4(13)nn1,q17、(2010浙江卷) 设a，d为实数，首项为a，公差为d的等差数{a}的前n项和为S，nn11 满足SS，15,0. 26 (?)若S,S.求S及a; 5n1 (?)求d的取值范围. 9 -15解:(?)由题意知S=-3,a=S-S=-8 0S5 Sad，,105,,1所以解得a=7所以S=-3,a=7 11,ad,,,58.1, 22(5a+10d)(6a+15d)+15=0,即2a+9da+10d+1=0. (?)因为SS+15=0,所以1111 222故(4a+9d)=d-8. 所以d?8.故d的取值范围为d?-2 21 18、(2010四川卷) {}an已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。 {}an(?)求数列的通项公式; n,1*{}bbaqqnN,,,,(4)(0,)Snnnn(?)设，求数列的前n项和 n,1bnq,n?)由(?)得解答可得，，于是 0121n,Sqqqnq,，，，，123n ( 121nn,qSqqnqnq,，，，,，121，，q,1n 若，将上式两边同乘以q有( 两式相减得到 nn121,qSnqqqq,,,,,,,11，，n nn，1nnqnq,，，11，，q,1n,,nq,q,1q,1 ( nn，1nqnq,，，11，，S,n2q,1，，于是( nn，1，，Sn,，，，，,123nq,12若，则( 10 nn，1,，，,1,q,，，,2,S,nn，1,nnqnq,，，11，，,,1.q,，，2,q，，,1,所以，…………………………………(12分) 19、(2010上海卷) *已知数列的前项和为，且， anSSna,,,585nN,,,nnnn证明:是等比数列; a,1,,n *解:由 (1) SnanN,,,,585,nn 可得:，即。 aSa,,,,1585a,,141111 同时 (2) Sna,，,,(1)585nn，，11 从而由可得: (2)(1),aaa,,,15()nnn，，11 55*即:，从而为等比数列，首项，公比为，{1}a,a,,,115aanN,,,,1(1),n1nn，166 55n,1n,1通项公式为，从而 a,,,a,,，115*()15*()1nn6620、(2009辽宁卷) asSSSnn132等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 an (1)求{}的公比q; aas13n (2)求-=3，求 2a，(a，aq),2(a，aq，aq)111111解:(?)依题意有 a,01 由于 ，故 22q，q,0 1q,,q,02 又，从而 12a,a(,),3112 (?)由已知可得 11 a,41 故 1n41,,(())81n2S,,1,,(())n1321,,()2 从而 12