多元函数极值求法探讨

多元函数极值求法探讨 多元函数极值求法探讨 2010年第12卷第6期 总第105期 巢湖学院 Joum~ofChaohuCollege No.6.,Vo1.12.2010 GeneralSerialNo.105 多元函数极值求法探讨 陈惠汝 (黄冈师范学院 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 与信息科学学院,湖北黄冈438000) 摘要:利用方向导数,梯度及内积,二次型三种方法分别判别函数极值,通过二元函数求极 值的方法介绍多元函数极值的求法. 关键词:多元函数;极值;方向导数;梯度;内积;二次型;正定矩阵 中图分类号:0172.1文献标识码:A文章编号:1672—2868(2010)06—0116—03 函数极值不仅是数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中的一个重要问题,也是我们解题中的一个难题.函数极值在应用中也 普遍存在.在生产和日常生活中我们总是希望减少消耗,增加利用率,而这些实际问题都可以归结为函 数极值问题.本文给出了几种求多元函数极值的方法. 1利用方向导数判断多元函数的极值 定义1[1】设函数()在点.的某邻域(托)内有定义,Vx?(‰),令p=I.I,若 lim尘)_存在,称此极限为函数厂()在点.沿方向z=的方向导数,记作厂(.). oP 引理It】设二元函数f(,),)在点p.(‰,y0)的某邻域ty(p0)内连续,在(p0)内可微,Vp(x,y)?(P0), 用z 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示方向. (i)若(p)>0,则厂(p)在点p.取得极大值; (ii)若(p)<0,则)在点P.取得极小值. 与二元函数相类似.多元函数也可以利用方向导数来判断极大值和极小值.现将上述引理推广到多 元函数的情况并举例说明. 定理1设多元函数f(x一,)在点P.0I,…,)的某邻域.)内连续,在o)内可微, Vp(一,)?(p.),用f表示方向.. (i)若(p)>0,则)在点P.取得极大值; (ii)若(p)<0,则f(p)在点P.取得极小值. 推论1设多元函数f(x一,%)在P0(X01,…,on)的某邻域(p.)内连续,在,/0o)内可微, 对Vp(x一,)?(p0) (i)若(,.1)+…+. ()<O,则一,)在P0取极大值; 收稿日期:20lO一09—23 作者简介:陈惠汝(1978一),女,湖北英山人.黄冈师范学院数学与信息科学学院讲师,研究方向:基础数学教学与研究. 1l6 (ii)若(...)+…+. ()>o,~Uf(x一,)在po取极小值. 例1讨论--:~i$i数配=,Y)=++一&的极值. 解先求三个一阶偏导数,令它们为0.解方程组得稳定点,再利用定理的推论确定极值. u,=2x+2=O,uy=2y+4=O,Uz=2g一6=0 求得稳定点为(一1,一2,3). ? . ' (戈+1)(2+2)+(y+2)(2,,+4)+(一3)(2z一6)=2(+1):2(,,+2)+2(z-3)>0 由推论知=厂(,Y,z).竹2++一在点(一1,-2,3)处取得极小值. uIP.=一1,一2,3)=(一1)2+(-2)2+3+2(-1)+4(-2)-6x3=14. 2利用梯度及内积计算多元函数的极值 定义2圆若一,)在p..一,)点存在对所有自变量的偏导数,则称向量[(P.),…, )】为函数f(x--,)在po(x.一,)的梯度,记作gradf=(po),…,. (Po)). 引理设)在点XO连续,在(.,6)内可微, (i)若?(‰,6),有(.()<0,则)在粕点取得极大值; (ii)若?(.,),有(z.)厂()>0,则)在‰点取得极小值. 对于有些多元函数我们也可以利用梯度及内积的方法求极值.由上述引理可推广到多元函数的情 况,文[2—4]都进行了讨论有如下定理. 定理2设多元函数f(x一,)在p...9o'o,xo)点连续,在(Po)内可微, (i)若Vp(x一,)?(P.),有(..,一02,…,)?gradf<O,~Jf(x一,)在Po点取得极大 值; ,)?gradf>O,则一,)在Po点取得极小 (ii)若Yp(x.,…,)?(P.),有(.,一02,… 值. 由于极值只可能在稳定点或偏导数至少有一个不存在的点处取得,因此,定理2可对这样的两类 点使用. 例2求f(x,),,z)2-3+的极值 解令=2x一3y+2=0,=2y一3x=O,=2z=O,解出=?,),=,=0.对(戈,Y,z)点有 (x-?,?,z)o-oaf=?) (一3y+2)+?)(Zy-32g2m?)[2?)一3(y--)】+(争) 【2)_3(一?)】+2z=2?)+2?)2+2z2>0 所以T4 ,T 6 , z=-O时,f(x,y,z)2-3+2x达到最小值?. 3利用二次型求多元函数的极值 定义3阿设函数Y=一,)在粕=(.一,xo)点有连续的二阶偏导数,称矩阵 l厂…I .)=1."……l I…厂l 为函数),=一,)在.点的海色矩阵. 引理3设函数,,=,:,,)在点P.的某个邻域内有连续的一阶及二阶偏导数,并且gradf(po)=O, 则 117 (i)若矩阵(p.)是正定矩阵,则,乞=.,:,,)在P.处取得极小值; (ii)若矩阵(p.)是负定矩阵,则y=.,,,)在p.处取得极大值; (iii)若矩阵日,(p.)是不定矩阵,则y=.,,,)在p.处不取极值. 定理3设n元函数Y一,xo)在X0=.一,xo)的某个邻域内有连续的二阶偏导数,且gradf(x0)= 0.则 (i)若(Xo)是正定矩阵时,则为)的极小值点; (ii)若H,(xo)是负定矩阵时,则.为)的极大值点; (iii)若矩阵(p.)是不定矩阵时,则)在.处不取极值. 例3求函数f(x,Y)=x3+y3+3x2y-3产9',的极值 解厂在尺二阶连续且可微,先求稳定点. 令,y)=3x+6xy=0,,y)=3y%3x.69=0求得稳定点为(0,3),(0,-1),(?,一?)和(-2,1).JJ 二阶偏导数为厶=6x+6y,厶=6x,厶=6y-6. 在点(0,3),为正定矩阵,所以厂在(0,3)处有极小值0,3)=一27. 在点(0,一1),为负定矩阵,所以厂在(0,一1)处有极大值f(0,一1)=5. 在点(},一?)和(一2,1)处,为不定矩阵,所以它们都不是极值点.JJ 若函数f(..,)在有界闭域D连续且可微,则f(一,xo)在D上必达到最大值或最小值. 设 (Po)=(或m),若P.是D的内点,则P.是f(一,Xn)的极值点,但可能发生P.?OD.因此, 为了找出 f(x一,)在D的最大最小值,必须找出厂一,在D的极值点,再与边界aD的函数值比 较,才能找 出函数在D上的最大最小值;而实际问题的最大最小值,可根据问题的实际意义来 判断. 参考文献: [1]余兴民.利用方向导数判别函数极值[J].商洛师范专科学校,2002,16(4):20—21. [2】赵亚明,杨玉敏.多元函数极值的一种新方法[J】.鞍山师范学院,2003,5(4):7-9. [3】蔡生.多元函数极值的一个判别法[J].辽宁教育学院,1997,14(5):儿一l3.. [41赵俊.多元函数极值的判别方法探讨fJ].现代商贸工业,2009,13:194—195. 【5】凌征球.二次型在求多元函数极值上的应用[J].广西民族学院(自然科学 版),2002,8(2) 【6】程国,刘亚亚.求多元函数极值的二次型方法[J】.河西学院,2008,24(5):20—23. THEDISCRD加『ANCESANDAPPLICATIONSoFTHEAND DF?TELYSEQUENCEoFNUM[BER CHENHui-ru (Collegeofmathematicsandinformationscience,HuanggangNormalUniversity,Huangga ngHubei438000) Abstract:nlistextmakesuseofadirectiontoleadanumber,stepsdegreeandinsideaccumulate .twotypesthesethreekinds ofmethoddistinguishesafunctionpolevaluerespectively,themethodwhichbegsapoleavalu ethrougIla2dollarsfunction introducesdiversefunctiontobeworthvevymuchofbegamethod. Keywords:Several;Extremevalue;Directionalderivative;Gradien;Innerproduct;Qvariab lesuadraticform;Positivedeft— nitematrix. 118 责任编辑:陈风