1.《如何上好数学复习课》主题教研活动的构建----------02—05 2...

1.《如何上好数学复习课》主 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 教研活动的构建----------02—05 2... 平 阳 中 学 数 学 组 1(《如何上好数学复习课》主题教研活动的构建----------02—05 2(同课异构(教学案例)---------------------------------------06—10 3(异课同谋(教学案例)---------------------------------------11—16 4(专家引领发言----------------------------------------------------17—18 5(示范课例----------------------------------------------------------19—23 6(启示体会----------------------------------------------------- 24—24 《如何上好数学复习课》校本教研活动构建 平阳中学 刘洪凯 一( 背景: 进入21世纪以来，我国数学课程中关于数学学习的理念、教学方法发生了根本的变化。2001年颁布我国《全日制义务教育数学课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 》对于新的历史条件下的数学教与学的理念与方法进行了较为全面的阐述，它指出:“学生的数学学习的内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的这些内容在有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采取不同的表在方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、主动和富有个性的过程。”如何在课堂教学中体现新课程理念,这是大家迫切需要解决问题，也是大家很关心问题。 教研组作为一个团队，组员之间的合作关系是促进他们专业发展的重要途径。从实践和相关文献来看，教师更多的是以个体行动为主。一直以来，教师大都在自我封闭和孤立的状态下展开工作，教师的劳动带有明显的个体性特点，从备课、上课、改作业这一传统的教师劳动流程中似乎很难找到合作的因素，文人相轻正是反映了教师文化中合作氛围的缺失。在众多教师看来，只要备好课就一定能上好课，具有较明显的封闭性，这种封闭性文化潜在地拒绝合作。这种封闭性环境很难促进教师专业的进一步发展。 当前比较流行的教研活动是听课和评课。从听课的角度来看，组员只是简单地被告之何时、何处、何人上课信息，并没有进一步的针对性要求。其结果是组员在没有认真准备的条件下来听课。评课是一个发现问题、提出解决办法的活动，遗憾的是评课缺乏一种实事求是的氛围，老教师常常充当评课的主角。很多时候也许害怕得罪他人，评课的教师往往提到的是好的方面，或者说一些无关痛痒的套话。这样上课教师得不到有效的反馈，其他的教师也没有获得好的借鉴。 二( 校本教研活动构建: 顾泠沅教授在《教师专业发展的范式革新》特别指出:对案例的讨论与学习，能够很好促进教师从理论到实际转移。唯有教师的知识和信念发生了改变，才有可能导致学生学习的结果变化。还特别构建了“行动教育”模式。具体如下: 新设计阶段 原行为阶段新行为阶段 (关注个人已 有的确良经 验) 原行为阶段 新磨擦新设新行为阶段 新设计阶段 计阶段 更新理念(寻找自身改善行为(寻找设计 更新理念(寻找自身改善行为(寻找设计 与他人差距) 与现实的差距)( 课例为载体/教师与专为研究者的合作平台;理论学习 教学设计/行为反省。 (((9与他人差距) 与现实的差距)( 课例为载体/教师与专为研究者的合作 平台;理论学习、教学设计/、行为反省。 我们的思考:如何上好复习课，是大家很关心一个话题。复习课没有固定模式，每一位老师来说，对如何上好复习课，都会有很多话要说，智者见智，仁者见仁。试图借助《如何上好复习课》保持同事间互助指导，从而打破教师职业相对封闭和孤立的状态，同时侧重讨论，通过案例教学，进行全方位，全过程的反思，使每位老师通过研讨有所体会，有所思考，更好促使教师形成一个反思的好习惯，不断去反思自己以往教学、教育中的优势和不足。 具体步骤: (1)理论学习:学习张奠宙编的一本《中国数学双基教学》 (2)同课异构: 要求组内两位中青年的老师，按照自已对复习课的认识，按照个人的见解，以新课程理念采用同课异构形式，准备 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 ，并在教研组内上汇报课。通过借班的形式，不进行任何形式预上，力求常态化。试图通过从不同角度进行设计，寻找到如何上好一堂复习课中间地带。 (3)组内进行自我反思和相互评价交流。 (4)异课同谋:根据研讨，形成共识，按照共识，组织组内老师，对不同课进行教学设计，试图从纵深角度进行拓展。 (5)精选优秀教学案例进行借鉴学习。 三(复习课的课堂设计理论支点: 中国数学教育有一个非常优良的传统，那就是我们的“双基”教学。《基础教育课程改革纲要》中明确指出:“使获得基础知识和基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价 值观的过程。”这句话清楚地表明，新课程改革是重视加强双基的。但是，在于21世纪初开展的数学教学改革中，对于数学双基教学的认识并不充分，没有将它作为优良的数学教育传统加以发扬和继承。 变式教学概括了中国数学数特征。即使是大班教学采用这种教学形式，仍然可以使学生主动地参与学习过程并取得优异成绩。 其中变式教学又分为概念变式和过程式变式。 传统意义上的概念性变式主要包括以下两类变式:一类是改变概念的外延，称为概念变式;另一类是改变一些能混洧概念外延的属性，比如举反例，称为非概念的变式。目的是让学生获得对概念的多角度理解。 过程式变式:顾泠武教授提出过程式变式。推广了变式的概念来解决程序性知识。如图 当然，在当前一些国际上比较研究显示，与西方学生相比较，尽管中国学生在解决常规的问题有相当优势，但是在解决应用题、开放性问题却表现平平。如果变式教学运用不当，如不完善的铺垫呈现太慢，会让学生感不到学习的挑战性而消极厌学。从变式教学的角度来看，可以通过设计较大跨度的铺垫，让学习变得有挑战性。也可以通过解快开放性问题、实际问题提高学生的创造性解快问题能力。 从更广义的角度来看，在变式教学中要师生共同构建一个恰当的学习的空间，让学生面对各种环境的变异。 同课异构1:抛物线复习(一) 一、教学目标 1、理解抛物线的定义，并能加以灵活运用。使学生理解并掌握抛物线的标准方程及几何性质，焦半径公式。培养学生分析问题、解决问题的能力。 二、教学重难点 1(重点:抛物线的定义、标准方程及其几何性质( 2(难点:抛物线的定义的灵活运用。 3(疑点:对抛物线的定义的深刻理解。 三、教学情境设计 问 题 设计意图 师生活动 引例:已知点M到定点F(0，—2) 实例引出抛物线定引导学生描述抛物线定义，教师距离与它到直线l:y—2=0距离相 义 板书定义内容。 等，则点M的轨迹是什么, 1、 有的学生会认为是双曲线，变式1: 教师引导学生进行概念辨22已知圆A:(x+2)+y=1 通过变式，深化学 析。 直线l:x=1 生对抛物线定义的 2、 有的学生会用直接法直接求若圆P与圆A及直线l均相切 理解。 解。(比较麻烦) 则圆心P的轨迹又是什么, 3、 转化思想的运用。 复习抛物线的标准 追问:轨迹方程是什么, 学生求解(答案有两种情况) 方程 练习:已知抛物线顶点在原点，且 强调标准方程的四 经过点P(—2，—4)，求它的标准学生容易考虑不周到 种形式 方程 2变式2:已知抛物线方程为:y=x，1、 第二次深化学1、 有的学生会运用方程， 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 AB为其上的动弦，且|AB|=a，(其生对抛物线定思想求解(计算量太大)。 中a为常数且a?1) 义的认识。 2、 教师可引导学生利用定义将求弦AB中点M到x轴的最短距2、 复习焦半径公问题转化为“两边和大于第离。 式 三边”。 问 题 设计意图 师生活动 考察学生对焦半径2练习:已知点M为抛物线y=4x上 公式的理解，从而 的动点，F为焦点，定点A(3，1)学生求解，教师引导 深刻理解抛物线的 求|MA|+|MF|的最小值 定义。 拓展题:已知四面体S-ABC，在侧 面SBC中有一动点P，若点P到顶 让学生对抛物线的 点S的距离与它们底面ABC的距 定义有更深层次的 离相等。则点P的轨迹是( ) 有的学生会认为是抛物线，教师 理解，同时，培养 A、椭圆或双曲线的一部分 要给予适当的引导。 学生对化归思想的 B、椭圆或抛物线的一部分 灵活运用 C、双曲线或抛物线的一部分 D、椭圆或圆的一部分 1、知识要点 (学生归纳) 小 结 2、思想方法(数形结合，化归思想) 四、教后反思: 1、成功之处:本节课重点突出，层次分明，整堂课围绕着抛物线的定义展开，然后通过变式，层层递进，使概念不断得到深化，尤其是最后的拓展题，与立几知识结合，让学生有了更大的思维空间。使学生对抛物线的概念有了更加全面，深刻的认识。学生的思维也得到了极大的发展 2、不足之处: ?最后拓展题的选项稍作修改，使其更具有迷惑性。 如选项C改为“抛物线的一部分”。 ?关于对变式教学的正确认识，即如何选择变式的问题。 (平阳中学 应利微) 同课异构2:抛物线的复习 一、设计目标 以“抛物线”中的一个例题的变式为例来说明高二复习课中的变式教学设计。 首先，希望通过本例题的设计使问题由浅入深，步步深入达到一定的难度，而又不止让学生在学习时感到有太大的跨度。这也正是最近发展区理论的精髓所在。 其次，通过作为铺垫的变式题设计，使学生已有的知识和新问题之间的“潜在距离”得到调整，以便让教学过程成为探究式的而不是接受式的。 二、设计理念 由顾泠沅博士开创的变式教学理论，经过近三十年的教学实践和理论研究，现在已经是一个比较完善的教学理论了。美国当代著名心理学家布卢姆(B.Bloom 在中国他的知识目标分类学更有名)对顾泠沅先生的成就给予了高度的评价，1986年，Bloom到上海讲学时对顾泠沅感慨地说:“你在东方做了10年，我在西方做了40年，所得到的结论几乎一致”。 言归正传，变式的概念在心理学中早已有之，无论译作变式还是变异，其实都是同一个词译过来的，但心理学中的变式仅指概念变式，即通过对概念的外延的用正例和反例进行变式，使学习者能对所学的概念有充分的辨别，达到掌握概念的目的。 顾泠沅的工作是在总结概念变式的基础上提出了“过程式变式”，主要是用来解决程序性知识的教学。这正是中国变式教学理论的创新之处。 三、教学目标 知识与技能 1让学生自己总结回顾抛物线的相关 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ，掌握“直线和抛物线的位置关系”的题型的基本处理方法，培养学生的总结、归纳能力。 2、通过对例题的一步步探究，使学生在解题过程形成及时反思的习惯，培养分析、推理等思维能力。 3、借助直观的多媒体手段让学生增强对“直线和抛物线的位置关系”的感性认识，进而提升对相关问题的理性思考。 过程与方法 1、变式和探究，反思和归纳总结贯穿教学的整个过程，让学生充分体验知识的生成和 解题方法的提炼。 2、通过对课本例题的深入挖掘，使学生形成对问题研究的思维模式，即从特殊引申出 一般规律，再从一般规律验证特殊问题。 情感态度价值观 1、对课本中一个普通例题的探究过程中，要让学生知道做数学，从课本例题开始，对 问题的研究应“源于课本，高于课本”。 2、强调学生通过不断提出问题、解决问题、再提出问题的学习活动，感受数学解题的 乐趣，体验数学的和谐统一，领略数学的无穷魅力。 四、教学重点难点 重点:直线和抛物线的位置关系 难点:问题二 五、教学过程设计 一、引例 72:22..问题直线y,x,与抛物线y,x相交于AB两点。6 ,OAOB.想一想,5(学生独立完成，个别学生介绍解法，教师板演。) 4 3探究一:能找出另一条直线，使其也满足以上的规A 2律吗, 1生:能。与已知直线关于x轴对称的那一条。 -14-12-10-8-6-4-2246O -1 B-2探究二:能再找出几条来吗,有没有规律呢, -3(有探究一做铺垫，学生找出第二条、第三条，在 -4教师引导下得出猜想) -5 2 过定点(2,0)的直线与抛物线y,2x相交于A,,两点,则OA,OB.-6学生接着证明了猜想，得出了这堂课的第一个结论。 二、变式 2问题2.过抛物线y,2px的顶点作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于 A,,,AB,于两点直线一定过定点吗 2问题3.过抛物线y,2px上的任一点作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于 A,,,AB,于两点直线一定过定点吗 2问题4.过抛物线y,2px上的任一点作两条斜率之积为定值的直线 7A,,,AB,分别与抛物线交于两点直线还过定点吗 6 5 4 3A 2 C1 -14-12-10-8-6-4-2246O -1 B-2 -3 -4 -5教后反思: -6例题为课本例题，它的出现唤起了学生对旧知识的记忆，同时使程度较差的学习者都能积极参与，不感到困难。而对例题的两次探究，使课堂能自然的得到第一个结论，为下面的问题研究做好铺垫。学生得出结论的过程，也是一个对例题解答后的反思过程，实现了“提出问题，解决问题”的初体验。因此，这个例题的设计对中下生是恰到好处的。 两个变式的实质是对结论一的抽象概况和知识拓展。有了前面例题的铺垫，学生会欣然去寻找问题一的解决方法，而且，会从例题的解决中得到方法的启迪，保持了思维的延续性，节省了时间，提高了效率。同时，从特殊结论到一般规律，再一次体验了解题后反思的有效性。而变式二的探究，是一种能力的提升，对中上的学生具有积极的意义。在求得问题二的答案后，再一次的反思，会发现问题一其实是问题二的一种特殊情况，即点C在原点时。这样的处理，既注重了对学生反思习惯的培养，又很好的阐述了问题的本源和背景，使学生对此类问题的认识有了质的提升。 最后布置的思考题，是对这节课的内容的再一次提升，给学生提供了广阔的思维空间，让学生意犹未尽地探究下去，体验数学问题研究的无穷乐趣。 ,平阳中学 游健, 异课同谋1: -------复习课:双曲线及其标准方程 设计理念:中国的数学的双基教学，并不是简单停留在机械的模仿和演练上，大量的活动都是集中在“双基模块”。“双基模块”是一种有机结合的知识体，通过变式方法展开，形成比较牢固的知识联结。实际就是将不同的思想方法和知识连接生成的变式，是将“双基链”，“双基网”构成“双基模块”。 笔者试图通过设计一组知识链，让学生通过探究数学知识的发生、发展、形成过程，让学生感受、体验数学知识的发生、发展，让学生学会自行获取知识的能力，同时通过复习让学生生成较为完整的知识链，并帮助学生生成知识发展的一般模块。 当然，在设计过程中，笔者认为要坚持三性。 首先是数学性，我们需要适当的数学数学活动，但必须揭示数学的本质，不要把花里胡哨的附加物当作知识的发生过程。 其次是自然性。学生不应处在类似于突然被推进正在开演的戏剧中去，要使学生在思考的合理性上产生困惑。 第三，知识的形成过程可重复性，这些方法要能在不同时间内，在不同方式安排的情景中加以运用，帮助学生形成稳定的结构与灵活运用。下面以复习课:双曲线及其标准方程为例，围绕双曲线的定义形成知识间的联结。 设计步骤:1、下面的图形是什么曲线。为什么, 8 6 4 2B1 -10-5510FF21 -2 -4 -6 -8 回忆双曲线的定义:在平面内到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹叫做双曲线，其中定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距。 2222问题1:已知动圆与定圆和都外切，求动圆圆心c(x，5)，y,49c(x,5)，y,112 22xy,,1的轨迹方程。(,x>0) 916 22xy问题2:双曲线,,1上求一点P，使它到左焦点的距离是到右焦的距离两倍。 916 22xy3变1:已知A(4，2)，F(5，0)试在双曲线,,1上求一点P，使PA，PF9165的值最小。 22xy,,1变2:已知A(4，2)，F(5，0)试在双曲线上求一点P，使的PA，PF916 值最小。 22xy:,,1问题3:已知分别是双曲线的左右焦点，若，求，FPF,90F,F1212916 的面积为多少,此时P点坐标为多少, ,FPF12 22xy:,,1变1:已知分别是双曲线的左右焦点，若，求，FPF,,F,F,FPF12121222ab 的面积为多少,此时P点坐标为多少, 22xy,,1问题4:过点P(1，1)的直线l与双曲线916 有几个公共点, 22xy,,1变1:过点P(a，b)的直线l与双曲线有916 几个公共点,大家加以思考。 反思:本节课纯粹从理论层面加以思考，作出如上的设计，尚没能在课堂加以检验，效果如 22xy,,1何，无从得知。主要是围绕双曲线从各个层面加以思考与深化，目的通过本916 节课复习课让学生形成比较系统的知识，但如何去深化数学思想的确尚待进一步加以思考。 (平阳中学 刘洪凯) 异课同谋2:一个双基平台复习的教学设计 东亚(主要指汉文化圈)的数学教育强调基础的重要性，在我国“双基”(基础知识和基本技能)的教学尤其置于突出的地位。“双基教学”是指:在掌握“基础知识和基本技能的前提”下，谋求发展和创新。它之所以能在东方成为教学的主流，有着其深刻的历史渊源(((( 和社会环境。 第一，汉族是一个以农耕文化为主的民族，而农耕要求“精耕细作”，这和游牧民族的文化不同，游牧者在草原上，可以具有广阔的视野，却无需精密的耕作技术。因此，在中国社会里，精细、严格的“技能”对谋生十分重要。 第二，传统文化以儒家文化为正统，这一文化传统强调“一统”，因此个人自由创造的空间教西方为小。反映在学习上，强调统一的内容、统一的要求。“统一”的结果是缺乏个性的发展，剩下的只有统一的基础(Brand，1987;Murphy，1987;wong，1998。) 第三，严格的考试制度，以及统一的考试命题，使得学生只重视学习考试的内容。中国早在597年就开始有科举考试制度，而到了明代，这一制度有发展到了极端，科举考试内容“八股化”。考生需要记住许多程式化的“基础知识”和复杂的写作“基本技能”。直至今日的数学考试，大部分的数学测试仍然只注意程序性的数学知识和熟练的数学技能。 第四，在科学传统方面，清代中期以来，考据学派在中国学术界占统治地位，他们把学术研究等同于“版本考证”、“文字训诂”。这都要依靠熟练的古文献基础知识和文字技能;考据学派的研究方法是分析归纳和逻辑推理;这些科学传统都对现代数学教育产生深刻的影响。 第五，民间教育古训“熟能生巧”在中国社会家喻户晓。根据这一古训，教育的首要目标是熟练，通过熟练的技能，很自然地可以达到巧的境界。 最后，1950年以后，中国大陆的数学教育深受苏联的影响，前苏联的数学教育以“严谨”闻名于世。中国的数学教育因而更加重视基础知识的规范、证明的严密，包括逻辑推理的基本训练。原有传统和前苏联的影响的结合，使得“双基”数学教学更加深入人心。(以上观点选自<华人如何学数学>,中国数学双基教学) 一、设计目标 b函数y=+(a>0,b>0)在高中数学中是一个非常重要的双基平台，各个章节高中数学axx 的章节都有重要的应用。通过这样一节专门讨论此函数性质极其应用的课，能使学生对这个 函数的应用有一个全面的认识，能在以后的解题中自觉的应用它。 二、设计理念 中国数学双基教学有横向的四个方面:记忆通向理解，速度赢得效率，严谨形成理性,重复依靠变式。以及纵向的三个层次:双基基桩，双基模块，双基平台。而函数 by=+(a>0,b>0)正是这样的一个平台。它有以下特征:基础性，它根植于双基，是双基axx 模块的组合、深化与发展;综合性，双基平台跨越多个知识点，综合几个“双基模块”，形成知识间的连结;发展性，它主要为数学解题服务，能据高望远看清许多问题的来龙去脉。 三、“双基平台”的一个例子 教学过程中，我们经常遇到一些应用非常广泛的，但教科书上没有的知识块。如果我们能象对待课本中的知识点那样处理这些知识模块，不但能使学生提高解题能力，获得满意的教学效果，而且能帮助教师加深理解教材，提高教学水平。本文讨论的函数 by=+(a>0,b>0)就是这样的一个由知识模块组成的知识平台。 axx 一( 实例引入 1y,x，先看下面的问题:求函数的单调区间及极值。 x b在解决了上面的问题后追问:一般情况下，函数y=+(a>0,b>0)又有那些性质呢, axx b二( 分析函数y=+(a>0,b>0)的性质 axx 1、定义域:(,?，0) ?(0，+?) bb，Rx,2、值域:当x>0时,?a,b?,?+?2，(当且仅当时取“=”) abaxax bb，Rx,,当x<0时,?a,b?,?+?,2，(当且仅当时取“=”)。从abaxax ，,,，而，函数的值域是:? ,,,,2222,，, bb3、奇偶性:f(-x)= -+=,(+)=,f(x)，故此函数为奇函数，其图象关于原点axax,xx 对称。 ,，，,,，bbb,,,,，,,,,,,,,,4、单调性:在 上是增函数，在上是减函数，在 上是,,,,,,aaa,，，,,， ，,b,减函数，在上是增函数。 ,，,,,a，, ，,b,我们仅证明这个函数f(x)在[上是增函数。在其他区间上的单调性仿此同理,，,,,a，, bb可证。设?x,?axx,b>0 12121212aa b(x,x)bb21于是f(x)=ax,ax+=+ ),f(x,a(x,x)121212xxxx1212 ,,axx,bb12,, ==<0 ，，a,，，x,xx,x1212,,xxxx1212,, ，,b, ?,，,f(x)0且x0时,ax0,y+? ,,, 当x<0且x0时,ax0,y,? ,,, 故函数图象的渐近线方程是x=0和y=ax。 根据以上性质，我们可以大致上画出此函数 b的图象。不仅如此，我们还可以用坐标变换证明函数y=+(a>0,b>0)的图象是双曲线，axx由于坐标变换超出高中数学范围故证明省略。 b三、函数y=+(a>0,b>0)在数学各方面的应用 axx 1、解决曲线问题 2[例1]:已知曲线C:x,xy+2y+1=0，关于点M(a，b)对称， (1)求的a，b值 (2)求曲线C在直线x=a右侧部分的最低点的坐标。 2、解决不等式问题 114，[例2]已知a>b>c，求证:? a,bb,ca,c3、解决方程问题 2[例3]关于x的方程x+mx+1=0在0,2]内有解，求实数m的取值范围。 4、立体几何问题 0[例4]已知圆台的侧面积为8，母线和底面所成的角为60，若记圆台中截面的半经为x，, 较大底面的半径为y，并记y=f(x)，则函数y=f(x)的图象可能是 5、解决应用问题 [例5](运输成本问题)(1997年全国高考文理22题)甲、乙两地相距S(km)，汽车从甲地匀速行使到乙地，速度不得超过c(km/h)，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元。 (1)把全程运输成本y表示为速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域。 (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行使, 6、深化 b问:函数y=+(a,b异号时)图象和性质有何如, axx 四、设计的理由 数学高考对考生的要求除了熟练掌握基础知识和基本技能以外，对于象函数 by=+(a>0,b>0)这样的双基平台也有较高的要求，因此在教学和复习中教师要对这些知axx 识作归纳、整理以方便学生的掌握。 ( 平阳中学 何龙泉, 在4月5号教研组《如何上好数学复习课》活动上的发言 今天我主要简单地讲三部分的内容。一是谈谈好课的最基本要求，二是谈谈构建数学复习课的一种思路，三是谈谈教师专业成长。 一、怎么样的课算做一堂好课 华东师范大学教育学系叶澜教授于2003年4月18日在上海市“黄浦教育论坛”上做了一个报告《什么样的课算一堂好课》，谈到一堂好课最基本的要求是:有意义，有效率，有生成性，常态性，有待完善。其中有两点让我深受启发。一是“常态性”，我们受公开课的影响太大，许多老师准备期很长，也很辛苦，到了真正的课堂上表演成份太浓，就样就不具有“常态性”了。二是“有效率”，现在由于新课程的原因，许多新的教学手段不断涌现，如提倡师生互动、生生互动，合作交流等等。正是片面理解了这些新课程的理念，才导致了我们的数学课堂的效率降低了。正如前些日子大家听过的全国优秀课评比，有的连最基本的知识都没讲清楚，又怎么谈得上是一节好课呢,我想，在有时间限制，又有高考压力的情况下，我们真的还要认真考虑一下一堂课的效率问题。 二、构建数学复习课的一种思路 中国数学教育有一个非常优良的传统，那就是我们的“双基”教学。但是新课程标准中对这一点却有些弱化，其中的原因大概是在新课标制订的时候，我们的“双基”还没有形成理论的高度，而新课标的制订又参照了国外的一些理念，外国专家对我们的“双基”又是持怀疑态度的。现在，张奠宙教授编的一本《中国数学双基教学》新鲜出炉，中国“双基”教学也达到了一定的理论高度，认真学习此书，可以给我们的数学课堂带来一些借鉴意义。下面结合自己的学习体会谈谈构建一堂数学复习课的一种思路。 “双基”主要理论就是1.打好双基基桩;2.形成双基模块;3.构建双基平台。(具体理论请参阅《中国数学双基教学》一书)在平时的上课中，教师就应该帮助学生打好双基基桩，而想要构建一堂比较好的数学复习课，数学教师就得在如何帮助学生形成双基模块上做足文章，如果想要更进一步，那就得构建双基平台。比如我们平时俗称的“耐克函数”就是一个很好的双基平台。 三、关于教师专业成长 正好这段时间正在做毕业论文，也是有关“数学教师专业成长”的问题。撇开一些理论 上的东西，我想在教师专业成长中有几点是比较重要的。 一是要提高自己的工作效率。现在对教师要求很高，各种必要不必要的学习、开会、培训等大量占用了教师的时间。在这样的情况下，教师如何提高自己的工作效率是一个值得深思的问题。参照评高级的作法，一个有一定教学经验的教师应该争取在一个小时内把一堂课给备好(当然初上讲台另当别论)，一方面可以提高自己能力，另一方面也可以为评职称做好准备。这样也就提高了效率。 二要学习有关的理论。去年的一年脱产学习对我帮助很大，我是带着对新课程的疑惑去的，回来后对新课程的疑惑虽然依然存在，但是学习过程中的收获还是很大的。学习就是这样，学的时候说不出哪些东西可以用上，但是现在回过头来结合自己的实践再看，就感觉可以很轻松地想通为什么这样做的原因，可以很快速地找到理论上的支持，并且有时还可以推广一下。 三要积极进行反思。第一点谈到大家要提高自己的工作效率，其实是为积极的反思做准备的。因为一个教师想要真正实现专业成长，反思是一个最重要的手段。我们做事不能盲无目的，也不能光顾着做而不去思考。有时候即使是一个很小的事情引起足够的重视，你也会发现一个很有借鉴意义的大道理。 四要充分依靠实践共同体的力量。现在提倡教师在行动中进行研究，也就是教师的研究要基于自己的工作实际，想要真正实现这一点，我们的实践共同体——现在对我们来说，就是备课组与教研组的帮助是必不可少的。如果我们充分利用整个组的力量，我们的成长就会更快。值得高兴的是我们数学组是非常团结的一个组，就如这段时间的优质课评比，大家都表现出应有的热情，贡献出应有的力量。当然如果要搞好实践共同体，还离不开校长的支持～ 以上仅是我的一管之见，肯定存在不足之处，请大家批评与指正。 谢谢。 (平阳中学 郑炜) 优秀案例:教学难点的阶梯式处理 一、 问题的提出 2先来看一个例子:已知f(2x+1)=x,2x，求:函数y=f(x)的表达式。象这类“已知复合函数f [g(x)]和g(x)的表达式，求f(x)”的习题，在高中数学教学中是十分常见的。这类题的 t,1一般处理方法是:令t =2x,1，则x=，代入原式即得f(x)的表达式。这种解法对于初2 学者来说是难以理解的，学生会问“t =2x,1这一代换是如何想到的,”他们并不满足于“这是固定的解题方法，是人们通过成百次的尝试而找到的”这样的回答，学生需要的是一个能让他们容易理解的说明。 象这样的难点在数学教学中还很多，如:极限概念、满足递推式a= pa+q和a的数,nn11 22列的通式如何求,asinx+bcosx =sin(x+)如何得到,y=sinx与y=Asin(x+)的a，b,,,图象间的关系等等。如何处理这些难点，使学生易懂、易记，是数学教师在数学教学过程中的重要工作之一。 二、 阶梯式处理 为了解决这个难点，我们先做一些铺垫。就如同给学生几级台阶，让他们容易上去一样。先求:f(3)、f(2)、f()、f(t)。 2 2对学生而言f(3)是最特殊的，最易求得，学过函数值概念的学生都会，只要在f(2x+1)=x,2x中令x=1即可得f(3)=,1，同样学生也容易得到f(2)，根据求f(3)的经验，令2x+1=2， 13即x=就有f(2)=, 。这样的过度学生是容易接受的，于是要他们求f()，学生就自224 2,12然想到令2x+1=，从而x=，代入f(2x+1)=x,2x，即得22 2,12,12,17,622f()=f(2×+1)=(),2×=。 22224 有了上面的f(3)、f(2)、f()作铺垫，学生非常容易，而且自然地作这样的回答:要2 211t,t,t,1125,,22求f(t)，只要使t =2x+1，从而x=，代入原式得:f(t)==t,t，。,,,222434,, 于是求f(x)就水到渠成了。 这就是阶梯式处理，是在学生已有的认知水平和要认知的知识之间设置几个阶梯，使学 生容易跨过去，从而理解难点的教学处理方式。 三、 阶梯式处理的理论基础 学习理论指出:在学习过程中新知识的输入、同化和操作取决于原有的认知结构，因而原有的认知结构对新知识的学习具有制约作用。一般而言，当新、旧知识之间跨度较小，相互容纳时，学习就能顺利进行。反之，当新知识和学生的原认知结构脱节时就必然形成学习的难点。 阶梯正建立在学生已有的认知水平和要学习的新知识之间的桥梁，在上面的例子中，函数值的概念是学生已有的知识，因此学生求f(3)、f(2)、f()是比较容易的，这是学2 生的“数学现实”。数学现实是著名数学教育家弗赖登塔尔( Hans Freudenthal)的三个数学教育原则之一，弗氏认为:每个人都有自己的数学现实，数学教学需要根据学生的数学现实来展开。在上面的例子中，学生的数学现实是已知一个函数求其函数值，因此我们的教学就得从函数值出发。但弗赖登塔尔没有阐述如何在学生已有的知识和要学习的知识之间建立桥梁。而苏联心理学家维果茨基则对此做了论述，维果茨基的最近发展区理论认为:在学生实力所能达到的水平与经过别人给予协助可能达到的水平之间有一段差距，这就是该学生的最近发展区。为了使学习能在这里有效地展开，教师需要在这两者之间为学习者提供一些帮助，教师给予的协助被称之为“支架作用”(scaffolding)(Vygotsky,1978)。 维果茨基的最近发展区理论在教学上具有重要的意义，教学的最佳效果产生于学生的最近发展区。当然最近发展区理论只能视为原则，不能作为方法。但它为我们的阶梯式处理方法提供了坚实的理论基础。教学中如何确认学生的原有认知水平和潜在的发展水平，从而采用适当的方法为学生铺设阶梯，是教学工作的重点。 就前面的例子而言，f(3)、f(2)、f()就是介于函数值和求f(x)解析式之间的桥梁，这2 是第一层次的桥梁。 由于这类题目具有多种解法，上面的代换法是一种，还可以用“配凑法”，并且不同的 113问题采用这两种方法的难易层度也不一样。如已知f(x+)=x+，求f(x)这个题目，3xx 就是用“配凑法”解简单，用代换法就比较繁。什么样的题选用什么样的方法，则是更高层次的发展水平，以此而论配凑法和代换法都不过是维果茨基的支架而已。只是它们 是更高层次的桥梁而已。 四、如何设置阶梯 高中数学教学中，对于教学中的具体难点，如何设置阶梯呢,有多少类型的阶梯式处理方式呢,归纳起来大致有这么三种:从特殊到一般、图象直观和分散难点。 1、从特殊到一般 阶梯设置的目的是为了方便学习者理解，激发学习兴趣。故在设置时要考虑到学习者的知识起点，照顾其“数学现实”，即设置的阶梯应是学生容易迈上去的，应由易到难，由底到高，这样才能起到事半功倍的效果。在解题或教学过程中遇到困难的问题，从特殊开始是一种比较有效的方法。这就给我们一种有益的启示，对于有些难点也可以从特殊到一般。 上面的例子正是从特殊到一般的典型，同样的方法显然也适用于asinx+bcosx 22=sin(x+)的求解。 a，b, ,首先可以给出:求证:cos+sin=2sin()。由于在学习这个这个知识点之前，，3,,,6 学生已经学过两角和与差的正弦公式，下面的步骤他们是容易得到的。 ,,,2sin()=2sincos+2cossin= cos+sin ，3,,,,,666 22在此基础上让学生做下面的联习:把sinx+cosx化为 Asin(x+)的形式。 ,22 22,,,有了前面的基础，易得:sinx+cosx=sinxcos+cosxsin=sin(x+)。 22444 进一步把sinx+cosx化为 Asin(x+,)的形式，根据上一步的结论，有 22,sinx+cosx=(sinx+cosx)= sin(x+)。 22224 最后，把asinx+bcosx化为 Asin(x+,)的形式。引导学生:asinx+bcosx abab=t(sinx+cosx),，为了使此式化为Asin(x+,)的形式，只要使=cos,，=sin,即可，tttt 22ab2222222t,a，b,,a，b于是就有，+= cos +sin=1，从而，，取t = 22tt ab2222得asinx+bcosx=a，b(sinx+cosx)= a，bsin(x+,)。其中2222a，ba，b abbcos=，sin=，或tan=。 ,,,2222aa，ba，b 经过这样的多步阶梯处理，学习者在理解上就容易得多。 2、图象直观 有时在设置阶梯时还要使用图象，使问题直观生动。例如求函数 22y=的最小值及相应的x的值。 x,2x，2，x,4x，13 这类问题在高中数学中是一种求函数最值的常见练习，直接做是很困难的。先让学生解下面的问题:已知点A(1，1)和点B(2，3)，试在x轴上求一点P，使PA+PB最小。对此， ''''ABAPA,PAPA先求点A关于x轴的对称点(1，,1)，则，于是PA+PB=+PB?(如图)，故只要求 ''AAB直线B和x轴的交点以及即可。再让学生求动 点P(x，0)到两点A(1，1)和B(2，3)的距离之和。有了 以上的两级阶梯，再求原问题求容易了。 222222(x,1)，(0,1)，(x,2)，(0,3)y==，此式表示x,2x，2，x,4x，13 动点P(x，0)到定点A(1，1)和点B(2，3)的距离之和，问题就转化为上面第一个问题了。 3、分散难点 难点的形成，不仅表现在新知识和学生的原认知结构脱节时，还可以表现为新概念集中，这时候设置阶梯就需要考虑如何分散难点，逐个解决。 “数列的极限”就是这样的难点。首先，从极限概念的形成来看，从阿基米德的穷竭法到柯西给出的严格的定义，其间经历了两千多年，印证了人类在认识极限概念时的困难;其次，从概念的本质属性来看，它刻画了无限过程，是有限与无限的分水岭，包含了形成难点的许多因素:定义本身包含多个新概念，“任意小”、“存在”等等;概念内涵悔涩难懂，的,二重性、N对的依存性等;再从学生认知水平来看，学生长期接触常量数学习，惯于有限, 过程 。而极限概念描述了无限过程，而且是用有限的形式定量地给出，学生的认知水平很难适应。 为了帮助学生克服这个难点，可以把极限概念的学习分成几个阶段，第一个阶段学习描述性定义。“对于数列{a}，如果存在常数A，当项数n无限增大时数列的项a无限趋近于nn常数A，就把A叫做数列{a}的极限”。这个定义安排在高一数列之后学习，通过对具体数n 列的观察直接可以归纳，从直观上给学生认识。 第二阶段在高二的绝对值不等式之后，让学生明确的几何意义，明确<的a,Aa,A,nn含义。第三阶段提出“什么是a无限趋近于常数A”，使学生认识到描述性定义有进一步精n 确话的必要，再分四步:其一，改“a无限趋近于A”为a,A无限小，其二，再改为“a,Annn能小于随意指定的任何数”即a,A<，其三，分析a,A<成立的条件是“n无限,,,nn 增大”，并明确“n无限增大”的数学表达方式:对任意的>0，总能找到一项a，使a后,NN面所有的项都有a,A<成立。最后学习严格的定义。通过对难点的层层分解，学生对,n 极限概念应有一个较深刻的理解。 通过以上分析可以看到，基于“最近发展区”理论的教学难点阶梯式处理方式，能有效地克服学生学习中的困难，使他们易理解、易接受，保证了教学质量。同时让学生尝到了发现的喜悦，激发了学习的兴趣。 参考文献 1、 列夫?谢苗诺维奇?维果茨基.思维与语言.浙江教育出版社. 1999年1月. 2、 张春兴. 教育心理学. 浙江教育出版社. 2000年10月. (平阳中学 何龙泉, 结语:一点体会 最近一些研究表明，教师信念和态度变化更直接的原因，可能基于学生的学习的结果的变化，而导致学生的结果的变化的，则是教师课堂实践的变化。《如何上好数学复习课》教研活动着眼于数学课堂改进，通过案例的讨论、模仿设计、借鉴，促使每位组内老师进行反思。教学反思是现代教师成长的捷径。正如美国学者波斯纳认为:“一个教师的成长=经验+反思。”只有通过不断反思与行为跟进，才能使一位教师从不成熟的新手教师才能一步步地走近比较成熟专家型的教师。因此，我们需要反复实践中作行为自省与调整的跟进方才能有效。 同样，要使教研活动有序，往纵深方向进一步发展，使每位老师在实践中得到成长，需要创设宽松自主、平等、民主、开放的学校研修氛围。让老师们敞开每间教室，成为“无障碍教室”，相互评论，连环改进，充分依靠教研组——实践共同体的力量，实现大家共同进步。 “同事互助”常会“萝卜烧萝卜”，同水平的反复。因此，在校本教研过程中，需要专家引领与理论的指导。 参考文献 张奠宙编，中国数学双基教学，上海出版社，2006年5月。 顾泠沅等，教师专业发展的范式革新(J)中学数学教学参考，2006年第1期。 杨高全等，对小学数学教师专业化发展问题的思考(J)数学教育学报，2007年第1期。