[理学]高等数学上册理工科第四版中国人民出版社2单元

[理学]高等数学 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf 理工科第四版中国人民出版社2单元 2-1 第二章第二章数 开学 启导数与微分导数与微分科 学 大 门 的 钥 匙 真正的重点的开始 1 第一节第一节数 开学导数概念导数概念启 科 学 大 门 的 钥 匙 一、引例 直线速度引例1运动的 12s(t),gt,已知t求速度时刻的瞬时02t0,t时间运动,t ,ss,s0,t，,tt0,,v平均速度t,t,t0 1122gt,gt0,s(t)s(t)0g22,,,，t)(t0,t,ttt200gg22(t，,t),t00s(t,s(t)，,t)2200,,或,t,t 2 s(t),s(t)g0,(t，t)02t,t0 1122gt，,t,gt()00s(t，,t),s(t)0022,,t,t11222gt，t,,t，,t,gt(2)000g22,(2t，,t),02,t 当t,t,或,t,0时0 gv,gt,lim(2t，,t)瞬时速度00,t,02 引例2切线问题 3y,x 3 y y,f(x)N T CM oxM(x,y),N(x,y)设00 y,yf(x),f(x)00tan,割线,,的斜率MNx,xx,x00 沿曲线Cx,xN,,,,,M,0 y 切线的斜率MTy,f(x) N f(x),f(x)0k,tan,,limT切x,xx,x00CM ,,f(x，,x),f(x)00,limkoxxx切0,x,0,x 4 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf s(t，,t),s(t)00,limv ,t,0,t f(x，,x),f(x)00,limk切,x,0,x二、导数的定义 y,f(x)有定义U(x)内定义在某个设0,yf(x，,x),f(x)00lim,lim若，,,x,0,x,0,x,x f(x)x处则称之为在的导数0 ,yf(x，,x),f(x)00,f(x),lim,lim记为0,x,0,x,0,x,x f(x),f(x)0,lim,或f(x)0x,x0x,x0 5 dy()dfx,,或 y,f(x),或 ,或x,x0x,x00dxdxx,x0 ()()fx,fx0,()limfx,0x,xx,x00 ()()fx，,x,fx00,()limfx,0,x,0,x (，),()fxhfx00,(),limfx0h,0h 右左、三、导数 ()()fx,fx0,()limfx,0x,xx,x00 ()()fx，,x,fx00,()limfx,0,x,0,x f(x),f(x)0,左导数:f(x),lim,0,x,xx,x00 f(x，,x),f(x)00,f(x),lim,0,,x,0,x f(x),f(x)0,f(x),lim右导数:，0，x,x0x,x0 f(x，,x),f(x)00,f(x),lim，0，,x,0,x 6 f(x):可导函数区间I上的 f(x)每点都可导若I上在区间 f(x):[a,b]可导函数区间上的 f(x)都可导(a,b)内每点若区间在 f(x)且右可导,在点a在点b左可导 f(x，,x),f(x)lim,f(x),,x,0,x 计算用定义导数四、 (C为常数)的导数f(x),C例1求函数 ,y,f(x)lim,解,x,0,x ()()fx，,x,fx,lim,x,0,x C,C,lim,0,x,0,x ,(C),0故 7 2求函数y,x在 x,3处的导数例2 22222xhxhx，2，,xhx(，),2,lim,,lim(x)解h,0hh,0h ,2x,lim(2x，h)h,0 2,6,(x),2xx,3x,3 22x,32,6,lim(x，3),,lim(x)x,3x,3x,3x,3 22，,x,(3)32,(x)或,limx,3,x,0,x ,,f(x),注意f(x)x,x00 ,例3的导数求函数y,xh,(1，),1,,xhx(，),,,x,lim,,lim(x)x解h,0h,0hh 1h,,1,,,x,lim,xh,0hx ,,,1,(x),,x(,,R) 11,112,,(x)例如,x2x2 1,1,1,1,,,(,1)x,(x)2x 8 ,,例4设函数f(x),sinx,求(sinx)及(sinx),x,4 sin(x，h),sinx,,lim(sinx)解h,0hhsinh2,limcos(x，),,cosxh,0h2 2,(sinx),cosx 2,(sinx),cosx,,,x,x,244 x例5求函数f(x),a(a,0,a,1)的导数x，hx,aax,(a)解,limh,0h ha,1xa,lim,0hhhlnae,1x,alimh,0h halnx,alimh,0h x,alna xxxx,,(e)(a),e,alna 9 求函数y,logx(a,0,a,1)的导数例6a xhxlog(，),logaa,,limy解h,0h hhlog(1，)，ln(1)axx,,limlim,0h,0hhhlna h 1x,,limh,0xlnahlna 11,(lnx),,(logx),axxlna fx，,x,fx()()00,fx,()lim0,x,0,x f(x，,x),f(x)00,f(x),lim,0,,x,0,x f(x，,x),f(x)00,f(x),lim，0，,x,0,x 导数， 右且相等左、导数， 10 例7讨论函数f(x),x在x,0处的可导性 hf(0，h),f(0)解, hh f(0，h),f(0)hlim,lim,1，，h,0h,0hh f(0，h),f(0),h,,1limlim,,,h,0h,0hh y,xy,,f(0)f(0),，, y,f(x)函数在x,0点不可导 ox 五、几何意义 (x,f(x))y,f(x)在点曲线00 ,,kf(x)切0 切线方程为 yy,y,,f(x)(x,x)y,f(x)000 T法线方程为 M1y,y(x,x),,,00,f(x)oxx00 11 11y,(,2)处的切、方程求双曲线上点法线例8x2 解11,,,4k,,y,(),,切1112x,x,x,xx222 1y,2(x,)切线方程为,,4 2 11法线方程为y,2(x,), 24 问题1 可导是否有切线, 有切线是否可导, 3在 x,0处有切线y,x例9 113,,,(x)233x3yy,x x,0无意义 3x,0,y,lim,,x,0x,0x,001x ？不可导 12 结论: 在 x处0 非均匀变化量的瞬时变化率物理意义 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度 sds,v(t),lim,,t,0tdt, 交流电路:电量对时间的导数为电流强度 qdq,i(t),lim,,t,0tdt, 非均匀的物体: 质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度 13 六、可导性与连续性的关系 凡可导函数都是连续函数定理 可导必连续 在点x证可导设函数f(x)0 ,y,y,,，,,f(x),f(x)lim00,x,0,x,x(,x,0),,0,,y,f(x),x，,,x0 ,lim,y,lim[f(x),x，,,x],00,x,0,x,0 在点x函数f(x)连续0 结论: 在 x处0 ? 14 问题2 连续函数是否可导, 不可导y,x在x,0点例7函数 当 ,x,0时 ,y,,x,0,0，,x,0 y,xy y,x函数在x,0点连续 ox 结论: 在 x处0 15 2x,1时xf(x),,求 f(1)例10x,1时2x 2,,,2xf(1),2,(x)解x,1,x,1 ,2,,,(2x)f(1)x,1， ,f(1),2 2x,1时xf(x),,求 f(1)例10x,1时2xlimf(x),1解,x,1 limf(x),2，x,1 ,f(x)？f(1)不，在x,1处不连续 2,1x122x,,,lim,,,f(1),lim(1)f,2，,，,x,1x,1x,1x,1 16 1,,xsin,x,0例11讨论函数f(x),,x ,0,x,0, 在x,0处的连续性与可导性11？sin是有界函数,？limsin,0x解x,0xx ,0？f(x),limf(x)？f(0)在x,0处连续x,01(0，,x)sin,01,y0，,x,sin,在x,0处,,x,x,x 1,yf(x)不可导在x,0处lim不，,,limsin,x,0,x,0,x,x 1,,,xsin,x,0例12f(x),设函数,x ,0,x,0, f(x),取何值时，在x,0处 2.可导1.连续 1,limsin解x，，,,0只有1.若使 x,0x 1,xsin,01x,,1lim,limsin2.若使x，x,0x,0xx,0 ,,1,0只有 17 2-2 第二节第二节数 开学 启函数的求导法则函数的求导法则科 学 大 门 的 钥 匙 复合函数的求导法积商运算、 基本求导公式 18 一、导数的四则运算法则 如果函数u(x),v(x)在点x处可导定理1 则它们的和、差、积、商(分母不为零) 在点x处也可导,且 ,,,(1)[u(x),v(x)],u(x),v(x) ,,,(2)[u(x),v(x)],u(x)v(x)，u(x)v(x) ,,u(x)u(x)v(x),u(x)v(x),(v(x),0)(3)[],2v(x)v(x) (uv)uv ,,,(uv)，uv,uv ,,uuv,uv ,(),2 vv ,,(Cu),Cu推论 19 设f(x),u(x)v(x)证(2) f(x，h),f(x),f(x),limh,0h uxhvxhuxvx(，)(，),()(),limh,0h uxhuxvxhuxvxhvx[(，),()](，)，()[(，),()],limh,0h,,,u(x)v(x)，u(x)v(x) ,,,,(uvw),uvw，uvw，uvw推论 ,,,,(uv)ww，uv(uvw)证 ,,,w，uvw,(uv，uv) 20 32例1求y,x,2x，sinx的导数 2，cosx,解,4xy,3x ,6求y,x,3x，sin的导数例24 ,5，cos,y,6x,3，0解4 求y,sin2x,lnx的导数例3 y,2sinx,cosx,lnx解 ,y,2cosx,cosx,lnx ，2sinx,(,sinx),lnx 1，2sinx,cosx, x 1,2cos2xlnx，sin2x x 21 求y,tanx的导数例4 sinx,,(tanx),()解cosx cosxcosx(,sinx),sinx,2cosx 22cosx，sinx12,,,secx22cosxcosx 2,(tanx),secx 2,,,cscx(cotx)同理 求y,secx的导数例5 1,(secx)解,,() cosx ,(,sinx)0sinx,secxtanx,,22cosxcosx ,secxtanx(secx), ,,,cscxcotx(cscx)同理 22 x,x,0,,设f(x),,求f(x)例6,ln(1，x),x,0, ,f(x),1当x,0时,解 当x,0时 ln(1，x，h),ln(1，x),f(x),limh,0h h1limln(1),，h,0h1，x 1hlim,,h,0h1，x 1, 1，x x,x,0,f(x),,ln(1，x),x,0, (0，h),0,f(0),lim当x,0时,,1,,h,0h ln(1，x),0,f(0),1,lim，，x,0x,0 ,？f(0),1 1,x,0,,,1f(x),,,x,0,,1，x 23 二、反函数的导数 ,定理2如果函数x,(y)在某区间I内单调、可导y,,且,那末它的反函数,在对应区间(y)0,yf(x)I内也可导,且有x 1,f(x),,,(y) 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例7求函数y,arcsinx的导数 ,,x,siny在I,(,,)内单调、可导解y22 ？在I,(,1,1)内有,且(siny),cosy,0,x 111,,,,(arcsinx)2,(siny)cosy1,siny 1,,(arcsinx)21,x 24 1,(arcsinx),21,x 同理 1,(arccosx),,21,x 1,(arctanx),21，x 1,arc(cotx),,21，x 三、复合函数的求导法则 ,,cosx(sinx)例8 ,,cos2x(sin2x) ,,,(2sinxcosx)(sin2x) ,,2(sinxcosx) cosx,2[cosx，sinx(,sinx)] ,2cos2x 25 ,定理3u,(x)x,y,f(u)如果函数在点可导而0,,u,(x),y,f[(x)]在点可导则复合函数在点00 x,可导且其导数为0 dy,,,f(u),,(x)x,x000dx dy,y,y,u原理:,lim,lim,x,0,x,0dx,x,u,x dydydu,, dxdudx推广设y,f(u),u,,(v),v,,(x) dydydudv,,, dxdudvdx 26 210例9求函数y,(x，1)的导数102解y,u,u,x，1 dydydu,, dxdudx 9,10u,2x 29,10(x，1),2x 29,20x(x，1) 3x例10求函数y,e的导数 u3解y,e,u,x 3dydudyx22u,e,3x,3x,,,e dxdudx 求函数y,lnsinx的导数例11 y,lnu,u,sinx解 dydyducosx1,cosx,cotx,,,,dxdudxusinx 27 3x例10求函数y,e的导数 3333xx2x,,(x),,e,e,3x(e)解 xx,(e),e 求函数y,lnsinx的导数例11 cosx1,,(lnsinx),(sinx),,,cotx解sinxsinx 1,(lnx), x 210例9求函数y,(x，1)的导数 109解,(x),10x dy292,,10(x，1)(1),x，dx 29,10(x，1),2x 29,20x(x，1) 28 2xax22求函数y,a,x，arcsin的导数例12 22a(a,0)2axx22,,,，(arcsin)y,(a,x)解2a21 20,2xax1a22，，,a,x22222x2a,x21,() a11,,(arcsinx),(x),21,x2x 2211xa22,a,x,，222222a,x2a,x22,a,x 2x，1例13求函数y,ln(x,2)的导数3x,2 112y,ln(x，1),ln(x,2)解23 1x111,y,,,,,,2x223(x,2)3(x,2)2x，1x，1 1sinx求函数y,e的导数例14 11sinsin111xx,,解,(sin),(),cosy,e,exxx1sin11xcos,,e2xx 29 四、基本求导法则与导数公式 xx,,alna0(a),(C), x,,,1x,,(e),(x),,xe ,,cosx(logx),(sinx),1/x,lnaa ,,(cosx),(lnx),,sinx1/x 22,,(tanx),(arcsinx),secx1/1,x 22,,(cotx),(arccosx),,cscx,1/1,x 2,secx,tanx,(secx),(arctanx),1/(1，x) 2,,cscx,cotx,(cscx),(arccotx),,1/(1，x)2.函数的和、差、积、商的求导法则 设u(x)、v(x)可导，则 00,,,,,1 (u，v),2 ( Cu),Cuu，v ,,uuv,uv00,(),,3,,4(uv),uv，uv2vv3.复合函数的求导法则 设y,f(u),而u,,(x),则复合函数y,f[,(x)]的导数为dydydu,,,或y(x),f(u),,(x),,dxdudx 30 例15求函数y,x，x，x的导数1,,y解,(x，x，x)2x，x，x 11,(x，x))(1，,2x，x2x，x，x 111(1，)),(1， 2x2x，x2x，x，x 24x，xx，2x，1,28x，x，x,x，xxsinx,,yxy[f(x)]例16 ,,求幂函数 sinx,1f(x),指数函数解: y,x,sinxa sinx,幂指函数,lnxy,x sinx,,y,(x) sinxlnx,,(e) sinxlnx,,(e) sinxlnx,,(e),(sinxlnx) 1sinx,lnx(cosx,x,，sinx,) x 31 n,ynxxy例17 ,sin,sin,求 nn,,,y，sinnx,(sinx),(sinnx),sinx解: nn,1,cosx,sinxnsinx，sinnx,, ncosnx nnn求函数y,f[,(sinx)]的导数例18 nnn,1nn,,y解,f[,(sinx)],nf[,(sinx)] n,1nnnn,1,,n,(sinx),(sinx),cosx,nx, 3n,1nn,1nn,nxcosxf[(sinx)],,,,n,1nnnn,,,(sinx),f[,(sinx)],,(sinx) 3,,求y及yy,x(x,4cosx,sin1),例19x,1 3(x,4cosx,sin1),,解:(x)y, 3,(4cossin1)x,x,，x 132,(x,4cosx,sin1)(3x，4sinx)，x2x 1,y,(1,sin1)，(3，4sin1),4cos1x,12 32 xdyy,lncos(e),例20求 dx 1dyxxxx,解:,(,sin(e)),,etan(e),excos(e)dx 2例21,y,ln(x，x，1),求y 11，,2x，解:,1，,y,2221x，x，x，1 1,2x，1 x，1,x,1,y,,例22求yx，1，x,1 2221x,x,2y,,x,x,1解:2 1x,,1,,,(2x)y,1222x,1x,1 aaxaxa,求yy,x，a，a(a,0),例23 axaxxaa,1aa,1,y,alna，a，axlnalna,ax,a解: 33 2sinx2,求y例24y,earctanx,1, 222sinx,arctanx,1,,cosx,2xy,e解: 112sinx,,2x2，e2x2x,1 2sinx22,earctanx,1,2xcosx 12sinx，e2xx,1 2，x，11112,求y例25y,arctan1，x，ln,224，x,11 112x,y解:,,,222221，x1，(1，x) 11x1x,？，，，,,,222241，x，11，x1，x,11，x21，x，122ln,ln(1，x，1),ln(1，x,1)21，x,1 34 2，x，11112,求y例25y,，x，arctan1ln,224，x,11 2设u,1，x 11u，1y,arctanu，ln 24u,1 dydydu,, dxdudx ,,,(uv)，uv,uv ,,uuv,uv ,(),2vv 35 可导设y,f(u)、u,,(x) dydydu ,, dxdudx ,,,或y(x),f(u),,(x) 2-3 第三节第三节数 开学 启高阶导数高阶导数科 学 大 门 的 钥 匙 36 问题:变速直线运动的加速度 ,设s,f(t)v(t),f(t)则 v(t，,t),v(t),,,a(t),lim,v(t),[f(t)],t,0,t ,的导数f(x)的f(x)导数定义 二阶导数f(x)的称为 ,,f(x，,x),f(x),,,lim(f(x)),x,0,x 22dydf(x),,,,记作f(x)、y、、22dxdx (4),,,,,,,,,y？y、yy、类似 7dy或7dx 高阶一阶以上的导数称为导数 37 ,,例1 y,ax，b,求y ,,y,0,解:y,a, ,,例2 y,cosax,求y 2,,y,,acosax,解: y,,asinax, x(n)例3 y,a,求y xx2,,,解: y,alna,y,a(lna) (n)xn？y,a(lna)？？ ,,例1 y,ax，b,求y ,,y,0,解:y,a, ,,例2 y,cosax,求y 2,,y,,acosax,解: y,,asinax, x(n)例3 y,a,求y xx2,,,解: y,alna,y,a(lna) (n)xn？y,a(lna)？？ 38 ,,,,,例4设y,arctanx,求f(0),f(0)1,y,解21，x 12x0,2x,,,y,(),,,222221，x(1，x)(1，x) x,,,,,,,y,(y),,2()22(1，x) 2222,2x,x,2(1，x)(1，x)2(3x,1),,,22324(1，x)(1，x) ,2x,,？f(0),,,,,,2f(0),0;x,022(1，x) n(n)例5设y,x,求y n,1,解y,nx n,1n,2,,,y(nx),n(n,1)x, n,2n,3,,,,y(n(n1)x),,,n(n,1)(n,2)x ？？ (n)y,n! (n，1),y,(n!),0 39 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,注意: 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) (n)例6设y,ln(1，x),求y. 11,,,y,y,,解21，x(1，x) 2!3!(4),,,y,y,,34(1，x)(1，x)？？ (n,1)!(),1nny,(,1)(n,1,0!,1)n(1，x) (n)例7设y,sinx,求y. ,,y,cosx,sin(x，)解2 ,,,,,,y,cos(x，),sin(x，，),sin(x，2,) 2222 ,,,,,y,cos(x，2,),sin(x，3,) 22？？ ,(n)y,sin(x，n,) 2 ,(n)(cosx),cos(x，n,)同理可得2 40 2-4 第四节第四节数 开学 启 科 学 大 门 的 钥 匙 重点 隐函数的导数 求导参数方程 相关变化率 41 一、隐函数求导法 由方程所确定的函数y,y(x)称为定义隐函数 2y,1,x例1显函数称为 22称为隐函数x，y,1 2y,1,x 2y,,1,x.或 隐函数的显化 原理: d,,F[f(x)],f(x)F[f(x)],?dx dydy,cosy(siny),,如,dx dx注意:,补乘必须对求导时，因变量yy 42 xy求由方程xy,e，e,0所确定的隐函数例2 dydyy,f(x)的导数,x,0dxdx dydyxyy，x,0对x,e，e方程求导解两边dxdxxdye,y,得到ydxx，e y,0x,0时,由原方程知 xe,ydy,1,x,0x,0yx，edxy,0 22y例3求由方程sin(x，y),xe,0 dy所确定的隐函数 y的导数 dx 方程两边对x求导解 22yy，x,,cos(x，y),(e,(2x，2ye,0y)y) y2xcos(x，y),e,y,y22xe,2ycos(x，y) 43 33求过C上设曲线C的方程为x，y,3xy,例4 33点(,)的切线方程,并证明曲线C在该点的法线 22 通过原点 22,,,3y，yy3x，3y3x解方程两边对 x求导, 22y,xy,x,,y,y,,,,1k3322切33(,)(,)y,xy,x2222 33,,(x,)y,即x，y,3,0切线22 33y,,x,通过原点法线22 44,,设x,xy，y,1,求y例5 方程两边对x求导得解 33,,y，4y,0,(y，xy)4x 34x,y,y,3x,4y 2332,,y)(1,12y,(4x,y),y)(x,4y)(12x,,y,32(x,4y) 44 44,,设x,xy，y,1,求y例5 方程两边对x求导得解 33,y,,4x,y,xy，4yy,0将方程两边再对 x求导得 2322,,,,,y,y,y，12y，4y,x(y)2,012x ,,y二、对数求导法 sinxsinxlnxy,xe 3(x，1)x,1y, lnln2x(x，4)e 45 3(x，1),x,1,设y,,求y.(x,1)例62x(x，4)e 两边取对数解 1,x,2ln(x，4)，ln(x,1)lny,ln(x，1) 3 两边对x求导得 1112,,1y,，, y3(x,1)x，1x，4 3(x，1)x,1112,y,[，,,1]2xx，13(x,1)x，4(x，4)e y sinx,例7设y,x(x,0),求y 解两边取对数lny,sinx,lnx 上式两边对x求导得 ,y1,,cosx,lnx，sinxyx 1,y,y(cosx,lnx，sinx,) x xsinsinx,(cos,ln，)xxx x 46 三、参数方程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的函数的导法 xt,x2t,,例82,2yt,, 2xx22,,()y,t 24 1,y,x 2 ,x,(t),设,,y,(t), dy dydt,dxdx dt 原理: ,,(t)dy1dydtdy,,,,,dxdtdtdx,dx,(t) dt 47 x,a(t,sint),,求摆线在t,处的切线方程例9,2y,a(1,cost), dy dysintasintdt解,,,dxa,acostdx1,cost dt , sindy2,1,k,,切t,,dx2,1cos 2x,a(t,sint),k,1,切y,a(1,cost), ,,x,a(,1),,2当t,时,,2,y,a, ,,a(,1),xy,a切线2 48 x,vt,1 例10抛射运动,12y,vt,gt,22的大小与方向求其速度 dydxvv,gt,v,,v,铅直解水平21dtdt 22速度的大小v,v，(v,gt)12 速度的方向 dyy, dtv,gtdy2,,tan,,vdxdx1 oxdt dxv,v水平,x,vt,11dt ,12y,vt,gt,2dyv2,gt,v,铅直2dt v,gt2,tan,,0yv1 ,v2,,arctan初角oxv1 21vv22,y,t,高度最高点v22gt,gg 2vv2v122x,,t,距离最远点2v2t,ggg 49 四、相关变化率 气球距离例11上升，观察员速率为500m140mmin,高度达到时，观察员视线的仰角500m 增加率是多少, h经过t,解时间仰角为, ,h,则tan,500500 ,d1dh2对tsec,,,,两边求导得 dt500dt ,dhd2,140,故此时sec,,2,,500,h,0.14dtdt 3以自顶部例12的速度向底半径为Rcm25cm/s Hcm高为注水，高度的圆锥液面达到一半时，容器内 液面上升的速度是多少, rh x经过t,高度解时间液面设为x R2,R113322,[h,(h,x)],,r(h,x),,RhV23h33h,xr2dx,RdV,2,,3(h,x),25,对tR求导得两边h2dtdt3h h,x2dxr,R100dxh25h,,,,h当x222dt,Rdt,R(h,x)2 50 yx例13xy求由方程，,1所确定的隐函数 dyy的导数 dx 原式化为解 yxlnxlnye，e,1 ylnxxlnye，e,1 两边求导 11ylnxxlny(lny，,,0x,y)，y,),e，e(ylnxyx ,解出y 2-5 第五节第五节数 开学 启函数的微分函数的微分科 学 大 门 的 钥 匙 51 微分的计算法 微分的形式不变性 一、微分的定义 x例1 y,e,求,y xx，,x,f(x，,x),y,f(x),e,e解 x,xxx,x,e,e(e,1)e,e x,e[,x，o(,x)] ,,,，o(,),x,0时,,~, x例2 y,e,求当 x,1,,x,0.02时的 ,y 1.02解,y,e,e 52 例3正方形金属薄片受热后面积的改变量 2(,x)x,x解设边长由x变到x，,x x,x,x 2,x正方形面积Ax2A,xx,x 22,(x，,x),A,x 2,2x,,x，(,x) U(x)内定义设 f(x)有定义在某0 ,o(,x),y使得成立，,A,x则称常数 A,若 ， f(x)在 x可微0 为 f(x)的微分在 x并记,A,xdy,Adx0 可微的定义注意: ,y,A,x?,o(,x) ? ,y,A,x，o(,x) 53 3例4 试证 f(x),x在 (,,,,)可微证,(,,,,),取 x ,y,f(x，,x),f(x) 33,(x，,x),x 32233,x，3x,x，3x,x，,x,x 223,,y,y,3x,x,3x,x，,x,o(,x),A,x A23xxx3,，,lim,0,x,0x, 二、函数可微的条件 f(x)定理函数可微的充要在点x条件是:0 ,且Af(x)可导,,f(x)在点x处00 f(x)在点x可微证0 ,y,A,,x，o(,x),,x,o(,x) ,yo(,x)？,A，,,0,x,x ,ylim,A,x,0,x ,即函数f(x)在点x可导,且A,f(x)00 54 dy ,dy,或 dy,dxf(x)dx dx 3例5求函数y,x当x,2,,x,0.02时的微分 23解,,3xdx,(x)dxdy 2,0.24dy,3xdxx,2x,2dx,0.02dx,0.02 通常把自变量x的增量,x称为自变量的微分 记作dx,即dx,,x dy,,dy,f(x)dx,f(x) dx 导数又叫"微商" 55 三、微分的几何意义 y T,f(x),tan,N0o(,x)P ,ydy,dy,f(x)dxM0y,f(x)!,x ,tan,,,x,)oxx，,xx00当,x很小时,在点M的附近 切线段MP可近似代替曲线段MN 四、微分的计算法 dyf(x)dx 56 1.基本初等函数的微分公式 ,,,1d(C),d(x),,xdx0 d(sinx),cosxdxd(cosx),,sinxdx 22d(cotx),,cscxdxsecxdxd(tanx), d(secx),d(cscx),secxtanxdx,cscxcotxdxxxxxd(a),d(e),alnadxedx dx1d(lnx),d(logx),dxaxxlna dxdx,d(arcsinx),d(arccosx),221,x1,x dxdxd(arctanx),d(arccotx),,221，x1，x2. 微分的四则运算法则 du，dvd(u，v), d(Cu),Cdu d(uv),vdu，udv uvdu,udv d,2vv 57 3.微分的形势不变性 2例6 y,sinx 22,y,2xcosxdy,2xcosxdx 2y,sinuu,xdy,cosududu,2xdx 2222dy,dsinx,cosxdx,2xcosxdx设y,sin(2x，1),求dy例7 dy,dsin(2x，1)解 ,cos(2x，1)d(2x，1) ,cos(2x，1),2dx ,2cos(2x，1)dx 1,3x例8设y,ecosx,求dy 1,3x1,3xdy,d(cosx)解,d(e),cosx，e 1,3x1,3x(,sinx)dx,e,d(1,3x)，e,cosx 1,3x,,e(3cosx，sinx)dx 58 2x,yxedyy设,ln(，),求、例9 2xdy,dln(x，e)解 21x,d(x，e)2xx，e 21x,(dx，de)2xx，e 212xdx)(dx，,e2xx，e 21x(dx，2xdx),e2xx，e2x2，xe112x(1，2xe)dx,,y,22xxx，ex，e ,ax例10设y,esinbx,求dy,ax,axdy解,d(e)，ed(sinbx),sinbx ,ax,ax,d(,ax)d(bx)，e,cosbx,e,sinbx ,ax,e(bcosbx,asinbx)dx 59 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使例11 等式成立 2(1)d(),cos,tdt;(2)d(sinx),()d(x) (1)？d(sin,t),,cos,tdt,解 11,d(sin,t);？cos,tdt,d(sin,t),, 2222(2)d(sinx),cosx,dx,2xcosxdx dx22,4xxcosx,4xxcosxdx2x dxdx, 2x ,x很小时 ,y,f(x，,x),f(x)00 ,,f(x),,x0 ,f(x，,x),f(x)，f(x),,x000 60 ,f(x，,x),f(x)，f(x),,x000 o,例12计算cos6030的近似值 ,,x,,,x,解03360 ,,1,cosx,f(),cos,设f(x)332 ,,3,,,,sinx,f(x)f(),,sin,,332 ,,,,,o,sin,,cos,cos(，),cos6030336033360 13,,0.4924,,, 22360 f(x)在x处 可微可导 连续极限有定义， 61 3dy2xf(x),arcsinsine,求例13dx32xdy,darcsinsine解 132x,dsine34x1,sine 331xx,2sinedsine34x1,sine 3313xxx,2sinecosede34x1,sine 331xx3,sin2e,edx34x1,sine 331xx2dx,sin2e,e,3x34x1,sine 22yxyxe求由方程sin()0，,,例14 dyy所确定的隐函数 的导数 dx 22y求微分对解的两边sin(x，y),xe,0 22y22y,xcos(x，y)de,0d(x，y)e,dx 22yy,x(2xdx，2ydy)dycos(x，y),edxe,0 y2222y,e]dx,xcos(x，y)[2ydy,0，[2xcos(x，y)e] 22ycos(x，y),e2xdy,,22ydx,x2ycos(x，y)e 62 2,x,t，tsindy求例15设,,t3dxy,e,t, 2对解求微分dx,2tdt，costdtx,t，sint t2t3dy,edt,3tdt求微分y,e,t对 t2t2edt,3tdte,3tdy,,故2t，costdx2tdt，costdt 2-习题 第二章第二章数 导数与微分导数与微分开学 启 科 学 大 门习题课的 钥 匙 63 f(x),f(x)0,,limf(x)0x,x0x,x0 f(x，,x),f(x),,limf(x) ,x,0,x f(x，h),f(x) ,lim,f(x)h,0h ,，xtt2,dy01.设,求,t,02dxy,t，tt54, dy dydxdt解,不，dxdxdtt,0 dt 2,t，,t545(,t)，4,t,t,y,0,,limlimlim,t,0,t,0,t,x,02,t，,t,x，2,t dy,0dxt,0 64 g(x),cosx,x,0,02.f(x),x, ,,ax,0 g(x)可导,且 g(0),1,确定 a,使得 f(x)在 x,0处连续 g(x),cosxlimf(x),lim解x,0x,0x 1,cosxg(x),1，1,cosxg(x),g(0),lim，lim,limx,0x,0x,0xxx,0 ,,a,a,g(0),,f(0),g(0)，0 xx10ftft3.求 lim[(，),(,)]x,0xaaf(x)可导，t、a与 x无关，且 a,0 xx1 lim[f(t，),f(t,)]解x,0xaa 1xx, lim,f(t,),f(t)，f(t)][f(t，)x,0xaa xxf(t，),f(t)f(t,),f(t)11aalim，lim,x,0x,0xxaa, aa2,,f(t) a 65 04.求导 12sinx(1)y,e 132sin,111x2,y,2sin,cos,e,(,x)xx2 xb(2)y,ax，logloglogxabc bxxb,1,,xalna，abxy, 111，,, loglogx,lnalogx,lnbxlncbcc 0,5.设f(x),x(x,1)(x,2)？(x,100),求f(0) f(x),f(0),,lim解f(0)x,0x,0 x(x,1)(x,2)？(x,100),limx,0x,0 (x,1)(x,2)？(x,100),limx,0 ,100! 66 0,5.设f(x),x(x,1)(x,2)？(x,100),求f(0) ,(uvw),,,,uvw，uvw，uvw另解 ,,(x,1)(x,2)？(x,100)f(x) ，x(x,2)？(x,100) ，x(x,1)(x,3)？(x,100) ，？？ ，x(x,1)(x,2)？(x,99) ,100!(x,1)(x,2)？(x,100),？f(0),x,0 0,6.设f(x),xx(x,2),求f(x) 解或 x,2令 x(x,2),0x,0 32x,2xx,0, ,23f(x),0,x,2,2x,x ,32,x,2x,2x 2,f(x),3x,4x当x,2或x,0时, 2,f(x),4x,3x当0,x,2时, 67 32x,0x,2x, ,23f(x),0,x,2,2x,x ,,32x,2x,2x 32f(x),f(0)xx,2,limf(0),,0,lim,,,x,0x,0x,0x232x,x,,？f(0),0f(0),,0lim，，x,0x2x(2,x)f(x),f(2),,4,lim,f(2),lim,,,x,2x,2x,2x,2 2x(x,2)lim,,f(2),？f(2)不，,4，，x,2x,2 32x,2xx,0, ,230,x,2f(x),,2x,x ,32,x,2xx,2 综上 2x,03x,4x, ,20,x,2,4x,3xf(x),, 2,x,23x,4x, 68 ax,ex,00,7.a、b取何值时，f(x),2b(1,x),x,0 在 (,,,,)上可导 2ax是初等函数b(1,x)e、解 :(0,,)f(x) (,,,0),D axaxe,1,a,limlim,f(0),,,,x,0xx,0x,0 22b(1,2x，x),1b(1,x),1,limlim,f(0),，，，x,x,00x,0x,0 22b(1,2x，x),1b(1,x),1,f(0),,limlim，，，x,x,00x,0x,0 b,1,limb(x,2)，lim，，x,0x,0x b,1,,a,f(0)，lim,,2b,，x,0x 0 a,,2b,1, 69 ax,ex,00,7.a、b取何值时，f(x),2b(1x),x,0, 在 (,,,,)上可导 可导必连续解 2axlimlimf(0),1,b,b(1,x)e,1,,，x,0x,0 b,1 ax,ex,0 省略？？,f(x),2(1,x)x,0, 1,,xsinx,0,x0f(x),8.,取何值时，, ,0x,0, (3)导数连续(2)可导(1)连续在 x,0处，f(x) 11limsin、limcos不，解x,0x,0xx 1,,,0,f(0),0limf(x),limxsin(1)为使x,0x,0x1,xsinf(x),f(0)xlim,lim(2)为使x,0xx,0x,0 1,,1,f(0),0且此时xsin,,1,0,lim，x,0x 70 1,,xsinx,0,xf(x),, ,0x,0, 11,,1,,2,sincos,,xxx,0x,x,f(x),(3), ,0x,0, ,,,0,,f(0) limf(x)为使连续，f(x)在 x,0x,0 ,,2,0 y0x9.设函数y,f(x)由方程y,x(x,0,y,0) 2dy所确定,求2dx 11ylny,xlnx,lnx,lny两边去对数解yx 11,y,lny,lnx，xy两边求导，y对方程 yx lnx，111,y,,y(1，lny),(lnx，1)1，lnyyx,,y,2(1，lny) 22y(lny，1),x(lnx，1),3xy(lny，1) 71 y0x9.设函数y,f(x)由方程y,x(x,0,y,0)2dy所确定,求2dx 11ylny,xlnx,lnx,lny两边去对数解yx 11,y,lny,lnx，xy两边求导，y对方程yx 11,,y,,,,，yy，ylny,对方程两边再求导yx 22y(lny，1),x(lnx，1),,y,3xy(lny，1) 0cosx,yxxy10.设,(sin),求 cosxlnsinxy,xe解 ,lnx，cosxlnsinxlny取对数 ,y11,sinx,lnsinx，cosx,,cosx两边求导yxsinx 2x1cosxcos,yxxxx,(sin)(,sin,lnsin，) xxsin 72 dy0u2ueyyxuu11.，,，,,，,求 dx u2求导对两边对uu，e,y，y解 udy1，edydyu,,2y，e，1du1，2ydudu 对x,u，u两边对x求导 du2u1dudu,，,1dx1，2u2udxdx u2udydudy1，e,,,,1，2udxdudx1，2y dy0u211.u，e,y，y,x,u，u,求 dx u2对 u，e,y，y,x,u，u两边求微分解 uu,2ydy，dy2ydy，dy,du，edudu，edu 1，dudx,du2u 2udyu(2y，1),(1，e)两式作商:1，2udx u2udy1，e,, dx1，2y1，2u 73