基于区间直觉模糊熵及相似性测度的多属性决策方法研究

基于区间直觉模糊熵及相似性测度的多属性决策方法研究 基于区间直觉模糊熵及相似性测度的多属性决策方法 研究 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下,独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体己经发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 的研究成果,均 在文中以适当方式明确标明,并符合法律规范和《厦门大学研究生学 术活动规范试行》。 另外,该学位论文为 课题组 的研究成果,获得 课题组经费或实验室的 资助,在 实验室完成。请在以上括号内填写课 题或课题组负责人或实验室名称,未有此项声明内容的,可以不作特 别声明。 声明人签名:砜弓么多\ 溯年参月力日厦『大学学位论文著作权使用声明燃燃 本人同意厦门大学根据《中华人民共和国学位条例暂行实施办 法》等规定保留和使用此学位论文,并向主管部门或其指定机构送交 学位论文包括纸质版和电子版,允许学位论文进入厦门大学图书 馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索,将学位论文的标题和 摘要汇编出版,采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于: .经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文, 于 年 月 日解密,解密后适用上述授权。 .不保密,适用上述授权。 请在以上相应括号内打“?”或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文,未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的,默认 为公开学位论文,均适用上述授权。 声明人签名:卅虱石乞多、 多年多月五日摘要 多属性决策就是根据人们已经掌握的决策信息,比如决策矩阵之类的,然后 通过一定的方式对多个方案进行科学排序的过程。在不确定环境下的多属性决策 研究领域,关于各类权重的确定是其研究的重要课题,特别指出的是,当属性值 用诸如区间直觉模糊数这类模糊性较高的定量方式进行描述时,若能基于模糊熵 的特性,利用模糊熵理论为解决与这类决策相关的属性权重问题提供更加客观的 方法,则显得更有理论与现实的意义。而目前关于模糊熵等相关理论的研究 并不 是很完善,且相关文献还较为少见,因此本文对区间直觉模糊熵及相似性测度进 行了较为深入的研究,并通过举例对它们的综合应用做了细致 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 。 本文主要针对区间直觉模糊环境下多属性决策问题进行研究,主要内容有: 关于区间直觉模糊多属性决策基础知识的介绍;给出一种更加符合直 觉的区间直觉模糊熵的公理化定义,并构造出符合该定义的 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 表达式并证明, 最后通过实例进行对比分析来验证该表达式的有效性;分析区间直觉模糊集 相似性测度与模糊熵的关系。根据模糊熵的构造方法,构造出一个含参的可以调 整隶属度与非隶属度在区间直觉模糊集相似性测度中所含比重的相似度函数并 证明,最后通过实例对其应用进行阐述;给出属性权重信息不完全情况下的 基于区间直觉模糊权重熵的属性权重导出模型,并通过实例进行验证;基于 本文提出的模糊熵及相似性测度理论,提出一种区间直觉模糊环境下多属性群决 策专家权重的修正方法,并通过实例对比分析来说明该方法的有效性。 关键词:多属性决策;模糊熵;相似性测度 , , . , ? , ,. , , , , . ,: ; . , , ; .? ;; , . . : ; ;目 录 第一章绪论.研究背景及意义?. .国内外研究现状.研究内容?. .论文结构第二章 区间直觉模糊多属性决策的预备知识??.. .一般模糊多属性决策问题描述? .模糊多属性群决策问题描述. .直觉模糊集基础理论??。 ..直觉模糊集的定义..直觉模糊数的大小比较??..? ..直觉模糊集的基本运算法则与集结算子.区间直觉模糊集基础理论。 ..区间直觉模糊集的定义.. ..区间直觉模糊数的大小比较..区间直觉模糊数的基本运算法则与集结算 子. .本章小结 第三章 区间直觉模糊熵及相似性测度函数构造的新方法.区间直觉模糊熵 的定义?. .区间直觉模糊熵的构造 .算例分析 .区间直觉模糊集之间的相似性测度。 ..区间直觉模糊集相似性测度函数的定义?.. ..区间直觉模糊集相似性测度函数的构造?.. .应用举例 .本章小结 第四章基于区间直觉模糊权重熵的属性权重确定? .区间直觉模糊权重熵? ..单个区间直觉模糊数的熵函数的定义??. ..单个区间直觉模糊数的熵函数的构造??. ..区间直觉模糊权重熵的构造.基于区间直觉模糊权重熵的属性权重导出方 法..理论依据?. ..模型建立?. .实例分析??。 .本章小结??。 第五章基于区间直觉模糊熵及相似性测度的多属性群决策专家权 重的修正.. .群决策的问题定义?。 .群决策中专家权重的修正?。 ..群决策中专家熵的确定. ..群决策中专家个体与群体相似性测度??. ..群决策中专家最终权重的确定?. .实例分析??。 .本章小结??。 第六章全文总结与展望.研究总结 .研究展望 参考文献.. 攻读硕士学位期间发表的论文.. 致谢 .??...?.. ..??.. ? 】】?.?.......??.??.?.?.?.?...?..??..??.??.?..?.............; .】??.. .??.. . ... .. .. . ...?. ... .. ............................................ , . . ..??.. .....?.. ...?.. . ...........................??...... ? ? ..?..? ..?.. ? .. . ....??.. .. .?.. . ’ ??.?..?............................. .??.? .’??. .. ’?. .... ’ .?” .... .??. . ?. 第一章绪论 第一章绪论 .研究背景及意义 多属性决策是现代决策科学不可分割的重要组成部分,它与多目标决策共同 组成多准则决策体系,是管理科学与运筹学的重要组成分支,并被广泛应用于经 济、社会、军事等领域。多属性决策主要针对有限个离散方案的决策问题,它是 根据一定量的决策信息按照一定的方式对各方案进行排序并选择最优方案的过 程。不确定多属性决策是对传统经典决策问题的拓展与延伸,它主要包括两个主 要部分: 提供~定量的决策信息为决策提供依据,通常情况包括以下两个 方面:方案的属性权重值以及方案对各属性满足程度的数值表示属性值,一 般情况下可以通过模糊数进行表示,而对属性权重的确定是多属性决策问题研究 的一个重要内容; 按照某种方法对决策信息进行某种方式的集结或其它运 算并得出一个综合值,并根据它对方案进行排序并择优。由于客观世界的复杂性 与人类知识体系的不完善性,决策信息往往具有一定的模糊性,因此对不确定环 境下的多属性决策问题的研究越来越引起人们的重视,对其研究具有理论与实际 应用的重要意义。 在决策类型中,其中群体决策是充分发挥集体智慧的一种决策方式,它是由 多人共同组成决策团体并整体参与决策的过程。群决策能够集中集体的智慧,能 够从多角度认识问题,并在最大程度上兼顾到各方面的利益,并能克服单人决策 过程中的信息、经验、知识不足等多方面的缺陷,是一种十分重要的决策方式。 由于决策对象的复杂性,使得决策信息通常具有不确定性,因此,对模糊环境下 群体决策方法与理论的研究具有重要的现实意义。 .国内外研究现状 熵最先产生于热力学,之后被引入信息论中,它是用来描述对象 不确定性的程度。模糊熵首先由于年引入模糊领域,后来, 和在熵函数的基础上给出模糊集模糊度描述的一些公理化 要求,后来又有很多学者开始以不同的方式研究模糊熵,比如,,第一章绪论 ,以及在基于模糊集距离测度的基础上分别定义了一些模糊熵的 构造函数。年,与首次给出了直觉模糊熵的公理化定义, 并拓展到区间模糊集。年,与【】在文献【】的基础上提出 了一种新的直觉模糊熵的公理化定义与构造方式,并给出了几何解释。后来, 指出文献,中直觉模糊指数所表征的中立证据在支持与反对 的程度呈均衡状态时熵值无法体现的构造缺陷,他认为,这两种构造方法中直觉 模糊指数所表征的信息没有得到充分描述,并提出一种改进的直觉模糊熵的定义 与构造方法。文献提出了区间直觉模糊熵的公理化定义与构造方法,文献 基于文献的公理化定义,提出一种新的区间直觉模糊熵的构造方法。 模糊集相似性测度是用来评估两个模糊集之间的相似程度,这类研究历来也 是模糊领域比较热门的内容,它与模糊集的熵存在内在联系,因而研究它们之间 的关系有着重要的意义。文献给出集的相似性测度函数。年, 等【】提出直觉模糊环境下的相似性测度公理化定义与构造函数,文献【】指 出文献中关于集相似性测度函数的不足并提出一个新的相似性测度 函数,也提出一种条件增强的相似性测度公理化定义,等】 把相似性测度函数拓展到区间模糊集上,在此基础上, 和 从距离的几何解释角度提出一种改进的直觉模糊集相似性测度函 数,后来还有一些学者从不同层面提出直觉模糊集的若干相似性测度方法 .。目前,关于区间直觉模糊集相似性测度的研究还较为少见,把相 似性测度拓展到区间直觉模糊集,文献提出区间直觉模糊集相似性测度方 法,文献 提出区间直觉模糊集相似性测度方法以及与熵的关系。文献 在集多属性群决策环境下提出用专家群体评估值之间的相似度矩阵来确 定专家权重的方法,文献【】提出群决策环境中通过区间直觉模糊集的距离公式 导出专家权重的方法,文献提出群决策环境中用熵最小化的方法来确定专家 权重。 综上所述,当前关于区间直觉模糊环境下熵与相似性测度以及它们之间关系 的研究还比较少见,有的提法还存在不合理的地方,比如文献,中关于区间 直觉模糊熵的定义没有充分考虑直觉指数的作用,因而,深入对区间直觉模糊集 的熵以及相似性测度关系的研究,并将其应用于决策或者模式识别等领域显得更 有理论与现实意义。此外,在群决策中,专家权重的确定也是关键内容,而目前第一章绪论 关于区间直觉模糊群决策环境中对专家权重的计算与修正方法的研究还颇为少 见,因此对此进一步研究也有重要的意义。 .研究内容 区间直觉模糊集是用来表示模糊信息的一种理想方法,由于区间直觉模糊集 具有比一般的表示方法来得更加模糊,不确定度更大,而这种特征可以与模 糊熵 很好的联系起来,因此,在模糊决策环境中,有时模糊熵能够为决策提供较为科 学的数值计算与更加客观的数据,因此本文主要针对区间直觉模糊熵以及相似性 测度方法在多属性群决策问题中的应用进行研究。本文研究的主要内容包括如下 几个方面: 一、对目前区间直觉模糊熵及以性测度的国勺研究现状进行综述; 二、提出一种新的区间直觉模糊熵的公理化定义与构造函数,并通过举例对 提出的理论进行对比分析,然后在此基础上提出更加灵活的区间直觉模糊集相似 性测度函数并通过举例对其应用进行阐述; 三、提出单个区间直觉模糊数的熵函数定义与构造方法,同时还提出区间直 觉模糊权重熵的构造方法,在此基础上提出一种能够导出属性权重的线性规划模 型,它可用于属性权重信息不完全的多属性决策问题,最后通过实例验证该模型 的有效性; 四、在区间直觉模糊群决策环境下,同时考虑专家主观及专家群体差异性的 因素,提出一种利用区间直觉模糊熵以及相似性测度理论对专家权重进行修正的 方法。 .论文结构 本学位论文总共有六章,各章的主要内容概述如下: 第一章绪论 主要介绍本文的选题背景、研究意义以及国内外研究现状,并总述了本文的 主要研究工作以及论文的章节安排。第一章绪论 第二章区间直觉模糊多属性决策的预备知识 本章主要介绍模糊决策相关的基础知识,包括模糊多属性决策问题描述、常 用模型以及直觉模糊集和区间直觉模糊集的定义以及基本运算规则、性质等。 第三章区间直觉模糊熵及相似性测度函数构造的新方法 本章对区间直觉模糊熵的构造方法进行研究,并对已有的区间直觉模糊熵的 构造方法进行了对比分析,在此基础上,提出一种更符合直觉的区间直觉模糊熵 的构造方法,并通过实例说明该方法的合理性,在此基础上,提出一种基于模糊 熵的区间直觉模糊集相似性测度函数并证明,最后通过应用举例对以上理论的应 用进行详细说明。 第四章基于区间直觉模糊权重熵的属性权重确定 本章在区间直觉模糊熵的基础上给出单个区间直觉模糊数的熵函数定义与 构造方法,并提出区间直觉模糊权重熵的构造方式,最后给出基于区间直觉 模糊 权重熵的属性权重导出模型并通过实例对模型的有效性进行验证。 第五章基于区间直觉模糊熵及相似性测度的多属性群决策专家权重 的修正 本章主要研究在属性权重以实数形式给出的区间直觉模糊多属性群决策环 境并已知专家初始权重时如何修正专家权重。本文通过区间直觉模糊集相似性测 度来评价专家权重与个体评价结果之间的差异,同时又利用区间直觉模糊熵来衡 量专家个体的评价信息,最后通过这两者的加权组合来确定专家的最终权重,达 到更加科学地确定专家权重的目的。 第六章全文总结与展望 本章在总结全文的基础上提出未来进一步的研究目标。 第二章区间直觉模糊多属性决策的预备知识 第二章 区间直觉模糊多属性决策的预备知识 本章主要介绍了一般模糊多属性决策以及群决策的问题描述、基础理论,以 及模糊决策中常用的直觉模糊集和区间直觉模糊集的基本定义及性质等,为阅读 后续章节奠定基础。 .一般模糊多属性决策问题描述 在模糊多属性决策环境中,决策者需要提供一定量的决策信息,然后利用定 量分析与定性分析相结合的方法进行决策,但由于决策对象的复杂性,导致决策 者提供的决策信息多以模糊数的形式给出,目前常用的模糊数类型主要有区间 数、直觉模糊数、区间直觉模糊数等,一般模糊决策问题模型描述如下: 对于若干个备选方案五,,,...,,通过有限个属性彳,?』,~., 胛性对各方案进行评估,根据每个属性的重要程度等因素,对其赋予一定的权 重其中属性指标类型有分效益型或者成本型,前者越大越好,而后者越小越好, 表示为,哆,鸭?,,其中 ,,/,,...,挖,?::,哆,第个方案 对第,个属性的满足程度用模糊数霉,表示,则可得到如下形式的决策矩阵:墨巧。、% . ?‰ 根据模糊决策矩阵传递的信息进行决策方法可有多种,比如通常情 况下可以按照一定的方式对各方案的属性向量进行集结等运算可得出综合值,最 后按照综合值对给出的备选方案进行排序并选择最优方案。在这一过程中,有时 属性的权重值有可能是未知的,需要通过计算得到,那么属性权重值的求解也是 多属性决策问题要研究的一个重要内容。 .模糊多属性群决策问题描述第二章区间直觉模糊多属性决策的预备知识 由于决策问题的模糊性、复杂性与决策信息的不完全性,以及受决策者本身 经验能力,知识结构等因素的限制,有时单靠一个决策者很难做出科学的决策, 因此,出现了多人多属性的决策情况,也即群决策。群决策是集数学、管理科学 以及决策科学等多门学科研究于一体的交叉学科。从系统工程的角度而言,方案、 损益、状态是群决策的基本要素,群决策就是要根据这三者的数量关系、性质以 及某些准则,在矛盾中选择最佳方案。一般情况下,模糊环境下的多属性群 决策问题模型描述如下: 首先给定有限个备选方案,用工,,,...,表示,?『,,?, ”表示有关方案评价的属性集,并假设在决策过程中有个专家参与,专家集 合用集合碣,破,吃?,。表示,决策者在参与决策过程中所体现的作用有时 也有差异,因此可以为不同的决策者分配不一样的权重,设决策者的权重向量为 ,?,。,方案的属性权重为?,,?,鸭,这里的所有权重 向量在不同环境下具有不同的表示形式,比如有实数型、其它模糊数型比如直 觉模糊数、区间直觉模糊数等,但一般都有规范化的要求,决策者对某个方案 在某个属性下的满足程度进行评价可以得出一个属性值,这样每个决策者对 所有 方案在所有属性上的评估就会形成一个模糊决策矩阵,有如下形式: 彳 。;:. 。 ? ? ’ ’ ’” .,、 磁 磁 ?磁 ,,,..., ‘ . 。 篇镌?兹 其中霉是决策者以根据方案,满足属性彳,的程度所给出的评价值,它的值一般 以模糊数的形式出现,如常用的有区间数,直觉模糊数以及区间直觉模糊数等。 目前,在给定决策矩阵的基础上进行群决策的方法较多,例如通常可 根据一定的集结方法等对各模糊决策矩阵进行一定的运算,比如可以按照各个决 策者各自的决策矩阵得出每个专家的个体评价值,再通过一些集结算子可以得到 群体综合评价值,最后得到每个方案的综合评价值,并通过一定的方法对综合评 价值进行比较,最后得出方案的优劣排序。关于群决策的理论与方法目前已取得 非常丰硕的成果,其中文献已对群决策的基本理论与基本方法以及实现上进第二章区间直觉模糊多属性决策的预备知识 行了较为系统的阐述。 .直觉模糊集基础理论 年,对经典模糊集进行了有效拓展,并提出直觉模糊集的 概念。直觉模糊集综合考虑了隶属度、非隶属度和犹豫度的情况。这使直觉模糊 集在处理模糊性信息方面比传统的模糊集更能细腻地描述决策对象模糊性的本 质,并在模糊决策领域得到了广泛应用。 ..直觉模糊集的定义 定义. 文献】段设给定非空有限论域,贝定义在该论域上的一 个直觉模糊集,表示为‖一,’,爿卜?,其中‖与’,爿分别为 中元素属于彳的隶属度与非隶属度函数,且有心:.【,】, 此外, 、,‘: 并满足条件?如%?,?。 【,】, 不爿一心一爿,?称为论域中元素属于直觉模糊集彳的犹豫度 或不确定度有时也称直觉模糊指数,犹豫度值越大,表明未知度越高,也即 不确定性越大。显然,直觉模糊数,为最大直觉模糊数,而直觉模糊数,为 最小直觉模糊数。 通过直觉模糊数的定义,下面对直觉模糊数在直觉上的意义进行解释,例如, 对于直觉模糊数卢。,。.,.,那么它的物理意义表示为:对某一决策 项目,人参与投票表决,。.其中有人是投赞成票,心.表示人 投了反对票,而犹豫度万。?.?..表示有人投了弃权票。 ..直觉模糊数的大小比较 对任一直觉模糊数,可以通过得分函数与精确函数来对它们的大小进行比 较,文献对得分函数与精确函数的定义及应用进行了解释说明。 假设/.。,‰为一直觉模糊数,则心?,,。?,】且.“。%?。 第二章区间直觉模糊多属性决策的预备知识 那么的得分函数定义为: 。一。 其中?,,越大,那么就越大。 此外,精确函数定义为: ‖。证 其中?,,日越大,那么就越大。 定义.文献【假如有直觉模糊数心,,%。,心:,%:,那 ,比。一、,。。 :‖。:一分别是他们的得分函数值与精确函数值,则 有: 若,则,反之则及仗 若,则: ? 当时,则; ? 当时,则; ? 当时,则。 ..直觉模糊集的基本运算法则与集结算子 定义.文献,设是一个有限非空论域,和均为定义在该 论域上的直觉模糊集,分别记为: ? ,‖爿,』 ? ,‖占, 则有如下的基本运算规则: ?; ,爿,爿 ?; ,爿,‖,爿, ?; ,一,/.占,爿,?; ,爿一,爿 ?; ,‖爿‖,爿一爿 ?; ,一一‖爿”,爿”第二章区间直觉模糊多属性决策的预备知识 ?。 肘,?爿”,一爿 定义.文献设直觉模糊集彳。,:,...,位,,,若: ?。 。,,?,。 则称为直觉模糊集的加权平均算子,且?,哆,...,为满足 ?:。,的权重向量。 定义.文献设直觉模糊集。,:,...,。,若: ,,?,。 吐?。% 则称为直觉模糊集的加权几何算子,且?,哆,...,为满足 ?。,的权重向量。 .区间直觉模糊集基础理论 由于客观事物的复杂性和模糊性,隶属度与非隶属度的值往往很难用确定的 实数来 表示,而此时用区间数来表示更加合适,因此等】对直觉模糊集进行了有 效拓展,并提出区间直觉模糊集的概念。 ..区间直觉模糊集的定义 定义.文献设为一给定非空论域,若匀为该论域上的一个区间 直觉模糊集,那么它可定义为如下形式: ? 匀,丘, ,‖】,,,噶】? 其中也,,吒,,且/吒?,?,且 称疗宠,厅】一一,一钙一为中元素的区间 直觉模糊指数也称犹豫度区间。 特别地,当区间数如与吒均退化为实数时,也即嵋, ,则区间直觉模糊集力将退化成普通的直觉模糊集。第二章区间直觉模糊多 属性决策的预备知识 ..区间直觉模糊数的大小比较 区间直觉模糊数的排序一直是研究的热点问题,文献【】定义了区间直觉模 糊数得分函数与精确函数,较好地解决了区间直觉模糊数的排序问题。 对于给定的区间直觉模糊数百【口,,,】,其得分函数与精确函数分别 定义如下: . 去口一? 日百:委口 其中百?,】,日百?,。 定义.文献令岳,包为给定的任意两个区间直觉模糊数,按照以 上得分函数与精确函数值比较大小的过程如下: 那么巨色,反之则岳包 若巨包, 若巨眨,则:当日巨或时,则巨嘎; ?当日巨时,则岳幺;当日反幺时,则反皖。 ..区间直觉模糊数的基本运算法则与集结算子 定义.文献【设,包,,】,声哆,吃】,,吐为任意给定区 间直觉模糊数,则有如下的基本运算法则: 反,】,,岛; 、卢,,娩,】,,,珥,吐】; &卢【】,呸,岛,包,,,,之】; 卢【呸一呸,岛包一,【巴,哎】;第二章区间直觉模糊多属性决策的预备知识 反卢呸,岛,一,?; ,磁一一“,一一岛”,“,”聊; ”,岛,一一】聊。 定义. 文献,设区间直觉模糊集缸。,:,...,,,,且 ,,包】,』,,,,...,玎,若: ,仅,...,。 ?”一?:。一,一?:。?】,【?:,,?:。】 贝为区间直觉模糊集的加权平均算子, ,吐,...,’为满 足?:。,,哆的权重向量。 定义. 文献,设区间直觉模糊集钕。,,...,,,,且 。,『,,,,,...,门,若: ,,...,。 。 ?% ?。,?:。岛】,一?:。一,一?。一】 则称为区间直觉模糊集彳的加权几何算子,且?,?:,...,‰为 满足?。,哆的权重向量。 定义. 文献对任意的区间直觉模糊集彳,~?,其中: ? ,三,吒,呓】 ? ;,‖;】,;,; 有如下定义: 若璧雪,当且仅当: ‖?‖;,‖;?;, ?;,?;,? 若彳:雪,当且仅当彳?~,“三雪,?; ? 彳;,;】,‖;,肛;第二章区间直觉模糊多属性决策的预备知识 定义.文献】设瓦口,与万,为两个区间数,则它们之间 的相离度为: ,万口一?一 相离度何,万越大, 与万的差别程度越大,特别地,当,万时, 万。 .本章小结 本章对多属性决策的一般模型与群决策模型进行了阐述,此外还对直觉模 糊集与区间直觉模糊集的一些基本概念、运算法则以及集结算子等内容进行简要 介绍,为后续章节做铺垫。第三章区间直觉模糊熵及相似性测度函数构造的新方法 第三章 区间直觉模糊熵及相似性测度函数构造的新方法? 模糊决策研究的是决策信息以不确定值形式给出的决策问题,它通常以数学 理论与方法为基础,以定量分析与定性分析相结合为解决问题的手段,严格意义 上而言,现在的决策大多数是模糊决策。自从和对直觉模 糊集进一步推广并提出区间直觉模糊集的概念后,关于区间直觉模糊集模糊性定 量判断的研究就引起学者的广泛关注,由此熵被引入决策领域。 熵起源于热力学,后来被引入信息通信领域,用来定量描述对象的不确 定性。熵值越大,则不确定程度越高。在社会科学中,熵是一个非常重要的概念, 被引入模糊领域后,熵成为一种衡量不确定信息模糊度的重要手段,而模糊熵与 定义的信息熵有着本质的不同,因为信息熵描述的是随机试验预测结 果的平均不确定性,而模糊决策中,熵多在处理具有反差信息的数据集时用, 比 如,从某个属性看,所有的备选方案具有同样的结果,或者说结果差异不大,也 即该属性的熵值较大,那么也就隐含说明这个属性起到的评价作用就很小,或者 说几乎没有,那么这个属性权重应该很小或者完全可以略去,因此在模糊决策时, 熵法作为属性权重乃至其他权重的确定能够起到很好的作用。 本章对区间直觉模糊熵的公理化定义进行研究,并对文献的区间直觉 模糊熵的公理化定义所存在的一些缺陷进行改进,同时提出一种更符合直觉的区 间直觉模糊熵的构造方法并证明。在此基础上,给出一种基于模糊熵的区间直觉 模糊集相似性测度函数并证明,最后通过实例阐述这些理论在决策中的应用并验 证其有效性。 .区间直觉模糊熵的定义 定义.文献称映射称函数:专,】为区间直觉模糊熵, 对嘶?,如果它满足下面的公理化要求: 当且仅当彳为分明集; 匀当且仅当‖一,一?,,’,誓】对弘??; ?本章主要内容发表于 上的论 文. 第三章区间直觉模糊熵及相似性测度函数构造的新方法 。; 对否?,当;誓?;薯,卢;誓?、,;誓,?.时,有 ?云,或者当嵋薯?;薯,‖;誓?、,;薯,弘?时,有五?云,只要满足以 上两种情况之一,就必然有匀?/。 基于定义.,文献】给出如下区间直觉模糊熵的构造函数: 尉力:三争三二坦兰羔盟旦缪止攀丛型掣搿. 、,鲁 ;‘一’,誓 ;誓一、,;薯宠‘亓;薯’ 其中,钙薯,疗薯为犹豫度区间。现在从以下例子来分析式.的计 算结果: 例:分别计算.,.,.,.】,.,.,.,.】的熵。 根据式可得: 彳 从以上例子,我们可以发现,式.未能反映出区间直觉模糊指数的差 异对熵值的影响,而从直觉的角度而言,模糊熵应包含对象的模糊性与未知 性, 其中,犹豫度反映了未知性,而隶属度与非隶属度的差异反映了模糊性,因 此, 式.具有一定的局限性。基于以上分析,本文修正了定义.,提出如下区 间直觉模糊熵的公理化定义: 定义.称函数:为区间直觉模糊熵,则对畅?,其中 肛一,誓,?誓,、,;誓薯? 疗一疗薯,疗誓】一‖誓一、,;薯,一‖誓一、,薯】 彳必须满足如下所有约束条件: 条件::当且仅当彳为分明集; 条件:彳当且仅当‖;,,‖;誓?一,、,一】,】; 条件:匀; 条件:?,若亓誓,宠誓】厅;誓,疗三誓】,那么结论 ?雪当且仅当彳的隶属度区间与非隶属区间的相离度不比雪的隶属度区 间与非隶属区间的相离度小时成立,也即必须满足以下条件: 第三章 区间直觉模糊熵及相似性测度函数构造的新方法 ‖誓一誓‖;誓一、,三誓?‖;一、,;誓.“;一、,;; 条件:对雪?,当‖;‘?;‘,;誓?、,;誓,;?时, 有 时,有力?雪,则 一雪,或者当‖;誓?;誓,‖三薯?;誓, ?雪。 .区间直觉模糊熵的构造 基于定义.,对畅?,本文提出如下区间直觉模糊熵的构造函 数: 以:三争互盟?互盟?三一丝盟羔盟且堂趔,耻. 、 一鲁 观设掣,包业型蔓等监业趔, 则:彳去喜包. 因为.?口,?,.?岛?,贝 ?岛?,即?匀?。下面证明 满足定义.的所有约束条件: 若‖,,‖,】,】,?,,誓】,】,或者薯,,】,】, ?一,、,誓】,,则显然可以推出: 彳; 若,因为.?,?,.??,,则可推出: ,良. 所以有: 【庀『’厅】,】 肛‘一、,誓 ‖誓一、,誓 那么可推出: 肛,‖誓,,,’,薯,第三章区间直觉模糊熵及相似性测度函数构造的新方法 或者 ‖,肛‘,,?,,、,;,【, 若钙薯,?薯,,?誓,,】,时,显然有: 匀. 若彳时,因为.?,?,.?『?,那么岛.,则有: 疗一,宠一】【,】. 所以有: 肛,,?‘,,、,誓】,】; ,?,显然有: 由匀;,;誓,肛;誓,肛;‘ 彳; 设砌去喜圳,砸去喜?式子构成结构可知:因为亓誓,疗一】宠;一,斤;誓】, 所以有:;因为的相离度不小于雪,也即: ‖誓一、,誓 一一、,誓 ;誓一、,;誓 ;誓一’,;誓 所以有?. 因此,综上可推出:?。此外可看出,以上推倒是可逆的。 依据给定条件,若睚,?、,;一,肛;,?’,;誓,,?时有雪彳可以推 出: ’,.一?;薯?/?. 【、,誓?;‘?;誓?誓 那么: 嘶善生坠掣巡一型丛等丝型 一?三二互兰二互型 鲁 、 湎:三争兰二蔓盟二丝堕二蔓堕二竺趣五盟二丝盟坠.一..垒盟鲁 第三章区间直觉模糊熵及相似性测度函数构造的新方法 一三?三二蔓盟二蔓型 行。鲁 因为’,;?吒,咭,所以有: 五?云 同理可证,当肛三誓?吃誓,肛三誓?咭誓,弘?时若有: 雪?匀 那么: 彳 雪 同理,容易证明,若五,云退化为直觉模糊集,以上的定义与构造方法也是 有效的。 .算例分析 实例:设区间直觉模糊数.,.,.,.,【.,.,.,.】。 根据式.可得: :二:坠. 么:?..?..一:三二:兰?:?..?..一:三二:尘:二型..所以?,此时该结果与 文献是一致的。 实例:设区间直觉模糊数【.,.,.,.,.,.,.,.。 根据式.: :二:?:二::. 爿:兰二:二竺:二:二:一:?..?..一竺:兰二:兰?:兰二:兰:. 、。 所以?,从直觉的角度看,的犹豫度大于,因而以上 结果完全符合直觉。 但若按照文献】中的方法计算,对于实例,则,也即没 有体现出犹豫度不同时模糊熵的变化情况。但从直觉上而言,模糊熵应同时 受到 第三章 区间直觉模糊熵及相似性测度函数构造的新方法 对象的模糊度与未知度的影响,其中,对象的未知性通过犹豫度体现,而对象 的 模糊性则通过隶属度与非隶属度的差异情况体现。从本例看,对于彳, 压吒【.,.】?,】,说明么既存在模糊性,又存在未知性,而模糊 熵应同时包含这两者因素的共同作用,而若按文献】中构造方法,只要 口。。,则有,这说明该方法未能充分考察未知性对熵值的影响, 也即忽略了未知度对熵值的贡献,从而说明本文的构造方法更加合理。 .区间直觉模糊集之间的相似性测度 相似性测度是用来评估两个对象之间的相似性。目前,有关区间直觉模糊集 相似性测度以及它与模糊熵之间关系的研究还较为少见,文献,提出了区间 直觉模糊集相似性测度方法,文献均提出区间直觉模糊集相似性测度方法 以及与熵的关系。本小节将探讨区间直觉模糊集之间相似性测度的新方法, 并导 出其与定义.所定义的区间直觉模糊熵之间的关系。 ..区间直觉模糊集相似性测度函数的定义 定义.文献设,雪?,若函数: ,,满足以下条件: ?一,雪?; ’,雪:,当且仅当西时成立; “,西~,匀; 若存在?,且有?雪 ,则有: ,?,雪 ,?台, 则称,秀是区间直觉模糊集,豆的相似性测度函数。 ..区间直觉模糊集相似性测度函数的构造第三章区间直觉模糊熵及相似性 测度函数构造的新方法 文献】中给出了直觉模糊集的海明距呙公式,并阐述了用距禹来评估直觉 模糊集相似性的方法,本文受到这种思想的启发,提出按以下方法给出一种 新的 区间直觉模糊集相似性测度函数。 设区间直觉模糊集匀,雪?,其中 ,? 彳‖三,,‖三一,,,誓 ,? 三’喜,吒,;】 且令: ,‖‘一‖;誓‖;‘一;誓 口,一;‘ ;,一‖豆., , 一,、,誓一、,;誓 ’,誓一;,、,誓一;誓 并构造以下区间直觉模糊集: 露水?掣,掣?半,拦掣‘叫 拍掣,半,学,掣州 根据式,有: 砌丢喜坐学 “’ 一 :三一三×三兰薯一 鲁、 砸去喜坐半 、。 ‘ :三一三×三窆一誓。、 按照海明距离的意义,两个区间直觉模糊数的海明距离表示隶属度区间的相 离度与非隶属度区间的相离度的和,但在实际应用中有些情况则偏重于考察 隶属 度的相离度,而有些情况却刚好相反,因此,本文为了平衡这两种情况,这里 引 入相离度的权重系数,如,且,,如,并提出两个区间直觉模糊 集,台之间相似性测度函数: . “,雪,厨一 其中,九,几分别表示隶属度区间的相离度与非隶属度区间的相离度权重, 第三章区间直茎堡塑塑垦塑型竺型垦里鏊塑堕塑堑查鲨一?? 下面证明式.满足定义.。 证明: 彳,雪:九?九庸一 击喜木邯似 羚户帆 去轨?哺冲和『 九幸、,薯.,一一;誓】 不妨设: ,‖。一?;薯‖一肛;薯, .一’,;一、,誓一;一因为三薯?,, ,?,,且,九,九,所以: 卑 誓九木工薯?【,】? 也即【,云?,】; 若,雪,则必有 水.九唪? 由上式可知: . 所以: ‖。一肛;誓.“一;誓, 肖.,;一、,;薯? 也即 【,,,】【;,,;薯】, 眄『,,;誓】;一,;薯】? 所以有: 匀:秀: 若雪,则显然有: ,; 由式子的结构可知,,秀,五是显然的; 第三章区间直觉模糊熵及相似性测度函数构造的新方法 若 ?,则: ‖薯?‖;薯?‖;誓,誓?;?丢一 【肛,?肛;,?;,誓?;誓?誓 所以有: 薯一‖;薯? 一一‖;誓,、,薯一’,;誓?’,薯一、,; ?一?;,?‖一一?;一,、,誓一’,;?一’,;誓 所以有: 薯一肛;薯 九术‖誓一‖;誓 疋宰’,一;誓、,誓一;一? 术 誓一肛;‖誓一:‘ 誓一;誓 如木’,‘一、,;‘ 所以匀,?匀,西; 同理可证,,?台,。 容易证明,若石,雪退化为直觉模糊集,式.也是有效的。 .应用举例 为了作对比,本文引用文献中例.的数据,同时参照例.的决策方 法进行决策,以反映区间直觉模糊熵的构造不同而引起的决策结果的差异, 最后 对决策结果进行分析。 例:对于某一区间直觉模糊环境下的多属性决策问题,现在有个可供选 择的方案,且有个与方案评估有关的属性,假设方案集和属性集分别由 ,:?.,和。,五,...,表示,并且用,?:,...,吡表示属性 集的权重向量,其中,哆?,,,,..??:。哆,;案满足属性,的 情况用测度值;扩%,%,白,办表示,其中区间/,%表示方案满足属性 ,的程度,区间护噍表示方案不满足属性,的程度,专家对每个方案关于 每个属性进行评估后得出的决策矩阵天如下所示:第三章 区间直觉模糊熵 及相似性测度函数构造的新方法 弓,。。 【.,.】,.,.,.,.】,.,.】,.,.】,.,.】, 【.,.】 .,.】 .,. .,.】 .,. .,.】 【.,.】,【.,.】,.,.】,.,.,.,.】,.,., .,.】 .,.】 .,. .,.】 .,. .,.】 【.,.,【.,.】,.,.】,.,.,.,.,.,.】, .,. 【.,.】 .,.】 .,.】 .,. .,. 【.,.,【.,.】,.,.】,.,.】,【.,.】,【.,.】, .,.】 .,.】 .,.】 .,. .,.】 .,.】 【.,.】,【.,.】,【.,.,【.,.】,.,.】,【.,.】, 【.,.】 【.,.】 .,.】 .,.】 【.,.】 .,.】 若属性权重向量?,:,...,未知,则先利用式.计算熵值后再 导出权重: 步骤一:计算各属性的熵值: 根据式,计算得到各属性的熵值弓,.,,,...,如下: .,易.,弓., .,乓.,.. 步骤二:根据属性熵值越大,权重应越小的原则,利用下式导出属性权重: 一 . ,,,?, ?一弓 , 解得?.,.,.,.,.,.. 步骤三:下面根据文献中的方法选择正负理想方案分别用,一 表示并利用本文式.展开式的加权形式这里取 九.: 硇斗去善哆?.木嵋一心圳‖八一?四 .木 一;誓 ;薯一;一 分别计算各方案与正负理想方案的相似性: ,.,,., ,.,,., ,.,,一., 第三章区间直觉模糊熵及相似性测度函数构造的新方法 ,一.,,一., ,一.,,一.. 步骤四:按照文献】中的方法计算各方案的贴近度,,,...,: .,.,., .,.. 步骤五:按照步骤四的结果对方案进行排序,贴近度越大,方案越优: 鸣 也即,最优方案为,但该排序与文献】存在差异。 若属性权重向量,?,...,已知,这里取文献中的权重向量 ?.,.,.,.,.,.,则直接代入中的步骤三求解各 相似度值,再按照中的步骤四计算求得: .,.,., .,.. 最后对方案进行排序得: 该排序与文献中的排序完全一致。 以上分别讨论了权重未知与己知情况下的决策结果,我们可以看出,当属性 权重未知时,我们用本文中区间直觉模糊熵函数导出属性权重后再进行决策得出 的排序结果与文献【中的有所差异,这是由于本文中区间直觉模糊熵的计算方 法与文献中的不同,导至计算得出的属性权重不同引起的。而若直接采用文 献】导出的权重向量,然后用本文中的相似性测度函数进行决策时,可以发现, 决策结果的排序与文献】是一致的,由此可以说明,本文中的区间直觉模糊熵 与文献中所定义的具有本质的不同,同时也说明本文中的相似性测度方法是 可行的。 .本章小结 当前关于区间直觉模糊熵的相关研究文献较为少见,本文对文献中的区 间直觉模糊熵的定义进行了一定程度的修正,并在此基础上提出一种更加符合直第三章区间直觉模糊熵及相似性测度函数构造的新方法 觉的区间直觉模糊熵的构造方法,通过该方法所构造的模糊熵充分包含了未知性 与模糊性的影响,并通过算例分析,说明该方法的合理性与有效性。同时,在模 糊熵的基础上,提出一种含参的区间直觉模糊集相似度计算函数,并通过实例验 证该函数的有效性。 第四章基于区间直觉模糊权重熵的属性权重确定 第四章基于区间直觉模糊权重熵的属性权重确定 在多属性决策环境下,关于方案属性权重的求解是多属性决策问题研究的重 要内容。本文第三章在应用举例部分阐述过在属性权重完全未知时利用区间直觉 模糊熵导出方案属性权重的方法,但是若当属性权重信息不完全时,该方法则失 效。本章将基于区间直觉模糊熵的定义与构造方法,给出区间直觉模糊权重熵的 构造函数,并提出一种简化的在属性权重信息不完全时导出属性权重的方法,最 后通过引用文献,的相关实例进行实验并将实验结果进行对照,从而说明 文中所采用的基于区间直觉模糊权重熵导出权重方法的有效性。 .’区间直觉模糊权重熵 本小节首先提出区间直觉模糊数的熵函数的定义与构造方法,并在此基础上 提出区间直觉模糊权重熵的构造方法。 ..单个区间直觉模糊数的熵函数的定义 文献【基于直觉模糊熵的定义提出单个直觉模糊数的熵函数定义,本文受 此启发,并基于本文第三章中区间直觉模糊熵的定义定义.提出如下单个 区间直觉模糊数的熵函数定义: 定义.设叩口,】,,】为区间直觉模糊集中的某一元素,称/专,】 为区间直觉模糊数的熵函数,则它必须满足以下所有条件: 条件:/当且仅当,,或者,; 条件:/当且仅当日,,【,: 条件:/彳; 条件:对区间直觉模糊模糊数卢,门,,,若满足一?,一?】 一一办,一?】,那么结论叩?卢当且仅当如下条件成立: ? ? ? ? 厂一 . 条件:对区间直觉模糊模糊数卢,门,,,当?,厂?时,有第四章基于区间直觉 模糊权重熵的属性权重确定 口?,?厂,?,?,或者当?,?时,有口?,?厂,?,?,则 /?卢。 ..单个区间直觉模糊数的熵函数的构造 基于定义.,本文提出如下单个区间直觉模糊数口,,,】的熵函数 : ,】的构造形式: . 咖丁一半 由于单个区间直觉模糊数可以看成是区间直觉模糊集的特例情况也即一个 区间直觉模糊集中只有一个元素的情况,因此,式.的证明方式显然与本 文第三章中关于区间直觉模糊熵函数的证明方式是一样的,这里将不再赘 述。 ..区间直觉模糊权重熵的构造 从式.的结构可以看出,该式求的熵值是模糊集的平均熵,也即,对于 模糊集中的每个元素?对整个模糊集熵的贡献是一样的从式.的系数 /刀可以体现。然而,在现实问题中,特别是在多属性决策问题上,往往不同 的属性在决策过程中的作用以及所体现的重要性有所不同,这可以体现为一 个模 糊集中,不同元素的权重的差异性。基于以上分析,本文给出区间直觉模糊权 重 熵的构造方法: 推论.设有区间直觉模糊集五反,,应:,...,反。?,且令中各元 素的权重向量为?,,...,魄,划?,,,,...,胛,?。,则区间 直觉模糊集五的权重熵函数?:,构造如下: . 岛匀?:。仅, .基于区间直觉模糊权重熵的属性权重导出方法 本节根据区间直觉模糊权重熵的特性,给出多属性决策环境下导出属性权重 第四章基于区间直觉模糊权重熵的属性权重确定 的理论分析并建立起相关的数学模型。 ..理论依据 在区间直觉模糊多属性决策环境中这里基于第二章.小节所定义的决策 模型进行描述,对于给定的区间模糊决策矩阵克露。。,由于每个属性在决策 中的评价指标有差异比如属性值会受到专家个人偏好,属性本身的重要性等 因 素影响,因此,各属性权重往往也应该相应的具有一定的差异性,这种差异性 可以直接影响方案的权重熵。若对于某方案彳‖,,...,聊,它在各属性下的 评 估值构成一个决策向量用一个区间直觉模糊集丑表示,若属性权重向量设为 ?,?:,咄?,‰,其中 ,】,,,...,聆,?:,这里的属性权重向 量可以是不完全的,则方案的权重熵%互?:。弓/,,...,玎。根 据熵的特性,如果方案的权重熵越大,说明该方案的不确定性就越大,而从权重 熵的构造函数看,原则上可以通过调整属性权重的方法使方案的权重熵相应减小 也即让对决策结果起更大影响的属性权重变大,而对决策结果影响作用不大的 属性权重相应减小,从而使得方案的评估结果排序越清晰。因此,理论上可以 通过降低权重熵的值来加大各方案优劣的区分度,从这个角度而言,完全可以通 过以最小化方案的权重熵为目标来导出各属性的权重值。 ..模型建立 基于以上小节的分析,若对于方案集,,...,聊,区间直觉模糊决策矩 阵为露?,对应方案的属性评价向量分别用模糊集互扛,,...,聊表示,属 性权重向量为?,吐,?,魄,其中哆?,】,,,...,,,?:。?,,且属 性权重向量的其他条件限制用心表示,则各方案对应的权重熵%计算如 下: . 岛互?:。弓扛?..,;,,...,刀 由于每个方案之间是公平竞争的,因此可以建立如下线性规划模型: