求数列通项公式方法总结(附答案)求数列通项公式的常用方法：
1、公式法
2、
3、求差（商）法
解：
［练习］
4、叠乘法
解：
5、等差型递推公式
［练习］
6、等比型递推公式
［练习］
7、倒数法
2．数列求和问题的方法
（1）、应用公式法
等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。
1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2
（2）、分解转化法
对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。
【例9】求和S=1·（...
求数列通项公式的常用方法：
1、公式法
2、
3、求差（商）法
解：
［练习］
4、叠乘法
解：
5、等差型递推公式
［练习］
6、等比型递推公式
［练习］
7、倒数法
2．数列求和问题的方法
（1）、应用公式法
等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。
1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2
（2）、分解转化法
对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。
【例9】求和S=1·（n2-1）+ 2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）
解 S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3）
（3）、倒序相加法
适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。
例10、求和：
例10、解
∴ Sn=3n·2n-1
（4）、错位相减法
如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．
例11、 求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．
解 设Sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1． ①
(2)x=0时，Sn=1．
(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，②
①-②，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn．
(5)裂项法：
把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。
常见裂项方法：
例12、求和
注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。
在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。
求通项公式
（1）观察法。（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数）
例1、 已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。
例1、解 ∵an+1-an=2为常数 ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列
∴an=1+2（n-1） 即an=2n-1
例2、已知
满足
，而
，求
=？
（2）递推式为an+1=an+f（n）
例3、已知
中
，
，求
.
解： 由已知可知
令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
l 说明 只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。
(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）
例4、
中，
，对于n＞1（n∈N）有
，求
.
解法一： 由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）
因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4
∴an+1-an=4·3n-1 ∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3n-1 即 an=2·3n-1-1
解法二： 上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2，
把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1
(4)递推式为an+1=p an+q n（p，q为常数）
由上题的解法，得：
∴
(5)递推式为
思路：设
,可以变形为：
，
想
于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。
求
。
(6)递推式为Sn与an的关系式
关系；（2）试用n表示an。
∴
∴
∴
上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。
∴2nan= 2+（n-1）·2=2n
等差数列前
项和的最值问题：
1、若等差数列
的首项
，公差
，则前
项和
有最大值。
（ⅰ）若已知通项
，则
最大
；
（ⅱ）若已知
，则当
取最靠近
的非零自然数时
最大；
2、若等差数列
的首项
，公差
，则前
项和
有最小值
（ⅰ）若已知通项
，则
最小
；
（ⅱ）若已知
，则当
取最靠近
的非零自然数时
最小。
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