关于Hom函子与Tensor函子的投射盖

关于Hom函子与Tensor函子的投射盖 2006年5月 第29卷第3期 四川师范大学(自然科学版) JournalofSichuanNormalUniversity(NaturalScience) May,2006 V01.29.No.3 关于Hom函子与Tensor函子的投射盖 陈幼华,王芳贵,尹华玉 (四川师范大学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 与软件科学学院,四川成都610066) 摘要:设R,是交换环,P是有限生成投射R.模,肼,是R.T双模,得到了若肘是的T.投射盖,则 HomR(P,M)是Horn^(P,X)的T一投射盖;而当r是R?代数时,则POM是POX的T一投射盖.作为所得 结果的应用,对半完全环与完全环进行了新的刻画.特别地, 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 了若:P一是R一模同态,且(0P,0 )是0的投射盖,则(P,)是的投射盖. 关键词:双模;投射模;忠实平坦模;多余子模;投射盖 中圈分类号:0153.3;0154文献标识码:A文章编号:1001.8395(2006)03-0264-04 0引言 本文所提到的环R与都是具有单位元的交换 环,所涉及的投射模都是非零的. 设肘是R一模,?是肘的子模.如果对肘的子模 ,由?+U=M能推出U=M,则N叫做肘的多余 子模.设:P是满同态,其中P是投射R一模.如 果ker(~p)是P的多余子模,则(P,)称为肘的投 射盖.设R是环,M是R一模,如果肘无极大子模,规 定.,(M)=肘;否则,规定.,(M)=n{AIA是肘的 所有极大子模},则.,(肘)称为模肘的Jacboson根. 在环论与模论中,投射盖是一个重要的研究工 具与研究对象.利用投射盖的定义,人们刻画了半 完全环与完全环,并在这一领域取得了相当丰富的 研究成果.而模的Jacboson根与多余子模又是研究 投射盖的有力工具.本文利用模的Jaeboson根与有 限生成投射模的一些结论对文[1]的推论17.12进 行了推广,证明了若R,是环,P是有限生成投射 R一模,是R—T双模且为投射T.模,A是的理想, 则有AHomR(P,M)=HomR(P,AM),从而 .,(Hom(P,M))=Hom(P,J(M)).众所周知,若 (P,)是的投射盖,其中P,Mi是R一模,i=1, nnn … ,则(?P,@)是@的投射盖雎.本文证 明了该结论的逆是成立的,即,设:P是R一 模同态,若(?P,?)是?的投射盖,则对任 意i,(Pi,)是肘i的投射盖.对于Hom函子与 Tensor函子的投射盖问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,本文对此进行了研究, 并利用其结论对半完全环与完全环进行了新的刻 画,证明了R是半完全环当且仅当对任意有限生成 投射R一模P及任意有限生成R.模X,Hom(P,X) 有形如Hom(P,M)的投射盖,当且仅当对任意有 限生成投射R一模P及任意有限生成R一模X,PoX 有形如POM的投射盖;而R是完全环当且仅当对 任意有限生成投射R一模P及任意R.模, Hom(P,X)有形如Hom(P,M)的投射盖,当且仅 当对任意有限生成投射R一模P及任意R一模X,Po 有形如PoM的投射盖. 1预备知识 下面的引理1.1至引理1.8可参见文献[14]. 引理1.1设R是环,P是投射R一模,则有 J(P)=.,(R)P. 引理1.2设R是环,(P,)是的投射盖, nnn i=l,…,凡,则(?P,(王》)是(王》的投射盖 引理1.3设R是环,厂.肘?是满同态,且 ker(f)是肘的多余予设:P肘是R-模同态,则 (P,)是M的投射盖当且仅当(P如)是N的投射盖 引理1.4设R是环,(P是肘的投射盖,Q 是投射模,且:Q肘是满同态.则Q有直和分解 Q=Q?Q,使得(Q,IQ1)是的投射盖.此外, 如果g:M,是同构,(P,)是的投射盖, 收稿日期:2005-09-01 基金项目:国家自然科学基金(10271052)和四川省应用基础研究基金资助项目 联系作者简介:王芳贵(1955.),男,教授 第3期陈幼华等:关于Horn函子与Tensor函子的投射盖265 (P2,)是的投射盖,则存在一个同构h:P一 P2,使得2h=g1. 引理1.5设,是环,P是R一模,是R-T双 模,是T.模,则有自然同态 :PHomr(M,X)一Homr(HomR(P,M),X), 其中 0(口.(g)=g(口)),口?P, fEHomr(M,X),gEHomR(P,M), 若P是有限生成投射R一模,则0是同构. 引理1.6设,是环,P是R一模,是R—T双 模,是T一模,则有自然同态 :HomR(P,M)X-?HornR(P,MX), 其中 o(fo)(口)=n)o, fEHomR(P,M),EX,口EP, 若P是有限生成投射R一模,则0是同构. 引理1.7设,是环,P是有限生成投射R. 模,是R-T双模,是T.模则对任何n?l,有 PExtr(M,X)兰Extr(HomR(P,M),). 引理1.8设是环,则P是有限生成投射R一 模当且仅当存在R.模P及有限生成自由R一模F, 使得FPoP. 定义1.9_5设是环,P是平坦R一模,如果由 PO=0能推出X=0,则称P是忠实平坦模. 注设F是非零的自由模,若F0=(o) OX兰oX=0,则必有X=0.于是非零的自由模 是忠实平坦模.显然,有限 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现平坦模就是有限生 成投射模. 命题1.10设,是环,P是有限表现忠实平 坦R一模,是R.T双模.若Hom(P,M)是投射T. 模,则也是投射T.模. 证明对任何模与任何n?l,由于 Hom(P,M)是投射T一模,因此由引理1.7有 PExt~(M,X)兰Extr(HomR(P,M),X)=0. 又由于P是忠实平坦R一模,故有Extr(M,X)=0, 因此也是投射T.模. 2Hom函子与Tensor函子的投射盖 命题2.1设,是环,P是有限生成投射R一 模,是R.T双模,则 (1)若是投射T.模,则Hom(P,M)也是投 射T一模; (2)若是自反T一模J,则Hom(P,M)也是 自反T.模. 证明(1)由引理1.8,存在R一模P及有限生成 自由R-模F=R,使得R兰P?P由文[3]有 HomR(R,M)兰HomR(PoP,M)兰 HomR(P,M)oHornR(P,M). 由于HomR(,M)兰M是投射T-模,故HornR(P, )也是投射T.模. (2)由引理1.5与文[3],有 HomR(P,M)一= Homr(Homr(HomR(P,M),T),T)兰 Hornr(PHomr(M,T),T)兰 HomR(P,Homr(Hornr(,),))= HomR(P,M一)兰HomR(P,M). 由命题1.10与命题2.1,能够得到如下两个推论. 推论2.2设,是环,P是有限表现忠实平 坦R.模,是R—T双模.则是投射T.模当且仅当 Hom(P,M)是投射T.模. 推论2.3设是环,P与都是R.模.若P 是有限表现忠实平坦模,则是投射模当且仅当 Hom(P,M)是投射模. 设,是环,P是R一模,是R—T双模,A是 的理想.由于Hom(P,AM)一Hom(P,M)是单同 态,故可以自然地把Hom(P,AM)看成为 Horn(P,)的子模. 命题2.4设,是环,P是有限生成投射R- 模,是R—T双模且为投射T.模.若A是的理想, 则有 AHomR(P,M)=HomR(P,AM), 从而 ,(Hom(P,M))=Hom(P,J(M)). 证明设 = ?,?AHomR(P,), 其中tiEAEHomR(P,M).对任何?P,有 ()=(?tZ)()=?,()?AM. 因此EHomR(P,A),故有AHomR(P,M) Horn(P,AM).由命题2.1,Hom月(P,M)是投射T.模 显然,nomR(P,M)也是平坦T_模由文[1]有 四川师范大学(自然科学版)29卷 HomR(P,M)OA兰AHomR(P,). 同理,由M是投射T.模,仍由文[1]有OA兰A 又P是有限生成投射R-模,因此由引理1.6可以得到 下面的交换图: HomR(P,M)OAAHomR(P,M) ll HomR(P,MOA)HomR(P,A) 于是不难得出0是同构,从而有 AHomR(P,M)=HomR(P,AM). 由引理1.1,有 J(Hom(P,M))=J(T)Hom(P,M)= Hom(P,J())=Hom(P,J(M)). 定理2.5设尺是环,:P—是R-模同 态,其中=1,…,/7,,…若(?P,?.)是?的 投射盖,则(P.,)是的投射盖. 证明由于(?P.,?)是?的投射盖, 故有P是投射模,且.是满同态.于是只需证明 ker()是P的多余子模即可.设+U=P,其 中Ki=ker(),.是P的子模.由于 ?P=?(+.)=(?)+(?.), 且?是?P的多余子模,故有?U=OP..由 于P,故有U=P,因此ker()=K是P的 多余子模. 定理2.6设尺,是环,P是有限生成投射R- 模,M,是R-T双模.若是的T.投射盖,则 Horn(P,M)是Hom(P,X)的T-投射盖. 证明设P=R,则HomR(P,M)兰是 的T一投射盖.又Hom(P,X)兰X",故Hom(P,M) 是Hom(P,)的T.投射盖. 现设P是有限生成投射R一模,则存在R.模P 及有限生成自由R.模F,使得F兰P?P.于是 HornR(F,M)兰HomR(P,M)?HomR(P,M) 是 HomR(F,)兰HomR(P,X)?HomR(P,X) 的投射盖由于M——O是T.投射盖且与是 R-T双模,故此短正合列也是R.正合列,因此有同态 HomR(P,M)_HomR(P,X)_0 与 HomR(P,M)_HomR(P,X)_十0. 由定理2.5有Hom(P,M)是Horn(P,X)的T-投 射盖. 推论2.7设尺,是环,P是有限生成投射R- 模,,是R.T双模,其中=1,…,n.若是 的T-投射盖,则(壬》Hom(P,M)与Horn(P,? )都是(壬jHom(P,Xi)(或Hom(P,?X))的 T-投射盖. 证明由引理1.2,引理1.3,引理1.4与定理 2.6即得. 推论2.8设尺,是环,M,Q与是R-T双模, 且是投射T.模,:M—是满同态,Q是的T- 投射盖.若P是有限生成投射R.模,则Hom(P, )有直和分解 HomR(P,M)=HomR(P,M1)?HomR(P,M2), 使得HomR(P,M1)是Hom(P,X)的T.投射盖 证明由引理1.4与定理2.6即得. 定理2.9设尺是环,是R.代数,P是有限生 成投射R.模,,是R.T双模.若是的T.投射 盖,则PM是PX的T-投射盖. 证明设P=R",则PM兰M"是的T- 投射盖?又P兰,故PM是P的T-投 射盖.现设P是有限生成投射R-模,则存在R.模P 及有限生成自由R一模F,使得F兰P?P.于是 FM兰(P)?(P) 是 F兰(P)?(P) 的投射盖由于——O是T.投射盖且与是 R-T双模,故此短正合列也是R.正合列,因此有同态 P—P—o 与 PM-_+Px-_+Q? 由定理2.5,有PM是PX的T一投射盖. 推论2.10设尺是环,是R.代数,P是有限生 成投射R.模,是有限生成投射T.模,其中i=1, … 若.是R-T双模置的T-投射盖,则@(P )与P()都是固(P置)(或P(9 置))的T.投射盖. 证明由引理1.2,引理1.3,引理1.4与定理 第3期陈幼华等:关于Hom函子与Tensor函子的投射盖267 2.9即得. 推论2.11设尺是环,是R.代数,M,Q与 是R.T双模,且M是投射T.模,:M是满同态, Q是的T一投射盖.设P是有限生成投射R.模,则 PoM有直和分解 PM=(PM-)?(P), 使得PM.是POX的T一投射盖. 证明由引理1.4与定理2.9即得. 3半完全环与完全环的新刻画 众所周知,尺是半完全环当且仅当每个有限生 成R.模有投射盖,而是完全环当且仅当每个R. 模有投射盖.通过对Hom函子与Tensor函子的投射 盖的研究,可以得到如下两个定理. 定理3.1设尺是环,则以下各条等价: (1)尺是半完全环; (2)对任意有限生成投射R-模P及任意有限生成 R-模X,HomR(P,X)有形如HomR(P,M)的投射盖; (3)对任意有限生成投射R.模P及任意有限 生成R一模X,PX有形如PM的投射盖. 证明(1)==>(2)设尺是半完全环,则存在投 射R.模M,使得是的投射盖.由定理2.6, Horn(P,M)是Hom(P,X)的投射盖. (2)==>(1)令P=R即得. (1)甘(3)类似于(1)甘(2)的证明. 定理3.2设尺是环,则以下各条等价: (1)尺是完全环; (2)对任意有限生成投射R.模P及任意R一模 X,Hom(P,X)有形如Hom(P,M)的投射盖; (3)对任意有限生成投射R一模P及任意R一模 X,POX有形如POM的投射盖. 证明类似于定理3.1的证明. 参考文献 [1]AndersonFW,FullerKR.RingsandCategoriesofModules[M].NewYork:Springer-Vedag,1992. [2]KaschF.ModulesandRings[M].London:AcademicPress,1982. [3]RotmanJJ.AnIntroductiontoHomologicalalgebra[M].NewYork:AcademicPress,1979. [4]冯克勤.交换代数基础[M].北京:高等教育出版社,1985. [5]IshikawaT.Faithfullyexactfunctorsandtheirapplicationstoprojectivemodulesandinjeetivemodules[J].NagoyaMathJ,1964, 24:29-42. [6]王芳贵.PVMD与自反模[J].四川师范大学:自然科学版,2005,28(4):379-385. ProjectiveCoversonHomFunctorsandTensorFunctors CHENYou-hua,WANGFang—gui,YINHua-yu (CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan) Abstract:LetRandTbecommutativetings.LetPbeafinitelygeneratedprojectiveR-module,MandTR—T-bimodules.Thispa. pershowsthatifMisaT-projectivecoverofX,thenHomR(P,M)isaT-projectivecoverofHomR(P,X).Furthermore,ifTisanR. algebra,thenPMisaT— projectivecoverofP@X.Asapplicationsoftheobtainedresults,somenewcharacterizations ofsemiperfect ringsandperfectringsaregiven.Particularly,itisprovedthatif:MareR— homomorphismsandif(P.,)isaprice' tivecoverofoM.,then(Pj,)isapmjectivecoverofM'foreachi. Keywords:Bimodule;Pr~ectivemodule;Faithfullyflatmodule;Superfluoussubmodule;Projectivecover 2000MSC:13C10;13D07 , (编辑刘刚)