向量的坐标运算

向量的坐标运算 向量的坐标运算 1、平面向量的基本定理及坐标运算 (,) 平面向量的基本定理 ee,如果是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任意向量，有且只有一a12 aee=+llll,ee,对实数，使得，其中叫做这个平面内所有向量的一组基底。 12112212 ee,[例] (1)如果是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( )。 a12 ll==0ll,llee+=0A( 若实数使，则 121222 aee=+llll, 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为，这里是实数 B( 空间任一向量a1222 ll,llee+C( 对实数，向量不一定在平面内。 a2122 aee=+llll,D( 对平面内任一向量,的实数有无数对 a1222 ee=-=(1,2),(5,7)ee==(3,5),(6,10)(2)下列各组向量中?;?, 1212 13?，有一组能作为表示他们所在平面内所有向量的基底，正确的ee=-=-(2,3),(,)1224 判断是( ) A(? B. ?? C . ?? D. ??? ee,[解](1)平面向量的基本定理指:如果是同一平面内两个不共线向量，那么对这个平12 aee=+llll,ee,面内任一向量，有且只有一对实数，使，注意，基底是该平面内a21212 一对不共线向量。选A。 ee=2ee=4ee,(2)?中，?中，故??中共线，不能作为表示它们所在平面内所121212有向量的基底，故选A。 (,) 向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一 xy,个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得。 aaxiyj=+ (x，y)叫做向量axy=(,)a的(直角)坐标，记作。 (,) 平面向量的坐标运算 axybxy==(,),(,)abxxyy+=++(,) 已知，则; 11221212 abxxyy-=--(,) 1212 lllaxy=(,) 11 [例] 已知A(,2，4)，B(3，,1)，C(,3，,4)且，求M，CMCACNCB==3,2N的坐标和。 MN CMCA=3,[分析] 由A，B，C的坐标可求出,的坐标，设M(x，y)，由，可求出CACB M的坐标。 [解] A(,2，4)，B(3，,1)，C(,3，,4) \==CACB(1,8),(6,3) \===CMCA33(1,8)(3,24),CNCB===22(6,3)(12,6)设M(x，y)，则 CMxy=++(3,4) ììx+=33x=0ïïïï因此，得 ííïïy+=424y=20ïïîî \M(0,20) 同理可得N(9，2)。 \=--=-MN(90,220)(9,18) 练习题: 1、下列向量组中，能作为表示他们所在平面内所有向量的基底的是() ee==-(0,0),(1,2)A( 12 ee=-=(1,2),(5,7)B( 12 ee==(3,5),(6,10)C. 12 13D. ee=-=-(2,3),(,)1224 12、已知M(3，,2)，N(,5，,1)，且，则P点的坐标为( ) MPMN=2 23A((-8,1) B.(-1, ) C.(1, ) D.(8,-1) -23 3、设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴方向相同的两个单位向量，O为坐标原点， 2OAOB+若，则的坐标是()。 OAijOBij=+=+42,34 A((1,-2) B. (7,6) C. (5,0) D. (11,8) 4、若向量a,(1，1)，b,(1，,1)，c,(,1，2)，则c,()。 13133131A( B. C. D. ab-ab--+ab-+ab22222222 ABa=25、已知点A(1，,3)和向量a,(3，4)，若，则点B的坐标为______。 6、在中，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC和BC的DABC 中点，MN与AD交于F，求。 DF ABAC,7、已知A(1，,2)，B(2，1)，C(3，2)和D(,2，3)，试以为一组基底表 示。 ADBDCD++ 2、向量平行的充要条件 axybxy==(,),(,)abxyxy//0?=设，则， (0)b?11221221 [例] 三点共线的充要条件是() AxyBxyCxy(),(,),(,)1,12233 xyxy-=0A( 1221 xyxy-=0B. 1331 ()()()()xxyyxxyy--=--C. 21313121 ()()()()xxxxyyyy--=--D. 21312131 [解] ABxxyy=--(,)2121 ACxxyy=--(,)3131 ABAC// \-----=()()()()0xxyyxxyy 21313121 练习题: tana1、已知向量a,(3，4)，b,(sin,cosaa)且a//b，则=( ) 3344A( B C D --4343 31ab//2、设，且，则锐角a为( ) ab==(,sin),(cos,)aa23 A. B. C. D. 306045753、如果向量a=(k,1)，与b=(4,k)共线且方向相反，则k,() ?2A( B.-2 C.2 D.0 4、已知向量且ABC三点共线，则k=__________。 OAkOBOCk===-(,12),(4,5),(,10) AB=213AB5、已知点A(1，,2)，若向量与a,(2，3)同向，，则点B的坐标为 __________。 6、已知a,(1，2)，b,(,3，2)，当实数k取何值时ka+2b与2a-4b平行, 7、已知向量a,(1，2)，b,(x，1)，u=a+2b,v=2a-b，且u//v,求x。 8、若平行四边形三个顶点坐标是，则另一个顶点的坐标为___. A(1,2)-、B(3,7)、C(5,4) 3、向量的坐标运算与函数(包括三角函数)，解析几何的综合题。 [例1] 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)。若点C满足 ，其中且，则点C的轨迹方程为()。 ab+=1ab,ÎROCOAOB=+ab 22(1)(2)5xy-+-=A( B. 3x+2y-11=0 C. 2x-y=0 D. x+2y-5=0 [分析] 本题主要考查向量的基本概念，共线的向量的基础知识以及轨迹方程的求法。 [解] 由平面向量共线定理，当，时，A，B，C三点共线。 ab+=1OCOAOB=+ab yx--13因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程，即x+2y-5=0 =3113--- 选D。 \ BEACACCEEC//,,=BA[例2] 已知ABCD是正方形，的延长线交的延长线于F，用向量的坐标法证明AF,AE。 y ABF xO DC E [分析] 注意向量坐标法的应用，及平行的充要条件，欲证AF,AE，可建立坐标系，用向量的坐标运算证明AF=AE [证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形边长为1，则A、B坐标为(,1，1)，(0，1)。 若设E坐标为(x，y)， BExy=-(,1)则 BEAC//，又 AC=-(1,1) xy-1ACCE=且 \=11- 1313+-22\+=xy2, 由两式联合解得E点坐标为()。 22 (,1)x设F点坐标为，则 CFx=(,1)11 1313-+x-=0又与共线，于是有 CFCE122 则 x=--231 --23,1即F点的坐标为() 3313+--\=--=AFAE(13,0),(,) 22 \=+=\=AFAEAFAE13, 【点评】向量的坐标法是用向量证明几何问题的一种方法，它可将抽象的逻辑推理转化为单纯的向量的坐标运算，降低难度，易于接受，但建系要求适当，否则将带来繁琐的运算。 练习题: OB1、已知则的范围是()。 OAAB==(2,2),(2cos,2sin)qq 2,3222,22-+A( [6,10] B [] C [] D [2,6] 432、已知平面上直线l的方向向量e,()，点O(0，0)和A(1，,2)在l上的射-,55 A'影分别是OAe''=l，则，其中,()。 O'l 1111A( B C 2 D -2 -55 xoy3、在直角坐标系中，已知点A(0，1)和点B(,3，4)，若点C在角AOB的平分线 OC=2上且，则OC=__________。 4、平面内给定三个向量a,(3，2)，b,(,1，2)，c,(4，1)，回答下列问题: (,) 若(a+kc)//(2b-a)，求实数k; (,) 设d,(x，y)满足(d-c)//(a+b)且，求d。 dc-=1 OPOAtAB=+5、已知点O (0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，试问: (,) t为何值时，P在x轴上,在y轴上,P在第二象限, (,) 四边形OABP能否成为平行四边形,若能，求出相应的t值，请说明理由。 2p(cos,1),(sin,1)aa--=n6、已知向量m,，m与n为共线向量，且。 a?[,0]32(,) 求的值; sincosaa+ sin2a(,) 求值。 sincosaa-