2015年陕西省高考数学试卷（理科）
一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）（2015?陕西）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（ ）
A．
[0，1]
B．
（0，1]
C．
[0，1）
D．
（﹣∞，1]
2．（5分）（2015?陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A．
93
B．
123
C．
137
D．
167
3．（5分）（2015?陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（
x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．
5
B．
6
C．
8
D．
10
4．（5分）（2015?陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n=（ ）
A．
7
B．
6
C．
5
D．
4
5．（5分）（2015?陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的
表
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面积为（ ）
A．
3π
B．
4π
C．
2π+4
D．
3π+4
6．（5分）（2015?陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ）
A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件
C．
充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件
7．（5分）（2015?陕西）对任意向量
、
，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．
|
|≤|
||
|
B．
|
|≤||
|﹣|
||
C．
（
）2=|
|2
D．
（
）?（
）=
2﹣
2
8．（5分）（2015?陕西）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（ ）
A．
2
B．
4
C．
10
D．
28
9．（5分）（2015?陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（
），q=f（
），r=
（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（ ）
A．
q=r＜p
B．
p=r＜q
C．
q=r＞p
D．
p=r＞q
10．（5分）（2015?陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8
A．
12万元
B．
16万元
C．
17万元
D．
18万元
11．（5分）（2015?陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（ ）
A．
+
B．
+
C．
﹣
D．
﹣
12．（5分）（2015?陕西）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．
﹣1是f（x）的零点
B．
1是f（x）的极值点
C．
3是f（x）的极值
D．
点（2，8）在曲线y=f（x）上
二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）（2015?陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．
14．（5分）（2015?陕西）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p= ．
15．（5分）（2015?陕西）设曲线y=ex在点（0，1）处的切线与曲线y=
（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为 ．
16．（5分）（2015?陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
三、解答题，共5小题，共70分
17．（12分）（2015?陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量
=（a，
b）与
=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=
，b=2，求△ABC的面积．
18．（12分）（2015?陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=
，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．
19．（12分）（2015?陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
T（分钟）
25
30
35
40
频数（次）
20
30
40
10
（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；
（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
20．（12分）（2015?陕西）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为
c．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=
的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．
21．（12分）（2015?陕西）设fn（x）是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）证明：函数Fn（x）=fn（x）﹣2在（
，1）内有且仅有一个零点（记为xn），且xn=
+
x
；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn（x），比较fn（x）和gn（x）的大小，并加以证明．
四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）（2015?陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=
，求⊙O的直径．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．（2015?陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2
sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
六、选修4-5：不等式选讲
24．（2015?陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求
+
的最大值．
2015年陕西省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）
考点：
并集及其运算．菁优网版权所有
专题：
集合．
分析：
求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．
解答：
解：由M={x|x2=x}={0，1}，
N={x|lgx≤0}=（0，1]，
得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．
故选：A．
点评：
本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．
2．（5分）
考点：
收集数据的方法．菁优网版权所有
专题：
计算题；概率与统计．
分析：
利用百分比，可得该校女教师的人数．
解答：
解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为40×150%=60，
∴该校女教师的人数为77+60=137，
故选：C．
点评：
本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（5分）
考点：
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．
解答：
解：由题意可得当sin（
x+φ）取最小值﹣1时，
函数取最小值ymin=﹣3+k=2，解得k=5，
∴y=3sin（
x+φ）+5，
∴当当sin（
x+φ）取最大值1时，
函数取最大值ymax=3+5=8，
故选：C．
点评：
本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．
4．（5分）
考点：
二项式定理的应用．菁优网版权所有
专题：
二项式定理．
分析：
由题意可得
=
=15，解关于n的方程可得．
解答：
解：∵二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，
∴
=15，即
=15，解得n=6，
故选：B．
点评：
本题考查二项式定理，属基础题．
5．（5分）
考点：
由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．
解答：
解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是圆柱体的一半，
∴该几何体的表面积为
S几何体=π?12+π×1×2+2×2
=3π+4．
故选：D．
点评：
本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．
6．（5分）
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有
专题：
简易逻辑．
分析：
由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．
解答：
解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，
∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．
故选：A．
点评：
本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
7．（5分）
考点：
平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
专题：
平面向量及应用．
分析：
由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．
解答：
解：选项A正确，∵|
|=|
||
||cos＜
，
＞|，
又|cos＜
，
＞|≤1，∴|
|≤|
||
|恒成立；
选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|
|≥||
|﹣|
||；
选项C正确，由向量数量积的运算可得（
）2=|
|2；
选项D正确，由向量数量积的运算可得（
）?（
）=
2﹣
2．
故选：B
点评：
本题考查平面向量的数量积，属基础题．
8．（5分）
考点：
程序框图．菁优网版权所有
专题：
图表型；算法和程序框图．
分析：
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．
解答：
解：模拟执行程序框图，可得
x=2006，
x=2004
满足条件x≥0，x=2002
满足条件x≥0，x=2000
…
满足条件x≥0，x=0
满足条件x≥0，x=﹣2
不满足条件x≥0，y=10
输出y的值为10．
故选：C．
点评：
本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
9．（5分）
考点：
不等关系与不等式．菁优网版权所有
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
由题意可得p=
（lna+lnb），q=ln（
）≥ln（
）=p，r=
（lna+lnb），可得大小关系．
解答：
解：由题意可得若p=f（
）=ln（
）=
lnab=
（lna+lnb），
q=f（
）=ln（
）≥ln（
）=p，
r=
（f（a）+f（b））=
（lna+lnb），
∴p=r＜q，
故选：B
点评：
本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．
10．（5分）
浙公网安备 33021202002483