(重点)平面向量数量积公式的应用
平面向量数量积公式的应用
向量的数量积是我们学习向量中的一种新的运算，它是两个向量之间的乘法关系，它们
的积是数量，因此，数量积公式充分把向量与数结合在一起，为我们解题提供了一种新的思
维方式。下面谈谈数量积公式在解题中的应用。
一、解决平面几何问题:
1(长度问题
例1:设AC是平行四边形ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE、CF，垂
2F，如图所示，求证:。 足分别为E、AB,AE，AD,AF,AC
F
CD
AEB
2(垂直问题
例2:如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，
yPFCE是矩形，证明: 。 PA,EFBA
PE
DOxFC
3(夹角问题 y
例3:求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角。 A
E
OCxDB
二、解决三角问题:
1(证明一些公式: Y
A例4:对于任意实数，，求证:,,
a
。 cos(,，,),cos,cos,,sin,sin,
,B1,,O1AX
b
B
2(证明三角恒等式:
22例5:已知、为锐角，且，3sin,，2sin,,1,,5A6A,4A，求证:，2,。 3sin2,,2sin2,,0,,2
A73eA
1AA2
(求三角
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数值: 3
246,,,coscoscos，，例6:求值:。 777
4(解与三角形有关的问题:
3cosA，cosB,cos(A，B),例7:在锐角?ABC中，已知，求角C的值。 2
三、证明等式:
一般来说，等式的证明都要进行恒等运算，但应用向量的有关知识和运算，并且简单明
了。
xy22222ab,0,(x，y)(a，b),(ax，by)例8:设()，求证: ab
2222a1,b，b1,a,1例9:已知，求证:。 a，b,1
四、解方程:
解决一些特殊的方程时，也可以适用向量的方法解决。 例10:解方程:。 x，4x,1，4,x,4x
五、求函数的最值或值域:
某些条件最值如果按常规方法求不易入手，但是若能仔细观察题目条件和结论，恰当地
构造向量，则会使问题变得简单。
f(x),5x，6,x例11:求函数的最大值。
2222b,Ryx，y,9例12:已知，(，，，)，求ax，by的极值。 xaa，b,4
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