幂指函数极限和导数的计算方法
摘要:介绍了计算一元和多元幂指函数极限和导数的方法,旨在对幂指函数有更深的理解和掌握。
关键词:幂指函数;极限;导数;对数求导法
幂指函数是高等数学微积分学中一类特殊的函数,如何来计算幂指函数的极限和导数是一难点。本文介绍计算一元幂指函数的极限、导数和多元幂指函数的重极限、偏导数的方法,给出相应的求解思路和重要结论,供初学者参考学习。
一、一元幂指函数[y=uxvxux>0,ux≠1]
1.极限计算
命
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1:设[limux]=[A>0],[limvx]=[B],则[limuxvx]=[limevxlnux]=[elimvxlnux]=[elimvx?lnux]=[ eBlnA]=[AB]=[limuxlimvx]。
命题2:设[limux]=1,[limvx]=[∞],且[limvxux-1]=[A],则[limuxvx]=[eA]。
命题3:设[αx]和[βx]是同一自变量趋近过程的无穷小,且[limfx=1],[αx]~[α'x],[βx]~[β'x],若[limfx-1βx]=[A],[limα'x+11β'x]=[B],则[limαx+fx1βx]=[BeA]。
特别地,
当[limfx-1βx]=0时,[limαx+fx1βx]=[limα
'x+11β'x]。
2.导数计算
方法一:对数求导法。等式两边取对数,得[lny=vxlnux];等式两边对x求导,得
[y'y=v'xlnux+vxu'xux];
即[y'=v'xlnux+vxu'xuxuxvx]。
注1:使用对数求导法时注意函数的取值是否为正。
方法二:复合函数求导法。将y的
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
达式变形为[y=evxlnux]。由复合函数求导法则得,
[y'=vxlnux'evxlnux=v'xlnux+vxu'xuxuxvx]。
二、二元幂指函数[z=ux,yvx,yux,y>0,ux,y ≠1]
1.重极限计算
命题4:设[limu][x,y]=[A>0],[limv][x,y]=[B], [则limux,yvx,y=AB=limux,ylimvx,y]。
命题5:设[limu][x,y]=[1],[limv][x,y]=[∞],且[limv][x,y][ux,y-1]=[A],则[lim][ux,y][vx,y]=[eA]
2.偏导数计算
方法一:对数求导法。等式两边取对数,得
[lnz=vx,ylnux,y];
等式两边对x求偏导得,[1zδzδx=δvδxlnux, y+vx,yux,yδuδx];
即[δzδx=δvδxlnux,y+vx,yux,yδuδxux, yvx,y]。同理可求得[δzδy]。
方法二:二元复合函数求导法。将z的表达式变形为[z=evx,ylnux,y]。由二元复合函数求导法则得, [δzδx=evx,ylnux,yδvx,ylnux,yδx=δvδxlnux, y+vx,yux,yδuδxux,yvx,y]。同理可求得[δzδy]。
注2:对于三元幂指函数[u=ux,y,zvx,y,zux, y,z>0,ux,y,z≠1]类似可求得相关结论。
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学(
上册
三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf
)[M].北京:高等教育出版社,2014:103-104.
[2]张辉,敬斌,李应岐.一个幂指函数极限的计算方法探讨[J].数学学习与研究,2017:16.
[3]张辉,李应岐,陈春梅,敬斌.高等数学常见疑难问题解析[J].郑州师范教育,2014,3(4):69-71.
基金?目:陕西省教育厅专项科研计划项目(编号: 16JK1696)资助。
浙公网安备 33021202002483