【word】 用类比思想推导圆的面积计算公式

【word】 用类比思想推导圆的面积计算公式 用类比思想推导圆的面积计算公式 中 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 数学?小学版2011年第6期 用类比思想推导 圆的面积计算公式 浙江省杭州市萧山区教研室(311201)邵汉民 一 般地,我们把圆面积公式的推导过程定义为转 化的过程,即把圆通过切拼转化为近似的长方形,这种 转化思想的范型来自于平行四边形面积公式的推导. 但当全面回顾了长方形,平行四边形和三角形的面积 公式的推导之后发现,要把曲线图形圆转化为直线图 形是一件不可能完成的操作. 成书于汉代的《九章算术》第一章方田章,主要的 内容是讲述各种面积的计算.其中第32题就是求圆 田面积: 有圆田,周一百八十一步,径六十步三分步之一, 问为田几何? 答日:十一亩九十步十二分步之一 术日:半周半径相乘得积步. 《九章算术》中总结的求圆田面积公式与我们现在 的公式如出一辙,只不过这里的圆周率运用的是它的 近似值3.随着圆周率的精确度的提高,应用这个公 式所计算的面积的精确度也随之提高. 这个公式是如何推导的呢?《九章算术》中没有说 明.成书年代更早的一本古代天文算书《周髀算经》中 有这样一段话:”圆出于方,……”.”圆出于方”这一个 命题给了我们一个新的推导思路.(见图1) 圊 正二十四边形 圆 出一 正十二边形 于 方 正六边形 正方形 贼卿 . s=号xh s=皂×h S=„ 图1 图1中很清晰地表达了规律,从正方形到圆的所 一 5O一 霎 有正多边形的面积计算公式都可以归纳为”半周乘 高”.我们猜测《九章算术》中的”半周半径相乘得积 步”,可能就是通过这样一种类比的思路得到的.我们 以此为基本思路,展开了圆面积公式的推导. 1.回顾总结推导面积计算公式的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 . 回顾长方形,平行四边形和三角形这三种典型的 直线平面图形的推导过程,总结出用数方格和切拼转 化成已知面积公式的图形这两种方法. 2.用单位面积估测圆面积. 教师在两个圆上分别贴一个方格图(如图2),请 学生估计出大致值. ./,f? IJ „\/ 图2 用打方格来求圆的面积是一种最原始的方法,在 古埃及的《莱因得纸草书》中就有具体的介绍.它可以 比较精确地估计出圆的面积.用数方格的方法估计出 圆的面积,这一个思考过程,既是对原来方法的应用, 也为圆不可能直接转化成直线图形提供了形象的比 照,为进一步思考如何求圆的面积指明了方向:化曲为 直. 3.体验”圆出于方”. 教师首先用 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 演示,发现圆形喷水池的轮廓并 不圆这一现象: 图3 这时,教师用课件从下往上分别演示,其中当演 示到正二十四边形,已经是一个近似的圆了,这时教师 把正二十四边形放大,让学生观察到,原来它确实是一 个多边形.最后总结:”圆出于方”. “圆出于方”是古人对圆与正多形关系的一个认 中小学数学?小学版2011年第6期 识,也是对圆进行无限分割的前提.通过本教学环节, 让学生感受到”圆出于方”的变化过程.对推导圆面积 公式做足类比与推理的准备. 图4 4.推导圆面积计算公式. 从正方形开始逐步推导出求正多边形的通用公 式,再用无限类比法推导出圆面积公式.既体现了数 学的传承现象,也体现了数学创新的过程.下面是具 体的教学实录: (1)求正方形的面积,要知道什么? 生:正方形的边长. 教师用课件出示公式,并在课件中把正方形按对 角线分成四等分(四个直角三角形).师问:如果已知 一 个三角形的面积能够求吗? 生:可以,一个三角形的面积乘4. 教师继续演示:把四个三角形分成两个部分,再拼 成一个平行四边形.接着追问:现在你想知道什么就 可以求这个正方形的面积. 生:底和高 师追问:底和高分别是原来正方形中的什么? 生:两条边的和与其中一个三角形的高. 师追问:两条边的和刚好是原来周长的多少? 生:原来正方形周长的一半.(可能学生这里不能 想到,那么就由教师直接讲解) 教师在图中演示,并总结得:s=詈×h. 对上述教学过程,用课件形成图5. 正方形 S= 图5 师:如果要你选择求正方形的面积,你喜欢原来的 面积公式,还是现在的? 生:原来的.因为现在的太繁了. 师:是的,如果就是为了求正方形的面积,当然是 原来的公式简便,但是用原来的公式不能推导出求其 它几个图形的面积计算公式,但这一个公式却可以,你 信不信?让我们再往下看. 【意图:我们充分考虑了学生的认知心理,对于原 来的公式与现在的公式,当然是原来的公式更简捷了. 但是数学学习的过程中,为了求出更为一般化的通用 公式,往往要改变视角来考虑问题.这是一个很典型 的例子.因此,我们没有很生硬地进行说教,而是让学 生通过比较,首先认同原来的公式的优点,然后教师指 出推导现在公式的作用,为进一步学习提供了知识的 基础和心理的准备】 (2)推导求正六边形的面积计算公式. 师:能求正六边形的面积吗? 生:分一分. 师把正六边形分成六个同样大小的三角形,然后 用课件演示. 师:正六边形变成了什么? 生:平行四边形. 师:要求正六边形的面积,需要知道什么?怎样 求? 生:正六边形的边长和三角形的高.边长乘3再 乘商. 生:也就是s={×h. 这时屏幕上演示成图6. 正六边形 正方形 s=导 图6 (以上步骤视班级情况,如果班级学习能力较强 的,可让学生先独立思考,小组交流后再汇报) 【意图:通过这个环节的教学,让学生体会到求正 方形面积时第二个公式的威力.为后面的学习迁移打 好了基础】 (3)迁移得求正十二边形的面积计算公式. 教师指着正十二边形问:那么这个正十二边形的 面积可以怎么求? 生:正十二边形的周长的一半乘一个三角形的高. 教师直接用课件演示并进行验证. 一 5l一 中小学数学?小学版2011年第6期 这时演示成图7. 正十二边形 正六边形 正方形 S= s=争 图7 (这一步骤也可以由学生先交流,再反馈) 【意图:推导求正十二边形与正二十四边形的面积 公式,教师均让学生先说出公式,然后通过演示切拼的 过程来进行验证.这样做既让学生感受到类比思想的 威力,也为实现对圆面积公式的推导提供了想象的空 间】 (4)迁移得求正二十四边形的面积计算公式. 教学同正十二边形. (5)类比得圆面积计算公式. ,1 生:也可以是s=×h.二 师追问:为什么? 学生说可以把它切成许多小三角形,再拼成一个 平行四边形. 教师根据学生的回答演示最后得到图1. (6)推导出圆的面积计算公式. 观察了前述图形,可能会有学生自觉地发现:圆如 果再继续分,就可以变成一个长方形.如果没有学生 说,可以引导学生观察. 【意图:如果有学生自觉发现,那么这位学生的观 察能力十分强,在教师没有引导的情况下,通过图形观 察,发现了这一变化规律,十分了得.但这并不能代表 绝大部分学生的认知水平,因此,还是要继续引导学生 观察与想象,为得出圆面积计算公式做足准备,让计算 公式呼之欲出l 引导学生观察转化成平行四边形之后的变化情 况.师:请仔细观察,从正方形转化成的平行四边形到 用圆转化成的平行四边形相比,有什么变化规律? 生:越来越接近长方形了. 这时教师回到开头的回顾部分,又把学生带到了 推导公式初的时候,并问:你现在知道把圆怎样转化成 我们已知的图形了吗? 一 52一 s=曲 [=]+田 s= 二碉 s一出 一 教师根据 9. o 图8 学生的回答把圆的变化情况演示如图 图9 师:如果看成长方形,那么这里的高与圆的什么相 等? 生:与半径相等 师:那么圆的公式可以变成…… 生:=等×r.教师板书:S:×, 学生齐读一遍后问,教师拿出《中国数学史大系》 (《九章算术》卷)翻到事先夹着的第466页,读其中的 一 段话:”圆田术:半周乘半径.”在公式后面板书:半周 乘半径.并接着说:这是我们的祖先总结出的一个求 圆面积的公式.作为现代的你,对这个公式还想进行 怎样的改进?(如果学生前面已经有了S:7rr,则问 你能知道这两个公式的联系吗? 【意图:教师用古人在算术书的记载来总结前面推 导的成果,既体现了数学的传承现象,也为后面推导圆 面积公式打下了基础】 学生边回答教师边写出推导过程: s=C×r=×r:盯2 . 请学生再读一遍整个过程,然后再请学生读一遍, 要求只读可以成公式的部分. 正如弗赖登塔尔曾经指出的:”没有任何一种数学 思想,是以它被发现时的那个样子公开发表的.一个 问题被解决后,相应发展成为一种形式化的技巧,结果 就将真实的求解过程丢在一边,使得火热的发明变成 了冰冷的美丽.”如何让这一种”冰冷”的美丽在我们的 课堂上转变成”火热”的发明,需要我们数学教师”思接 千年”,通过数学史料的学习,更好地理解数学本质,丰 厚数学知识,寻找数学知识的现实源头与逻辑源头,引 导学生在数学的具体源头和抽象形式之间来回穿行, 领悟其间的数学思想方法.