现代控制理论的
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状态转移矩阵性质的证明
(二)状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质 1、性质一
(t) ( ) (t, ) AtA A(t, )ee e 这就是组合性质。
证明:,, (t) ( ) [(t, ), ] ( ),,,,,
(t, ) 证毕
另:左端: (t) ( ) (t,0) [0,(, )] 右端: (t, ) t,(, )
,, (t,0) 0,(, ) t,(, ) 即从, 转移到 t 等于 , 转移到0，再从0转移到 t的状态组合 反之， (t, ) (t) ( ) 或者
2、性质二
1
(t,t) I eA(t,t) I
证明:,,eA(t,t) 1,A(t,t),12A(t,t)2,2! I
(t,t) eA(
t,t) I
这里显然的，因为状态矢量从时刻t又转移回到时刻t，当然状态矢量不变。
3、性质三 (可逆性)
(t) (,t) At,1,At e e
,1
证明:,, (t) (,t) ========== (t,t) I ,,,, (,t) (t) ========== (,t,t) I 即 (t) (,t)=, (,t) (t) I
At,At e e根据逆矩阵的定义， ,,[ (t)],1
(,t) 或 ,1
4、性质四
& (t) A (t) (t)A dAtAtAte Ae e A
dt
有的
书
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，把本性质作为状态转移矩阵的定义给出，即如果矩阵满足& (t,t0) A (t,t0)， (0) I，称 (t,t0)为状态转移矩阵。 证明:,,eAt I,At,
,,122At,2!,1kkAt,k! dAt111e A,A2t,A3t2
2
,,Aktk,1,Ak,1tk,dt2!(k,1)!k! 111,,,,,,,,,,,,,, A(I,At,A2t2,,Ak,1tk,1,Aktk,2!(k,1)!k!,,,,,,,,,,,,,, AeAt)
dAt111e A,A2t,A3t2,,Aktk,1,Ak,1tk,dt2!(k,1)!k!111,,,,,,,,,,,,,, A,A
tA,A2t2 A,,Ak,1tk,1 A,Aktk A,2!(k,1)!k!
11,,,,,,,,,,,,,, (I,At,A2t2,,Aktk,)A2!k!
,,,,,,,,,,,,,, eAt A,, 5、性质五 (传递性)
(t2,t1) (t1,t0) (t2,t0)
证明: (t2,t1) (t1,t0) (t2)
(,t1) (t1) (,t0)
, (,t1) (t1) (,t1,t1) (t1,t1) I
,,原式 (t2) (0) (,t0), (t2) (,t0)
(t2,t0)
6、性质六
对于n n方阵A和B，当且仅当AB BA时，有eAteBt
3
e(A,B)t;而当AB BA
时，则eAteBt e(A,B)t。该性质表明，除非A和B矩阵是可交换的，否则它的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不相等(与标量函数不同)。
12213311At,At,)
(I,Bt,B2t2,B3t3,2!3!2!3! 11,,,,,,,,,,,,,,,, I ,At
,A2t2,A3t3,2!3!
11,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Bt,ABt2,A2Bt3,A3Bt4,2!3!
111224,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B2t2,
AB2t3,ABt,2!2!2!2!
111235,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B3t3,AB3t4,ABt,3!3!2!3!,,eAt eBt ( I,At,
I,(A,B)t,) 121(A,2AB,B2),(A3,3A2B,3AB3,B3
)t3, 2!3!
11而 e(A,B)
4
t I,(A,B)t,(A,B)2t2,(A,B)3t3, 2!3! 11 I,(A,B)t,(A,B)(A,B)
t2,(A,B)(A,B)(A,B)t3, 2!3!
11 I,(A,B)t,(A2,BA
,AB,B2)t2,(A2,BA,AB,B2)(A,B)t3, 2!3! 11 I,(A,B)t,(A2,BA,AB,B2)t2,(A3,BA2,ABA,B2A,A2B,BAB,AB2,B3)t3,2!3! 显然要使上面两式相等，当且仅当AB BA成立。
5
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