第2讲 Leslie矩阵模型

第2讲 Leslie矩阵模型 3.4 Leslie 矩阵模型 本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。 假设女性最大年龄为岁，分岁为个年龄区间: ssn (i,1)sis，，,t,,,i,1,2,？,n i,,nn，， ,tii年龄属于的女性称为第组，设第组女性人口数目为i Tx,(x,x,？,x)x(i,1,2,？,n)，称为女性人口年龄分布向量，考虑随x12ni st的变化情况，每隔年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化(即kn kst将时间离散化)。设初始时间为，tt时间的年龄分布向量为,，0k0n (k)(k)(k)(k)T，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口x,(x,x,？,x)12n 演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。 iai设第组女性的生殖率(已扣除女婴的死亡率)为(第组每位i ssa,0bi女性在年中平均生育的女婴数，)，存活率(第组女性在iinn ,1,b0,b,1a年仍活着的人数与原来人数之比，)，死亡率，假设，iiib在同一时间间隔内保持不变，这个数据可由人口统计资料获得。 i (k)xtt时第一组女性的总数是时各组女性(人数为1k,1k (k,1)x,i,1,2,？,n)所生育的女婴的总数，可以由下式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示: i (k)(k,1)(k,1)(k,1) x,ax，ax，？，ax11122nn s(k)xtt时第组()女性人数是时第i组女性经年存活i，1i,1i，1k,1kn下来的人数，可以由下式表示: (k)k,1 x,bx,i,1,2,？,n,1i，1ii 用矩阵将上两式表示为: kk,1aa？aa，，，，xx，，12n,1n11,,,,,,kk,1b0？00xx122,,,,,,kk,1,,,,,,, 0b？？？xx233,,,,,,？？？00,,,,,,kk,1,,,,,,000？bxxn,1，，nn，，，， 记: kaa？aa，，x，，12n,1n1,,,,kb0？00x12,,,,()kk,,,,L,x,，， 0b？？？x23,,,,？？？00,,,,k,,,,0？0b0xn,1，，n，， (k)k(0) 则有 x,Lx Lt称为Leslie矩阵，由上式可算出时间各年龄组人口总数、人口k 增长率以及各年龄组人口占总人口的百分比。 利用Leslie模型分析人口增长，发现观察时间充分长后人口增长 L率和年龄分布结构均趋于一个稳定状态，这与矩阵的特征值和特征向量有关。 ,L1矩阵有唯一的单重正特征值，对应的特征向量为: bb？bbbbTn12,1112,x(1,,,,)12n,1,,,111 ,LL1若是矩阵的正特征值，则的任一个(实的或者复的)特征值都满足: , ,,,1 LLa,a,0若矩阵的第一行有两个顺序元素，则的正特征值是ii，1 L严格优势特征值这种要求在人口模型中是能保证的，所以矩阵必有 严格优势特征值。 ,L1有严格优势特征值，对应特征向量为，则: 若矩阵x1 (k)x ,cx1limk,,,k1 t充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人这表明时间k n(k)(k)xx数占总数的百分比几乎等于特征向量x中相应分量占分量,ii1i,1 总和的百分比。 (k1)(k)，x,xiit,,1,,1同时充分大后，人口增长率趋于，或说时，k11(k)xi ,,1,,1人口递增;时，人口递减;时，人口总数稳定不变。 11 例1 加拿大人口数量预测问题 为了研究加拿大的人口年龄结构，对加拿大的人口进行数据统 计，1965年的统计资料如下表所示(由于大于50岁的妇女生育者极 少，故只讨论0~50岁之间的人口增长问题) 表1 加拿大人口统计数据 ab i年龄组 年龄区间 ii 1 [0,5) 0.00000 0.99651 2 [5,10) 0.00024 0.99820 3 [10,15) 0.05861 0.99802 4 [15,20) 0.28608 0.99729 5 [20,25) 0.44791 0.99694 6 [25,30) 0.36399 0.99621 7 [30,35) 0.22259 0.99460 8 [35,40) 0.10459 0.99184 9 [40,45) 0.02826 0.99870 10 [45,50) 0.00240 — 分析: L由上表得到加拿大人口的Leslie矩阵如下所示，求解特征方程， 00.000240.058610.286080.447910.363990.222590.104590.028260.00240，，,,0.99651000000000,,,,00.9982000000000,,000.998020000000,,,,0000.99729000000L,,,00000.9969400000,,,,000000.996210000,, 0000000.99460000,,,,00000000.9918400,,,,000000000.987000，， L可以得到矩阵的特征值:和特征向量: ,,1.0763 Tx,[0.4257,0.3942,0.3656,0.3390,0.3141,0.2910,0.2694,0.2489,0.2294,0.2104] L通过上述过程大家可以发现，一旦矩阵的维数过大，那么求解特征方程将是一个非常复杂的过程，运用matlab求解程序如下: clear all L=zeros(10,10); L(1,:)=[0,0.00024,0.05861,0.28608,0.44791,0.36399,0.22259,0.10459,0.02868,0.00240]; L(2,1)=0.99651;L(3,2)=0.99820;L(4,3)=0.99802;L(5,4)=0.99729;L(6,5)=0.99694; L(7,6)=0.99621;L(8,7)=0.99460;L(9,8)=0.99184;L(10,9)=0.98700; [v,d]=eig(L); a1=d(1,1); a2=v(:,1); a3=v(:,1)./sum(v(:,1)); pie(a3) legend('[0,5)','[5,10)','[10,15)','[15,20)','[20,25)','[25,30)','[30,35)','[35,40)','[40,45)','[45,50)') 结果: 7%[0,5)14% [5,10)7% [10,15) [15,20) [20,25)8%[25,30)13%[30,35) [35,40) [40,45) [45,50)9% 12% 9% 11%10% 图1 加拿大人口结构示意图 L由矩阵的特性可知:当时间充分长后，年龄分布向量趋于稳定， (k)x即各年龄组人数占总数的百分比几乎等于特征向量中相应分量占i 分量总和的百分比。 如果加拿大妇女生育率和存活率保持1965年的状况，那么经过较长时间以后，50岁以内的人口总数每5年将递增7.662%，由特征向量可算得各年龄组人口占总人口的比例如上图。