简单的轴对称图形

简单的轴对称图形 教学过程: 师:(出示幻灯片)同学们，在小河的同旁有两个村庄，为了过河方便，两村人准备共同出资修建一座小桥，小桥修在小河的哪个位置才能到两个村庄的距离相等呢,你的根据是什么,(学生思考2分钟后，请学生说出各自的想法。) 生1:把小河看成两个点，连接这两点，找出它的中点，就是了。 生2:不对，所找的这点一定在小河上，而连接两点的线段的中点一定不在小河上。 (课堂沉静5秒钟) 师:这个问题不好解决，不要灰心，学完本节课，我们再来解决它。 师:前面我们已经学习了一些几何知识，让我考考大家。(出示图片) A 1.如图，点B、C之间的距离是, , ,1,线段BC的长度 ,2,折线BAC的长度 B C C E 2.如图所示，点A到直线BC的距离是 F 线段 的长度 D A 3.什么样的图形是轴对称图形, B (学生思考后回答，师简单 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf :两点之间的距离、点到直线的距离。) 生:将一个图形沿着一条直线对折，如果折线两旁的部分能完全重合，这个图形就是轴对称图形。 师:这也是判断一个图形是不是轴对称图形的方法。今天我们继续认识轴对称，首先认识简单的轴对称图形。(出示课题)猜想:线段是轴对称图形吗,我们来做个实验:拿出矩形纸片，画出线段AB，并根据刚才所说的识别方法验证你的结论。 (生画线段并折叠验证，师巡回检查，从中发现不同的验证方法。) 师:你有什么发现,请说出你的结论并演示你验证的过程。 生:线段是轴对称图形。将线段AB的点A和点B重合，折叠线段AB， 1 发现折痕两旁的部分完全重合。 师:验证的过程非常严密，这样折叠时线段的对称轴是什么呢, 生:对称轴就是折痕。 师:(出示右图)这条对称轴如何用语言来描述呢,(学生思考片刻后)我们假设折痕为CD，与线段AB的交点为O，请大家观察这个图形，能得出 C 哪些结论,说出你的理由。 生:线段OA=OB，因为折叠后线段OA、OB互相重合。 O A B 师:观察很仔细，既然OA=OB，那么点O就很特殊了。 D 生:点O是线段AB的中点。 师:这说明线段AB的对称轴CD经过线段AB的中点。也可以说，线段AB的对称轴平分AB。 师:再观察，图中还有其他的相等关系吗,图中的角有没有相等关系(或者说线段AB与直线CD有什么位置关系,) (生观察，并互相交流各自的结论。) 生:?COA=?COB，因为折叠后这两个角也重合。 师:很好。由这两个角相等，你能得出线段AB与直线CD有怎样的位置关系,请大家互相讨论，并进行简单推理。 (学生进行简单讨论。) 生:线段AB与直线CD互相垂直。 师:能用简练的语言说明你的理由吗, 生1:折叠后，?COA与?COB互相重合，所以?COA=?COB，而 ?COA与?COB又互补，即:?COA=?COB=90º，所以AB?CD 生2:老师，还有一种方法。因为根据对顶角相等得出?COB=?AOD，?COA=?BOD，又?COA=?COB，所以?COB=?COA=?AOD=?BOD=90º，即AB?CD 师:太精彩了。 师:从刚才的推理中我们知道，直线CD有两个重要的特点:1.经过线段AB的中点，2.与线段AB垂直。你能用最简练的语言来描述这条直线吗, 生:线段的对称轴是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的一条直线。 2 (多位学生叙述后师出示结论:线段是轴对称图形，它的一条对称轴是经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。) 师:请大家记住这个结论。直线CD对于线段AB来说很特殊。它既经过线段AB的中点，又垂直于线段AB，我们把这样的直线称为线段AB的垂直平分线。简称“中垂线”。你能给线段的垂直平分线下一个定义吗, (生经过简单归纳总结得出定义。师出示定义。) 师:让我们来判断这两个图形中直线CD是线段AB的垂直平分线吗,说 C 明是或不是的原因 C A ? B A B D D (1) (2) (生说出结论，并说明理由。) 师:所以在线段的中垂线的定义中，我们应该注意哪些条件, 生:1.垂直于线段，2.平分线段，3.是直线 师:根据中垂线的定义怎样画出线段的中垂线, (生说明画图的步骤，师演示画图过程。) 师:线段的中垂线能垂直平分这条线段，那么垂直平分线上的每一个点又有什么特点呢,我们再来实验:在线段AB上任意取一点P，连接PA、PB，你有何发现,验证你的结论。 (生通过折叠、测量等方法验证线段PA、PB的长度。) 生:线段PA=PB。 师:直线CD上，其他点是否也有这个特点,多取几个点试试。 生:取点P,连结PA 、PB，得PA=PB 22 222 师:想想刚才的验证过程，你能解释这个现象吗, 生1:通过测量发现:PA=PB 生2:由于线段是轴对称图形，所以将线段折叠后，点A、B互相重合，无论点P在直线CD上怎样变换位置，线段PA、PB总是互相重合，即PA=PB。 师:通过验证，我们发现:直线CD上任意一点P，连结PA、PB，都有PA=PB，怎样用语言叙述这个结论, 3 (生试着小声叙述) 师:PA表示点P到点A的距离，PB表示点P到点B的距离，这两个距离相等。(师出示:点P到点A、点B的距离相等) 师:点P代表哪些点,，点A、B代表哪些点, (生思考并回答。) 师:(出示 “ 点 P 到 点A、点B 的距离相等”) 线段中垂线上的点 线段的两个端点 点P表示线段AB的中垂线上的点，点A、B分别表示线段AB的端点。所A 以这句话可以说成„ 生:线段中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等。 (多个学生叙述结论后，教师出示结论) B D C 师:让我们利用练习加深对这句话的理解。(出示练习题) A 1.ΔABC中，AD垂直平分BC，AB=5，则AC= E 6 2. ΔABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB、 B D C 10 BC于点E、D，BE=6，求?BCE的周长。,见右图, (学生分别根据图形独立完成练习，师给学生创造讲解的机会。 锻炼学生的语言表达能力。) 师:通过这个练习，对于线段的轴对称性，你有什么体会, (学生自由发言谈自己对线段的对称性的理解。) 师:(总结)通过刚才的学习我们知道要探求一种图形的特性，可以通过观察、分析、猜想、实验验证、归纳、总结得出正确结论。刚才在验证线段的对称性时，有一位同学很有创意，他是沿着AB所在的直线进行折叠。(师边说边演示)如果这样折叠，线段的对称轴应该是什么呢, 生:是线段本身。 生2:是线段本身所在的直线。 师:对，由此来看，完整的说，线段的对称轴应该怎样描述, 生:线段的对称轴有两条，一条是线段的垂直平分线，一条是线段本身所在的直线。 师:回答非常完整。请大家看课本怎样描述这个结论的，通过阅读，你 4 发现了什么问题, 生1:课本说“线段的一条对称轴是„”，为什么不说“线段的对称轴是„”, 生2:这说明线段有不止一条对称轴。 师:非常仔细，只有细心阅读，才能发现问题，课本这样描述正说明数学的严谨性。 师:在数学中，还有一种简单的图形那就是角。类比线段的对称性探索过程猜想:角是轴对称图形吗,若是，对称轴是什么，用简练的语言进行描述。请利用三角形纸片中的角验证结论。 (生观察，折叠验证。小组简单交流，师巡回指导。) 生:(边说边演示折叠过程)角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线。 师:哪个小组进行补充, 生2:角的对称轴是角平分线所在的直线。 师:(出示结论)补充的非常完整。要注意图形的对称轴是直线。既然线段的中垂线上的点性质特殊，角的平分线上的点是否也有类似的特性呢,在你刚才折叠过的角上，分别标上字母?AOB，角平分线是OD，在角平分线上任意取一点P，作PM?OA，PN?OB，垂足分别为M、N，观察PM与PN有什么关系,(师出示作图过程后，巡回指导学生作垂线。) 生:通过折叠，发现PM=PN。 师:射线OD上其余的点是否也有这个特点,多取几个点验证你的结论。 (学生利用折叠、测量等方法验证并得出肯定结论。) 师:如何用所学知识解释这个现象, 生:将?AOB沿射线OD折叠，OA与OB重合，此时PM与PN重合，所以PM=PN 师:观察很详细，当OA与OB重合时，PM与PN可以看成过点P做OA(OB)的垂线，由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以PM与PN重合。 师:请大家试着用简练的语言进行描述，记在练习本上。并在小组内交流。看哪个小组总结的既简练又完整。 5 (学生总结、交流，最后小组汇报。) 师:(指导学生进行总结)图中PM?OA、PN?OB，所以线段PM、PN分别表示点P到谁的距离,仿照线段中垂线的总结方法，总结这个结论。 (此时多找几个小组进行汇报。) (师最后总结:角平分线上的点到角的两边的距离相等。) 师:让我们应用这个结论解决下面的问题。相信自己，你一定能行。 练习,如图所示，如果M点在?ANB的角平分线上，AM?AN， M BM?BN，那么AM= B A 你还能得出其他的结论吗, (指导学生分清题目中的角、角平分线、角平分线上的点， N 通过?AMN和?BMN中角的关系，得出MN也是?AMB的角平分线。) 师:本题中谁是已知角,谁是角平分线上的点,谁是这点到角两边的距离, 生:?ANB是已知角，角平分线上的点是点M，点M到?ANB两边的距离是线段AM、BM。 师:在?AMN和?BMN中，已知有哪些角相等,又可以得到哪些角相等,由此，又可以得出哪些线段相等, 生叙述结论并说明理由，再一次应用角平分线的性质证明两条线段相等。 师:对于角的对称性，你有什么新体会, (学生思考并交流) 师:回顾本节课的学习，你学到了哪些知识，领会了哪些方法, 生1:我知道了线段与角的对称性。 生2:我知道了线段的垂直平分线的性质，还知道了角平分线上的点的性质。 生3:还学习了用线段垂直平分线性质与角平分线的性质进行简单说理。 师:同学们总结的知识要点很完整。(出示学习目标)本节课我们通过对称变换得到了线段与角的对称性;总结了线段垂直平分线与角平分线的主要特征，并利用这些特征解决了实际问题，这也是今后说明两条线段相等的重要根据;同时经历了猜想、验证、分析总结的过程。在以后的学习中我们 6 会继续探讨对称变换，大家要用心体会对称变换在数学中的应用。并尝试用数学知识解决实际问题。 师:回到本节课的开始，哪位同学能在小河上修建一座符合条件的小桥, 生:把两个村庄看成两个点，连接两点，作连线的垂直平分线，与小河的交点就是所求作的点。 师:(演示过程)用线段中垂线性质很容易解决，这说明数学与生活紧密相连，在平时的学习中大家要积极尝试用数学知识解决实际问题。在本节中大家踊跃发言，积极思考，敢于探索，大胆试验，凭着这种严谨的学习态度和孜孜不倦的探求精神，相信大家一定会取得优异的成绩。请大家利用本课所学知识，课后探究下题: 有三条公路a、b、c两两相交，如图所示，现在要修建一个货场，要求到三条公路的距离相等，问,货场应该修建在哪里,符合条件的位置有几个, a 课本:A: P73 2、 4 B: P89 3 c b 师:谢谢大家合作，同学们再见～ 7 8