解一维抛物方程的基于应力佳点的二次有限体积元法

解一维抛物方程的基于应力佳点的二次有限体积元法 解一维抛物方程的基于应力佳点的二次有 限体积元法 第49卷第4期 2011年7月 吉林大学(理学版) JournalofJilinUniversity(ScienceEdition) Vo1.49No.4 July2011 解一维抛物方程的基于应力佳点 的二次有限体积元法 孙佳慧,秦丹丹,于长华 (1.空军航空大学基础部,长春130022;2.吉林大学数学研究所,长春130012) 摘要:构造了求解一维抛物问题的一种新的Lagrange型二次全离散有限体积元法, 取应力佳 点作为对偶单元的节点,试探函数空间取Lagrange型二次有限元空间,检验函数空 间取分片 常数函数空间.证明了新方法具有最优阶的日模和模误差估计,并讨论了?模的整 体超 收敛估计及在应力佳点导数的逐点超收敛估计.数值实验验证了理论 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 结果. 关键词:二次有限体积元法;抛物方程;应力佳点;误差估计 中图分类号:O241.82文献标志码:A文章编号:1671-5489(2011)04-0643-09 QuadraticFiniteVolumeElementMethodsBasedonOptimalStress PointsforSolvingOne-DimensionalParabolicProblems SUNJia—hui,QINDan.dan,YUChang—hua (1.DepartmentofFoundation,AviationUniversityofAirForce,Changchun130022,China; 2.InstituteofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China) Abstract:AnewLagrangianquadraticfinitevolumeelementmethodbasedonoptimalstress pointswas presentedforsolvingone— dimensionalparabolicproblemswithtrialandtestspacesastheLagrangianquadratic finiteelementspaceandthepiecewiseconstantfunctionspacerespectively.Itisprovedthatth emethodhas optimalorderHandLerrorestimates.Inaddition,wediscussedtheglobalsuperconvergencei nHnormand thelocallypointwisesuperconvergenceofnumericalderivativesatoptimalstresspoints.The numerical experimentconfirmstheresultsoftheoreticalanalysis. Keywords:quadraticfinitevolumeelementmethods;parabolicequations;optimalstresspoi nts;error estimate 有限体积元法(FVEMs),也称为广义差分法(GDMs)….该方法作为求解偏微分方 程的一种有效 数值方法,具有格式构造简单,又兼有有限元法的精确性,且能保持物理量的局部 守恒性,已被广泛 应用于计算流体力学,电磁学等领域.对于两点边值问题的有限体积元法,目前已 有许多研究结 果.文献[9]构造了一种新的高次元有限体积法.文献[7]提出一种通常的Lagrange 型二次有限体 积元格式,其中试探函数空间取Lagrange型二次有限元空间,相应于原始剖分的对 偶剖分方法采用对 分法,检验函数空间取相应于对偶剖分的分片常数函数空间,采用文献[7]的思想, 可构造解抛物方 程的通常的Lagrange型二次元有限体积法.文献[10]构造了解两点边值问题的基 于应力佳点的二次有 收稿日期:2010-09-25. 作者简介:孙佳慧(1982一),女,汉族,硕士,从事偏微分方程有限体积法的研究,E— mail:sunjiahui19821229@163.corn.通讯 作者:秦丹丹(1982一),女,汉族,硕士,从事偏微分方程有限体积法的研究,E?mail:qdandan66@163.corn. 基金项目:国家自然科学基金(批准号:10971082). 吉林大学(理学版)第49卷 限体积元法,证明了最佳阶的日和模误差估计,并给出了超收敛估计.本文针对一维抛物方程问 题,结合文献[10]的思想,构造一种新的Lagrange型二次有限体积元格式,并证明了最优阶的日模和 模收敛阶估计,给出了模的整体超收敛估计及在应力佳点导数的逐点超收敛估计.结合数值算 例,并与通常的二次有限体积元格式比较,验证了新方法的有效性和理论结果的正确性. 1有限体积元格式 考虑区间,=[a,b]上一维抛物方程的混合问题: OU一 (p)=,),(,)?(口,6)×(0,], (口,,):0,:0,t?(0,],() Ox u(x,0)=o(),?(a,b), 其中:p?c(,);p()?p>0;厂?,(,)?为方便,记=,,=. 问题(1)相应的变分形式为:求=(?,t)?U:=(,)(0<,?T),使得 』'ut,)+口(",)=(厂,),V?,0<?,(2) 【(,0)=11,0(),?(a,6), 其中(?,?)表示L(,)的内积, n(",)=Ipudx.(3) 则式(2)的解称为问题(1)的广义解. 定义1如果存在q?[1,+?),使得 J(()一IThu(t))Xo)I?Ch"卜IIu.,V"?(E),(4) 则称点‰为插值应力佳点.其中:E表示含.单元的并集;Vv(x.)表示在各含的单元上(.)值 的算术平均;N为区域的维数;C是不依赖于剖分和函数u的常数. 文献[11]给出了有限元超收敛一维Lagrange型二次元的插值应力佳点集为?2=FN2,其中:F是 参考元K=[一1,1]到该有限元K的可逆仿射变换;?2是[一1,1]上的插值应力佳点集: 对,=[a,b]做剖分,节点为a=0<<2<…<=b.记 — h=一 l,—l/2=— l+hi/2,i=1,2,…,n,h=. inaxh, 并设剖分满足正则性条件h?(i=1,2,…,n),为正常数.取试探函数空间U为相应于的 Lagrange型二次有限元空间.在单元,=[H,]上, M^=It,i— l(2一1)(一1)+4ui-1/2~(1一)+ld,(2一1)= 134 4 1,c5 100 (,,)J一一IJJ,() IuJ U=U一 1(4一3)/h+u—l/2(一8+4)/h+u(4一1)/h= (,1)(_34—41)((1d,i_1/一2-u.i-1))//h),(6) 其中=(一一.)/h. 再做相应于的对偶剖分,令e.=1/2一/6,e:=1/2+/6,则在区间[,]上的两点应 力佳点为=一e1hj,=一e,对偶单元节点为 第4期孙佳慧,等:解一维抛物方程的基于应力佳点的二次有限体积元法645 检验函数空间取为相应于的分片常数函数空间.设J『是从到的插值投影算子,是从 {—UI?ChIItl:,m=0,1,VIt?U,(7) I珥/3,^一o?Chl^Il,VIth?.(8) 设.,为某自然数,时间步长r=.,.对×[0,T]上的每个函数g(,t),定义g=g(,t), t=Or.又对序列{g}::o,定义 O,g=(g一g)/r,g-1/2=(g+g-1)/2. 则相应于问题(1)的Crank.Nicolson全离散有限体积元格式为:求M?U(n=1,2,…,.,),使得 配n ,)+口(:-1/2,)=fn-1/2~'Uh),V%?,(9) 【u:=ItOhx),?(a,b), 其中ItOh是()的某种离散逼近,本文取逼近为插值.或椭圆投影R,则有如下性质: ll0一帖Il?Ch,s=0,1,2?r?3.(10) 2引理 l10..={?n{,『lo1={?n}, 其中: 一 则llull,lI"Il与L模ll?ll.等价. 1l=ru:=薹一.u2=nJl'u2 不难验证【:,{u}{u},{}{M}均为,?,"的正定二次型,因此结论成立. lJI^={?[("i=l 则l?ll_^与日.(,)半模f?l.等价. 引理3当h充分小时,存在与子空间无关的常数,M>0,使得 a(u^,1-I;u^)?I1^,Vu^?U; a(,W)?lJU^IllW^lll,Vu,W^?Uh. 引理4设R?Uh是由下式确定的?(,)n哦(,)的伴随椭圆投影: a(R^",^)=a(,),V^?. 则RU存在唯一,并且 I1R^一"lj1?CI1jl3, llR^一"Ilo?ClIMll4, lIR^u一?hul11?CI1"I14. 引理2一引理4的证明可参见文献[10].通过直接计算可得: ,,\,,,, 234567 lll111 ,/L/L/// 其中 吉林大学(理学版) 引理5对任意的,加^?Uh,恒有 (^,1I;^)= 萄=:33e2一el322e2一el1一e;32一e222 e2一e11一e2 第49卷 对于u?Uh,定义与之一一对应的历?.在单元,上定义为{}=D{},其中D满足 B=勋,显然有(,仃豇)=lIulI 引理6存在与h无关的常数JB.>0,使得 口(^,^) 证明:在=[一,]上,为简便,记 通过直接计算,有 = ?II,VM^?Uh. h~12(,)? 0(",Wh)=?A,J=1 其中:= -1,/?因此 ("-0];A=-4e~+343e一14 其中: 0(M^,豇^): 由于p(x)?pi>0,因此 其中G== ?(一,一以,~j)HPjAf(一l/2一(一)一 ) (帅.日PjA,2-uj/2)/_,)/h~ {一1 H:l1J f0 K= 口(M^,)?Pi + (18) (19) ~hKejA…T,(20) 容易验证G是对称正定矩阵,再注意到(,)中半范数|.1.与全范数1l' 在>O,使得 证毕. 0(M,1-1;豇^) 引理7u,的范数满足如下关系: 证明:对VM?Uh, ?卢.I1uhI 玎hII.?c.IIMIl., ll^II.?Cll^Il1, VMh?Uh; V"^?Uh. 的等价性,可知存 (22) (23) ^ ??一3一2,,..............................一/,?????一,,l00 ? ? ,,??????????/ ? 一3?一3 ? 一3?一3 +一 ,,,........,........... _一/ \,?,?? l 01 T G v? ,Ill_?/ l 一7 21 第4期孙佳慧,等:解一维抛物方程的基于应力佳点的二次有限体积元法647 2 n(每.+务.+)? 主{uh}{瓦}:主}DIu}广 又因D为非奇异矩阵,因此DD是一对称正定矩阵,由引理1得 II珥lI.?c.llIl..(24) 由于p?C(,),P>O,故p(x)在,上有正的上界.又由式(20),(21)得 口(,豇^)=?KPjA~Th?cZG…T.(25) 由于G为实对称矩阵,因此对其进行相似对角化可知,存在正交矩阵Q,满足G=QT/IQ,其中 = 兰). 令=Q.则由Cauchy不等式和引理2得 .(豇,)?cn?c学砉(呀(0T)=c学喜()(鲒= c V-,l.?cIIII.II五(26) 又由式(12)和(26)得 ?百1口(,t/;)?CIIIIIIt.(27) 因此式(23)成立.证毕. 引理8双线性形式有如下的估计式成立: I口(,面)一a(w,rl;^)l?ChlI"II.llWll,,VUh?Uh,V?Uh?(28) 证明:由式(20)得a(u,rl;面)=?A:,从而 口(Hh面)一a(w,)=?A…T一?KPjA~r=?(KP~A—A) 利用矩阵和向量模的性质得 la(u,面)一a(w,Uh)l??lWl}A—AglIr,6; 根据矩阵F一范数的相容性可得 llA—AII,,,J=訾l一+el—一.l?Ch. 于是, l.(^,J面^)一0(W^,Hh^)I?ChII//hlIlllWhlll? 证毕. 3误差估计 定理1设和u:分别为问题(1)和全离散有限体积元格式(9)的解,则: )llUn一nII?c{II".一.II.+tl.II+f"lIItdt+ (』:llull;d).+丁(J.IIIIod)),凡=0,1,2,…,.,; 2)lIUn—:II.?c{ll.一卟ll.+IIu.Il+.f=Ilul1dt+ 吉林大学(理学版)第49卷 fIIII.dt),n=0,1,2,…,t,; 3)若初值=//h/.Z.或R.,则有如下超收敛估计: Il:一//hull1?C(h+f), 【?xo ?~N2 一 ":).)'?c(h+), 其中r为?2的点数. 证明:记误差 一 :=P+e,P=一R^11,,e=R一u:. 由引理4知, ItpII?ChIIII?Ch(II.II,+rIIIIdt); IIpII.?Ch.II//nII?Ch(11".LI+rII"IId丁) )=(Fn,/Uh), (29) (30) (31) (32) 取=』a则由引理5得 II2+.(,即)=,即(33) 据引理1,引理3,引理6,引理8和有限元空间的逆性质,有 n (?,)=1,,_1))= 一 [口(e,")一口(e,,lib,)一0(e,仃"一.)+0(e一,IIh)]= 圭[口(e,?")一n(e,IIh)+?(n(e+e,IIh("一))一 0(e一e,仃(+.)))]? [IIeII一IIen-I2一ChIIe+en-III-eII?? [IIeII2一IIen-1II2]_cIIe+en-IIItIIll0'^? [(1一c)IIeII一(1+c)Iten-1IIj_1IIIIj, . (34) 另一方面, I(n,a否n)l?II.2llIIhaII.2?cIIrIl.2+1e2,(35) 故联合式(33),(35)得 IIeII2?IIen-III+cIIr.2,(36) 递推可得 ?c(+丁?ll).(37)J=1 记一=一+,其中: 一=)()=(-,)u; 口 + e 一 (" + , 一 得心 4 1l:ll 式 由中 又其 第4期孙佳慧,等:解一维抛物方程的基于应力佳点的二次有限体积元法649 : (,)一. 由式(16),有 j 主=lll2?熹(一.c^,)=cL"IIfJI,(38) 另一方面, lI2?(. I.出)=c下lI(39)11JJtl—l'" 又由式(16),有 fl.ll=l1R^.一uj1j?IIu.一M0^l1+l1P(0)}1?lIo—o^lI+ChlIu.f12..(4o) 故联合式(37)一(40)得 - ?c.-oll,埘(IIl(?Iiod)】.(41) 最后,由式(3O)和(41),可得1)的证明. 在式(32)中取:,并由引理6得 由引理5和式(22)得 即 { 由引理1得 递推得 由式(16)得 (,)?(r,),V.(42) 一 砉}7BD{en-1}Cr.(IIe"lf0+Jlefl0),(43) {Ile一『len-I2}?CII.(IIe"II.+IIen-Il10). elfo?Cllell.+clfrIl0, eII.?C(l{.+下?Il0).J=1 IfIi.? Tj ?= l " 一 c.lIuIId=C"F-titnJ1J1tj10 I1ll, = J — (44) (45) (46) (47) 利用积分型Taylor展开式可得 lf0?c丁 一 I『I.d,=ccIld 1I10 (48) i=i=ti—J 又由式(16)得 e.ll0=llR^M0一0l10?Ilo—0^ll0+p(0)Iio? IIMo—M0l1o+CIl0ll4. 将式(47),(49)代人式(46),得 e.?c..f4+Hf). (49) (50) 联合式(31)和(50),可得2)的证明. 由式(16)和(38)得 砉II一2?(一c.dt)=c丁flI.(5?) 若眈:.,则由式(17)得 吉林大学(理学版)第49卷 lleJlo=I1^一口^‰lJ0?ChIJUoIJ; 若0^:R^0,则有 e"=R"o—0^0. 将式(39),(51)一(53)代入式(37)得 IlelI1?C(h+r). 由式(17)和(54)得 【1":一"IIl?lI一R^lI1+Il1I^一R"ll1?C(h.+r); 由有限元逆性质得 l(?u"一u:)(.)l?Ch/2llHhu一u.. 注意r=0(h)并由式(55)得 【?x0 ?eN2 I(Hhu"一:)()I.】?C1/2Il仃^"一:II-?c(+r)?r1, 又由式(4)有 }_(一")(‰)}?Ch『l4' 从而 [l?C(h). 证毕. 4数值实验 考虑抛物问题: 一 02U =.,.<<詈,.<?, , )=0,"(詈,)=0,0<?1,(60) u(,0)=si0<<詈. 则问题(60)的精确解为"()=esi'n. 下面分别用有限体积元格式(9)与通常的Lagrange型二次有限体积元格式对问题 (60)进行数值模 拟,通过比较两种方法误差的收敛阶,表明新方法有更好的收敛性. 取空间步长h:1T/(2n),时间步长=h,初值u.=H.,分别用方法(9)和通常的Lagrange型 二次有限体积元格式进行计算,误差e=u一的,模和ffu:一ffl在各剖分下的数值结果及 收敛阶列于表1和表2.由表1和表2可见,通常的二次元有限体积法得出的解按模和L模的收敛 阶均为2阶,并且Ilu:一//hUlll的整体超收敛性也不存在,而本文讨论的二次元有限体积法得出的 解按日.模的收敛阶为2阶,按模的收敛阶为3阶,并且ll?:一?"lI】具有整体超收敛性,与理论 分析结果一致,表明方法(9)按,模比通常的二次元有限体积法有更好的收敛性. 表1对问题(60)用方法(9)得到的收敛阶 Table1Convergenceordersofthemethod(9)fortheproblem(6O) \,,,,,,,,,卯 ,L/L///L/L,L/ 第4期孙佳慧,等:解,维抛物方程的基于应力佳点的二次有限体积元法651 [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 参考文献 LIRong—hua,CHENZhong—ying,WUWei.GeneralizedDifferenceMethodsforDifferentialEquations:Numerical AnalysisofMiniteVolumeElementMethods[M].NewYork:MarcelDekker,2000. 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