高中数学解析几何解
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方法
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解析几何常规题型及方法
核心考点
1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等)
2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等)
3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等)
4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算
5、了解线性规划的意义及简单应用
6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算
7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等)
8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题
常规题型及解题的技巧方法
A:常规题型方面
(1)中点弦问题
具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(x1,y1),(x2,y2),代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。
y2
典型例题 给定双曲线。过A(2,1)的直线与双曲线交于两点P1 及P2,求线段P1P2的中点P22
的轨迹方程。
2y12y22
分析
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:设,。 1(x1,y1),P2(x2,y2)代入方程得
1
两式相减得
。 2
又设中点P(x,y),将,代入,当时得
。
,
22 又代入得。
当弦P1P2斜率不存在时,其中点P(2,0)的坐标也满足上述方程。
1
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因此所求轨迹方程是
说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。
(2)焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题,常用正、余
弦定理搭桥。 22
x2y2
典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点,,F2(c,0)为焦点,
,。 ab
(1)求证离心率;
3 (2)求的最值。
分析:(1)设,,由正弦定理得3r1r2c。
得 ,
33322 (2)。
当时,最小值是2a3;
当时,最大值是。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法
典型例题 抛物线方程,直线与x轴的交点在抛物线准线的右边。
(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点
(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA?OB,求p关于t的函数f(t)的
表
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达式。
p(1)证明:抛物线的准线为1:
由直线x+y=t与x轴的交点(t,0)在准线右边,得
消去y得由
2
p,而
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故直线与抛物线总有两个交点。
(2)解:设点A(x1,y1),点B(x2,y2)
,
,
则
又
t2
又,得函数f(t)的定义域是 ,,
(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题
圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。
典型例题
已知抛物线y2=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不
|AB|?2p 同的两点A、B,
(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求?NAB面积的最大值。
),可以设法得到关 分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1
于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把?NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。
解:(1)直线L的方程为:y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得:设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A
(x1,y1),B(x2,y2),则又y1=x1-a,y2=x2-a,
解得
3
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(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q,令其坐标为(x3,y3),则由中点坐标公式得:
p. 22
所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又?MNQ为等腰直角三角形,所以|QM|=|QN|=2P,所以S?即?NAB面积的最大值为2P2。 222
(5)求曲线的方程问题
1(曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
典型例题
已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。
分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。
设出它们的方程,L:y=kx(k?0),C:y2=2px(p>0)
设A、B关于L的对称点分别为A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为:
(2),B(2)。因为A、B均在抛物线上,代入,消去p,得:k2-k-1=0.解得:
抛物线C的方程为y2=x. 25所以直线L的方程为:y=
2(曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|
的比等于常数(),求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。
分析:如图,设MN切圆C于点N,则动点M组成的集合是:
,
由平面几何知识可知:|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,将M点坐标代入,可得:
-1)(x2+y2)-
当时它表示一条直线;当时,它表示圆。这种方法叫做直接法。
4
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(6) 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形 已知椭圆C的方程,试确定m的取值范围,使得对于直线,椭圆C上有不同两43
点关于直线对称。
分析:椭圆上两点(x1,y1),(x2,y2),代入方程,相减得
。
又,,,代入得。 又由解得交点。
,得交点在椭圆 已知直线l的斜率为k,且过点
,抛物线,直线l与抛物线C有两个不同的交
点(如图)。
(1)求k的取值范围;
(2)直线l的倾斜角为何值时,A、B与抛物线相垂直。 分析:(1)直线
代入抛物线方程得, 由,得。 (2)由上面方程得, 2C的焦点连线互k
,焦点为O(0,0)。
由,得,
5
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或
2 2
B:解题的技巧方面
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:
(1)充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。
典型例题 设直线与圆相交于P、Q两点,O为坐标原
,求22 点,若
m的值。
解: 圆过原点,并且,
是圆的直径,圆心的坐标为
又,1) 21,1)在直线上, 2
,即为所求。 22
评注:此题若不充分利用一系列几何条件:该圆过原点并且,PQ是圆的直径,圆心在直线上,而是设P(x1,y1)、Q(x2,y2)再由和韦达定理求m,将会增大运算量。
评注:此题若不能挖掘利用几何条件,点M是在以OP为直径的圆周上,而利用参数方程等方法,计算量将很大,并且比较麻烦。
二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点,且,求此椭圆方程。
解:设椭圆方程为,直线与椭圆相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点。 22,2
由方程组消去y后得
,
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由kOP,得(1)
又P、Q在直线上,
,, (3)
把(1)代入,得,
即
化简后,得
(4)
由,得
55,,44 2b24
把(2)代入,得,解得或
31或
31 由,得,。 22 代入(4)后,解得
3x2y2
所求椭圆方程为22
评注:此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了计算。
三. 充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。
典型例题 求经过两已知圆C1:和C2:的交点,且圆
上的圆的方程。 心在直线l:
解:设所求圆的方程为:
, 即
其圆心为C() ,
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又C在直线l上,,解得,代入所设圆的方程得
为
所求。
评注:此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点,故简化了计算。
四、充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题(这也是我们常说的三角代换法。
x2y2
典型例题 P为椭圆上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求四边形OAPB面积的最大值ab
及此时点P的坐标。
五、线段长的几种简便计算方法
? 充分利用现成结果,减少运算过程
一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程代入圆锥曲线方程中,得到型如
,若的方程,方程的两根设为xA,xB,判别式为?,则
直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。
例 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。
? 结合图形的特殊位置关系,减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运
用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。 22
x2y2
的两个焦点,AB是经过F1的弦,若,求值例 F1、F2是椭圆259
? 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离
例 点A(3,2)为定点,点F是抛物线的焦点,点P在抛物线上移动,若取得最小值,求点P的坐标。
22
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