例8.如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点
O.
(1)如图1,求证:A,G,E,F四点围成的四边形是菱形;
(2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证:点N是线段BC
的中点;
(3)如图2,在(2)的条件下,求折痕FG的长.
【
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
】解:(1)由折叠的性质可得,GA=GE,∠AGF=∠EGF,
∵DC∥AB,∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF。∴EF=EG=AG。
∴四边形AGEF是平行四边形(EF∥AG,EF=AG)。
又∵AG=GE,∴四边形AGEF是菱形。
(2)连接ON,
∵△AED是直角三角形,AE是斜边,点O是AE的中点,
△AED的外接圆与BC相切于点N,
∴ON⊥BC。
∵点O是AE的中点,∴ON是梯形ABCE的中位线。
∴点N是线段BC的中点。
(3)∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径,∴OE=OA=ON=2。∴AE=AB=4。
在Rt△ADE中,AD=2,AE=4,∴∠AED=30°。
在Rt△OEF中,OE=2,∠AED=30°,∴
。∴FG=
。
【考点】翻折变换(折叠问题),折叠对称的性质,菱形的判定,梯形中位线性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】(1)根据折叠的性质判断出AG=GE,∠AGF=∠EGF,再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF,从而
判断出EF=AG,得出四边形AGEF是平行四边形,从而结合AG=GE,可得出结论。
(2)连接ON,则ON⊥BC,从而判断出ON是梯形ABCE的中位线,从而可得出结论。
(3)根据(1)可得出AE=AB,从而在Rt△ADE中,可判断出∠AED为30°,在Rt△EFO中求
出FO,从而可得出FG的长度。
8.依次连接一矩形场地ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,得到四边形EFGH,M为边EH的中点,点P为小明在对角线EG上走动的位置,若AB=10米,BC=
米,当PM+PH的和为最小值时,EP的长为 ▲ 。
10.如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与点A、B重合),连接PD,过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q.
(1)当m=10时,是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在,求出此时AP的长;若不存在,说明理由;
(2)连接AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示);
(3)若△PQD为等腰三角形,求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围.
1.已知长方形ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F,则AE的长为 ▲ .
例2.如图,在矩形ABCD中,AD>AB,将矩形ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为MN,连结CN.若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4,则
的值为【 】
A.2 B.4 C.
D.
【答案】D。
【考点】翻折变换(折叠问题),折叠的性质,矩形、菱形的判定和性质,勾股定理。
【分析】过点N作NG⊥BC于G,由四边形ABCD是矩形,易得四边形CDNG是矩形,又由折叠的性质,可得四边形AMCN是菱形,由△CDN的面积与△CMN的面积比为1:4,根据等高三角形的面积比等于对应底的比,可得DN:CM=1:4,然后设DN=x,由勾股定理可求得MN的长,从而求得答案:
过点N作NG⊥BC于G,
∵四边形ABCD是矩形,∴四边形CDNG是矩形,AD∥BC。
∴CD=NG,CG=DN,∠ANM=∠CMN。
由折叠的性质可得:AM=CM,∠AMN=∠CMN,∴∠ANM=∠AMN。
∴AM=AN。
∴AM=CM,∴四边形AMCN是平行四边形。
∵AM=CM,∴四边形AMCN是菱形。
∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1:4,∴DN:CM=1:4。
设DN=x,则AN=AM=CM=CN=4x,AD=BC=5x,CG=x。∴BM=x,GM=3x。
在Rt△CGN中,
,
在Rt△MNG中,
,
∴
。故选D。
例1.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,将△ABE沿AE折叠,使点B落在AC上的点B′处,又将△CEF沿EF折叠,使点C落在EB′与AD的交点C′处.则BC:AB的值为 ▲ 。
例3.如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.
(1)求证:∠APB=∠BPH;
(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论;
(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)如图1,∵PE=BE,∴∠EBP=∠EPB.
又∵∠EPH=∠EBC=90°,
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP,即∠PBC=∠BPH。
又∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。
(2)△PHD的周长不变为定值8。证明如下:
如图2,过B作BQ⊥PH,垂足为Q。
由(1)知∠APB=∠BPH,
又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP,
∴△ABP≌△QBP(AAS)。∴AP=QP,AB=BQ。
又∵AB=BC,∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°,BH=BH,∴△BCH≌△BQH(HL)。∴CH=QH。
∴△PHD的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。
(3)如图3,过F作FM⊥AB,垂足为M,则FM=BC=AB。
又∵EF为折痕,∴EF⊥BP。
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。
又∵∠A=∠EMF=90°,AB=ME,∴△EFM≌△BPA(ASA)。
∴EM=AP=x.
∴在Rt△APE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,即
。
∴
。
又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等,
∴
。
∵
,∴当x=2时,S有最小值6。
【考点】翻折变换(折叠问题),正方形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,二次函数的最值。
【分析】(1)根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH,进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。
(2)先由AAS证明△ABP≌△QBP,从而由HL得出△BCH≌△BQH,即可得CH=QH。因此,△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。
(3)利用已知得出△EFM≌△BPA,从而利用在Rt△APE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,利用二次函数的最值求出即可。
4.如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=6cm,∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积等于_ ▲ cm2.
例2.如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=4,AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F,则EF= ▲ .
【答案】
。
【考点】线段垂直平分线的性质,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理;.
【分析】连接EC,AC、EF相交于点O。
∵AC的垂直平分线EF,∴AE=EC。
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠B=90°,AB=CD=2,AD=BC=4,AD∥BC。
∴△AOE∽△COF。∴
。
∵OA=OC,∴OE=OF,即EF=2OE。
在Rt△CED中,由勾股定理得:CE2=CD2+ED2,即CE2=(4-CE)2+22,解得:
CE=
。
∵在Rt△ABC中,AB=2,BC=4,由勾股定理得:AC=
,∴CO=
。
∵在Rt△CEO中,CO=
,CE=
,由勾股定理得:EO=
。∴EF=2EO=
。
例3.已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP.设BP=t.
(Ⅰ)如图①,当∠BOP=300时,求点P的坐标;
(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).
【答案】解:(Ⅰ)根据题意,∠OBP=90°,OB=6。
在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t。
∵OP2=OB2+BP2,即(2t)2=62+t2,解得:t1=
,t2=-
(舍去).
∴点P的坐标为(
,6)。
(Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的,
∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP。
∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC。
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°,∴∠OPB+∠QPC=90°。
∵∠BOP+∠OPB=90°,∴∠BOP=∠CPQ。
又∵∠OBP=∠C=90°,∴△OBP∽△PCQ。∴
。
由题意设BP=t,AQ=m,BC
=11,AC=6,则PC=11-t,CQ=6-m.
∴
。∴
(0<t<11)。
(Ⅲ)点P的坐标为(
,6)或(
,6)。
【考点】翻折变换(折叠问题),坐标与图形性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质。
【分析】(Ⅰ)根据题意得,∠OBP=90°,OB=6,在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t,然后利用勾股定理,即可得方程,解此方程即可求得答案。
(Ⅱ)由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的,可知△OB′P≌△OBP,
△QC′P≌△QCP,易证得△OBP∽△PCQ,然后由相似三角形的对应边成比例,即可求得答案。
(Ⅲ)首先过点P作PE⊥OA于E,易证得△PC′E∽△C′QA,由勾股定理可求得C′Q的长,然后利用相似三角形的对应边成比例与
,即可求得t的值:
过点P作PE⊥OA于E,∴∠PEA=∠QAC′=90°。
∴∠PC′E+∠EPC′=90°。
∵∠PC′E+∠QC′A=90°,∴∠EPC′=∠QC′A。
∴△PC′E∽△C′QA。∴
。
∵PC′=PC=11-t,PE=OB=6,AQ=m,C′Q=CQ=6-m,
∴
。
∴
。
∵
,即
,∴
,即
。
将
代入,并化简,得
。解得:
。
∴点P的坐标为(
,6)或(
,6)。
5.有甲、乙两张纸条,甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍,如图。将这两张纸条交叉重叠地放在一起,重合部分为四边形ABCD,则AB与BC的数量关系为 ▲ .
例1.如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于F点,若CF=1,FD=2,则BC的长为【 】
A.
B.
C.
D.
【答案】B。
【考点】翻折变换(折叠问题),矩形的性质和判定,折叠对称的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】过点E作EM⊥BC于M,交BF于N。
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=90°,AD=BC,
∵∠EMB=90°,∴四边形ABME是矩形。∴AE=BM,
由折叠的性质得:AE=GE,∠EGN=∠A=90°,∴EG=BM。
∵∠ENG=∠BNM,∴△ENG≌△BNM(AAS)。∴NG=NM。
∵E是AD的中点,CM=DE,∴AE=ED=BM=CM。
∵EM∥CD,∴BN:NF=BM:CM。∴BN=NF。∴NM=
CF=
。∴NG=
。
∵BG=AB=CD=CF+DF=3,∴BN=BG﹣NG=3﹣
。∴BF=2BN=5
∴
。故选B。
例2. 如图,点D是△ABC的边AB的延长线上一点,点F是边BC上的一个动点(不与点B重合).以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF,又AP
BE(点P、E在直线AB的同侧),如果
,那么△PBC的面积与△ABC面积之比为【 】
A.
B.
C.
D.
【答案】D。
【考点】平行四边形的判定和性质。
【分析】过点P作PH∥BC交AB于H,连接CH,PF,PE。
∵AP
BE,∴四边形APEB是平行四边形。∴PE
AB。,
∵四边形BDEF是平行四边形,∴EF
BD。
∴EF∥AB。∴P,E,F共线。
设BD=a,
∵
,∴PE=AB=4a。∴PF
=PE﹣EF=3a。
∵PH∥BC,∴S△HBC=S△PBC。
∵PF∥AB,∴四边形BFPH是平行四边形。∴BH=PF=3a。
∵S△HBC:S△ABC=BH:AB=3a:4a=3:4,∴S△PBC:S△ABC=3:4。故选D。
例3.如图,P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,给出如下结论:
①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3
③若S3=2 S1,则S4=2 S2 ④若S1= S2,则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是 ▲ (把所有正确结论的序号都填在横线上).
【答案】②④。
【考点】矩形的性质,相似
【分析】如图,过点P分别作四个三角形的高,
∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边,
∴此时两三角形的高的和为AB,
∴S1+S3=
S矩形ABCD;
同理可得出S2+S4=
S矩形ABCD。
∴②S2+S4= S1+ S3正确,则①S1+S2=S3+S4错误。
若S3=2 S1,只能得出△APD与△PBC高度之比,S4不一定等于2S2;故结论③错误。
如图,若S1=S2,则
×PF×AD=
×PE×AB,
∴△APD与△PBA高度之比为:PF:PE =AB:AD 。
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°,∴四边形AEPF是矩形,
∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。
∴PF:CD =PE :BC=AP:AC,
即PF:CD =AF :AD=AP:AC。
∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。
故结论④正确。
综上所述,结论②和④正确。
例6.如图(1),在矩形ABCD中,把∠B、∠D分别翻折,使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处,折痕分别为CM、AN.
(1)求证:△AND≌△CBM.
(2)请连接MF、NE,证明四边形MFNE是平行四边形,四边形MFNE是菱形吗?请说明理由?
(3)P、Q是矩形的边CD、AB上的两点,连结PQ、CQ、MN,如图(2)所示,若PQ=CQ,PQ∥MN。且AB=4,BC=3,求PC的长度.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠B,AD=BC,AD∥BC。
∴∠DAC=∠BCA。
又由翻折的性质,得∠DAN=∠NAF,∠ECM=∠BCM,∴∠DAN=∠BCM。
∴△AND≌△CBM(ASA)。
(2)证明:∵△AND≌△CBM,∴DN=BM。
又由翻折的性质,得DN=FN,BM=EM,
∴FN=EM。
又∠NFA=∠ACD+∠CNF=∠BAC+∠EMA=∠MEC,
∴FN∥EM。∴四边形MFNE是平行四边形。
四边形MFNE不是菱形,理由如下:
由翻折的性质,得∠CEM=∠B=900,
∴在△EMF中,∠FEM>∠EFM。
∴FM>EM。∴四边形MFNE不是菱形。
(3)解:∵AB=4,BC=3,∴AC=5。
设DN=x,则由S△ADC=S△AND+S△NAC得
3 x+5 x=12,解得x=
,即DN=BM=
。
过点N作NH⊥AB于H,则HM=4-3=1。
在△NHM中,NH=3,HM=1,
由勾股定理,得NM=
。
∵PQ∥MN,DC∥AB,
∴四边形NMQP是平行四边形。∴NP=MQ,PQ= NM=
。
又∵PQ=CQ,∴CQ=
。
在△CBQ中,CQ=
,CB=3,由勾股定理,得BQ=1。
∴NP=MQ=
。∴PC=4-
-
=2。
【考点】翻折问题,翻折的性质,矩形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,菱形的判定,勾股定理。
【分析】(1)由矩形和翻折对称的性质,用ASA即可得到△AND≌△CBM。
(2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。
(3)设DN=x,则由S△ADC=S△AND+S△NAC可得DN=BM=
。过点N作NH⊥AB于H,则由勾股定理可得NM=
,从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ,即可求得CQ=
。因此,在△CBQ中,应用勾股定理求得BQ=1。从而求解。
例2.如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点
C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最
短距离为 ▲ cm.
【答案】15。
【考点】圆柱的展开,矩形的性质,轴对称的性质,三角形三边关系,勾股定理。
【分析】如图,圆柱形玻璃杯展开(沿点A竖直剖开)后侧面是一个长18宽12的矩形,作点A关于杯上沿MN的对称点B,连接BC交MN于点P,连接BM,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜
的最短距离,且AP=BP。
由已知和矩形的性质,得DC=9,BD=12。
在Rt△BCD中,由勾股定理得
。
∴AP+PC=BP+PC=BC=15,即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
例2.如图,有a、b、c三户家用电路接入电表,相邻电路的电线等距排列,则三户所用电线【 】
A. a户最长 B. b户最长 C. c户最长 D. 三户一样长
【答案】D。
【考点】生活中的平移现象,平移的性质。
【分析】根据平移的性质,对于电线中横的和竖的线段分别采用割补法将线段向右进行平移,便可直观观察到都是相等的。因此a b c三线长度相等。故选D。
例3.如图:矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为 ▲ .
【答案】28。
【考点】平移的性质,勾股定理。
【分析】由勾股定理,得AB=
,将五个小矩形的所有上边平移至AD,所有下边平移至BC,所有左边平移至AB,所有右边平移至CD,
∴五个小矩形的周长之和=2(AB+CD)=2×(6+8)=28。
1.如图:矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为【 】
A、14 B、16 C、20 D、28
如图11,一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD对折,[来源:学科网]点C落在点C′的位置,BC′交AD于点G。
(1)求证:AG=C′G;
(2)如图12,再折叠一次,使点D与点A重合,得折痕EN,EN交AD于点M,求EM的长。
如图,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点C与点A重合,折痕交AD于点E,交BC于点F,连接AF、CE,
(1)求证:四边形AFCE为菱形;
(2)设AE=a,ED=b,DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式.
如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC=3,则折痕CE的长为( )
A、
B、
C、
D、6
已知长方形ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F,则AE的长为 .
1、如图,矩形纸片ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,现将A、C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF,求重叠部分△AEF的面积。