信号分析与处理_杨西侠_课后答案二三五章
2-1 画出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别
t?u(t) 1)x(t) = sin ,1
x1
(1t 0 234π
t) - 2)x(t) = sin[ , ( t – t ) ]?u(t) 1 20π π π
x21
t (t) 0 t
- 01 )x3(t) = sin , t?u ( t – t ) 30
x3
1
(t
t 0 t)
0
4)x(t) = sin[ , ( t – t ) ]?u ( t – t ) 200
x41
t (t) 0 t
- 01
2-2 已知波形图如图2-76所示，试画出经下列各种运算后的波形图
x(t)1
t -1 0 1 2 3
图 2-76
1
(1)x ( t-2 )
x 1
( t-2
t
) -1 2 3 4 0
1
(2)x ( t+2 )
x
1
( t+2 )
t ---0 1 -
4 3 2 1
(3)x (2t)
x(2t)1
t -1 0 1 2 3
(4)x ( t/2 )
x 1
( t/2
t
) 0 1 2 3 4 --
2 1
(5)x (-t)
x (-t)1
t
-2 -1 0 1 2 -3
2
(6)x (-t-2)
x (-t-2)1
t
-----0 1
5 4 3 2 1
(7)x ( -t/2-2 )
x ( -t/2-2 ) 1
t
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
(8)dx/dt
dx/dt1
t -2 -1 0 1 2 3
-δ (t-2) 2-3 应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值
，,
x(t,t)0δ(t) dt = x(-t) (1)0,,,
，,
x(t,t)0(2)δ(t) dt = x(t) 0,,,
，,tt00,(t,t)0(3) u(t -) dt = u() ,,,22
，,
,(t,t)0(4) u(t – 2t) dt = u(-t) 00,,,
，,t,，，e，t2(5)δ(t+2) dt = e-2 ,,,
3
1，,,,
，，t，sintδ(t-) dt = + (6),,,662
，,jt,,,,，，，，e,t,,t,tdt0(7) ,,,
，,，,jtjt,,,,，，e,tdte,(t,t)dt0=– ,,,,,,
,j,t0e= 1- = 1 – cosΩt+ jsinΩt0 0
2-4 求下列各函数x(t)与x(t) 之卷积，x(t)* x(t) 1212
-at(1) x(t) = u(t), x(t) = e ? u(t) ( a>0 ) 12
t，,1,a,,a,,ated,u,()eu(t,,)d,(1,e)x(t)* x(t) = = = 12,,0,,a
,(2) x(t) =δ(t+1) -δ(t-1) , x(t) = cos(Ωt + ) ? u(t) 124
，,,
[cos(,t，)u,()],[(t,,，1),,(t,,,1)]d,x(t)* x(t) = 12,,,4
,,
= cos[Ω(t+1)+]u(t+1) – cos[Ω(t-1)+]u(t-1) 44(3) x(t) = u(t) – u(t-1) , x(t) = u(t) – u(t-2) 12
，,
[u,(),u,(,2)][u(t,,),u(t,,，1)]d,x(t)* x(t) = 12,,,
当 t <0时，x(t)* x(t) = 0 12
t
d,当 0
2
E2,,,, x(t) = [δ( t +) +δ( t–)–2δ(t)] ,22
由微分特性
,,j,j,,2E2,E,222 (,,2),(2cos,2)ee ( jΩ) X(Ω) = 2,,
E,,,2Sa() X(Ω) = 24
2-13已知矩形脉冲的傅里叶变换，利用时移特性求图2-82所示信号的傅里叶变换，并大致画出幅度谱
,,G(t) 解: = E [ u( t + )–u( t–)] ,22
,,E Sa(),G(,) = ,2
,,GG x(t) = ( t + )–( t–) ,,22
由时移特性和线性性
14
,,,,,,,,j,j22ESaESa () (),,ee– X(Ω) = 22
,,j,j,22,ee,,,,,,E Sa()E Sa(),,sin = ?2j = 2j 2j222
2Eτ
Ω ,,,,22- - 0 ,,,,
2-14已知三角脉冲x(t)的傅里叶变换为 1
E,,,2Sa() X(Ω) = 124
,
试利用有关性质和定理求x(t) = x(t–) cosΩt的傅里叶变换 2102
解:由时移性质和频域卷积定理可解得此题
由时移性质
,-j,,2X (,) e F [x (t–)] = 112
由频移特性和频域卷积定理可知:
1F [x(t )cosΩt]= [X(Ω–Ω)+ X(Ω+Ω)] 0002
,
X (Ω) = F [x (t–)cosΩt] 2102
,,,,，,00,,,j,j122ee = [ X (Ω–Ω) + X(Ω+Ω) ] 1002
15
,,,,，,00jj,,,,()(),,,,,，,,E,002222ee = [Sa+ Sa] 444
)的傅里叶逆变换x(t) 2-15求图2-82所示X(Ω
|X(Ω)| |X(Ω)|
A A
Ω Ω -Ω 0 Ω -Ω 0 Ω 0000
φ(Ω) φ(Ω)
π/2 π/2
Ω Ω -Ω 0 Ω -Ω 0 Ω 0000
-π/2 -π/2 a) b)
,j,(,)e 解:a) X(Ω) = | X(Ω)|
,jt0G(,)e = ,20
由定义:
，,1j,tX(,)ed, x(t) = ,,,,2
1,0jtjt,,0Aeed, = ,,,2,0
A,0j(tt),，ed0, = ,2,,,0
Aj,(t，t),00e| = ,,0,，2j(tt)0
A
sin[,(t，t)] = 00,(t，t)0
16
A,0Sa[,(t，t)] = 00,
，,1jt,x(t),X(,)ed, b) ,,,,2
,,,11jj,00,jtjt2,2AeedAeed,, =+ ,,,,002,2,
,,(),,AAj(t)j,t，,002eded2,, =+ ,,,,002,2,
,,(),,(),，AAjtjt2,002e|e| =+ ,,00,,,,2j2j
,AA,j(,t，)0,2e = ,2,j2(,，),jt20
,AAj(,t，)0，2e – ,2,j2(,，),jt20
A,A,Sa[,t，]sin[(,t，)] == 00,22,(,t，),02
2-16确定下列信号的最低抽样频率与抽样间隔 (1) Sa(100t)
2(2) Sa(100t)
2(3) Sa(100t)+ Sa(100t)
解:(1)由对偶性质可知:
Sa(100t)的频谱是个矩形脉冲，其脉宽为[-100,100]
即Ω = 100 =2πfmm
50
? f= m ,
由抽样定理 f ? 2fsm
50100? f? 2× = s ,,
,T? s100
17
(2) 由对偶性质可知
Sa(100t)的频谱是个矩形脉冲，其脉宽为[-100,100]
又由频域卷积定理可知
2(100t)的频谱是脉宽为[–200,–200]的三角形脉冲 Sa
即Ω = 200 =2πfmm
100 ? f= m ,
由抽样定理 f ? 2fsm
200100? f? 2× = s ,,
,T? s200
(3) 由线性性质可知
22Sa(100t)+ Sa(100t) 的频谱是Sa(100t)和Sa(100t)之和
?其Ω =2πf= 200 mm
100即 f= m ,
200则f ? 2f= m s,
,T? s200
2-17已知人的脑电波频率范围为0,45Hz，对其作数字处理时，可以使用的最大抽样周期T是多少,若以
T = 5ms抽样，要使抽样信号通过一理想低通滤波器后，能不是真的回复原信号，问理想低通滤波器的截
至频率f应满足什么条件, c
解:由已知条件，可知f = 45Hz m
由抽样定理f ? 2f= 90Hz sm x(f)
1? T ? 90
10001f T = 0.005 ? f= = = 200 s T5-45 0 45 由抽样定理和低通滤波可知
45 ? f? 200-45 = 155 c
x(f) 即45 ? f? 155 c
f 2-18若F[a(t)] = X(Ω), 如图2-85所示，当抽样
-45 0 45 200
脉冲p(t)为下列信号时，试分别求抽样后的抽样
Ω) X(1 信号的频谱X(Ω), 并画出相应的频谱图 s
(1) p(t) = cos t
Ω
18 -1 0 1
图 2-85
(2) p(t) = cos2 t
，,
,(t,2,n) (3) p(t) = ,n,,,
，,
,(t,,n) (4) p(t) = ,n,,,
解:由抽样特性可知
x= x(t) p(t) s
由频域卷积定理可知
1 X(Ω) = X(,)*P(,) s (Ω) X s,21
(1) P(Ω) = [δ(Ω+1)+δ(Ω-1)]
1/2 1? X(Ω) = X(,)*P(,) s Ω ,2
1-2 -1 0 1 2 = [X(,，1)，X(,,1)]218 (1) (Ω) X s(2) P(Ω) = [δ(Ω+2)+δ(Ω-2)] 1
1? X(Ω) = X(,)*P(,) s 1/2 ,2
Ω 1 = [X(,，2)，X(,,2)]2-3 -2 -1 0 1 2 3
18 (2)
，,,2,(,,n)(3) P(Ω) = ,1X (Ω) s2, n,,, ,2
，,
,(,,n) = ,Ω n,,,
-3 -2 -1 0 1 2 3 1? X(Ω) = X(,)*P(,) s 18 (3) ,2
，,1X(,,n) = ,,2n,,,
，,,2,(,,2n)(4) P(Ω) = ,,n,,,1 (Ω) X s ,，,
2,(,,2n) = ,n,,,Ω
1-3 -1 1 2 3 -2 0 ? X(Ω) = X(,)*P(,) s ,218 (3)
19
，,1X(,,2n) = ,,n,,,
X (1) = 2, X (2) = 0, X (3) = 2 ppp
3-1 解:序列频谱的定义为
，,,jn,j,x(n)eX(e), =
n,-,
，,,jn,j,,(n)eX(e),(1) = = 1
n,-,
，,,jn,j,-j3,,(n,3)eX(e),e(2) = =
,,n-
，,,jn,j,[0.5,(n，1)，,(n)，0.5,(n,1)]eX(e),(3) =
n-,,
j,,j,e，ej,-j, 0.5e0.5ecos , = + 1 += 1 + = 1 + 2
，,,njn,j,au(n)eX(e),(4) =
n,-,
，,，,,,njn,j,nae(ae),, = = (?0 < a < 1, ?收敛)
,n,0n0
1 = ,j,1,ae
,,jN，,N,11,e,,jnjn,,j,eR(n)e X(e),,N(5) = = = ,j,1,en,-,n,0
,N,,,NNN,jj,jsin222N-1ee,e2,-j 2 e,,, = ?= ,,jj,jsin222ee,e2
，,,jn,x(n,n)e,03-2 (1) DTFT[x(n-n)] = 0,,n-
，,,jn,,jm,0,,jnj,0m,n,nx(m)eeX(e)e,0=
,,m-
20
，,，,*,jn,jn,**x(n)e[x(n)e],, (2) DTFT[x(n)] = =
n,-,,,n-，,,,jn(,)**-j,[x(n)e]X(e),= =
,,n-
，,,,,,,jn,jm,()-j,x(-n)em,,nx(m)eX(e),, (3) DTFT[x(-n)] = =
n,-,,，,m
，,,jn,[x(n) * y(n)]e,(4) DTFT[x(n)* y(n)] =
n,-,
，,，,，,，,,,jn,,jnx(m)y(n,m)ex(m)y(n,m)e,,,,= =
,,,,,,,,,,n--mmn，,，,j,,jm,,j,jm,x(m)Y(e)eY(e)x(m)e,, = = m,,,m,,,
j,j,X(e)Y(e) =
，,,jn,x(n)y(n)e, (5) DTFT[x(n) y(n)] =
n,,,
，,,1,jjn,,jn,[X(e)ed,]y(n)e, = ,,,2,n,,,
，,,1,,,(,,)jjnX(e)[y(n)e]d,, = ,,,2,,,,n
,11,jj()j,j,,,,X(e)*Y(e)X(e)Y(e)d, = = ,,,,22,
，,d,jn,j,nx(n)ej[X(e)], (6) DTFT[nx(n)] = = d,n,,,
，,,jn,x(2n)e, (7) DTFT[x(2n)] =
n,,,
,，,,jm2m,2nx(m)e ,
m,,,
21
jmjm,,，,m1,,22m取整数[x(m)e，(,1)x(m)e],
m2,,,,,，,，,j11,jm,m22x(m)ex(m)(,e),, = +
22m,,,m,,,,,jj1122X(e)X(,e) = + 22
1j,j,2X(e)*X(e) (8) DTFT[x(n)] = ,2
，,，,,jn,,j2n,x(n)ex(2n)e,,aa (9) DTFT[x(n)] = = an,,,n,,,
，,,j2n,j2,x(n)eX(e), = =
n,,,
1,,10j,jn,jn,X(e)ed,ed,3-3 解:x(n) = = ,,,,,,202,,
jn,,jn,001ee1,jn,,0e|, = , = ,0n,2j,2jn
,n,n,,sinsin0000,Sa(n,) = = = 0,n,n,,0
3-4解: 由DFS的定义
,1Nnkx(n)W,pN X (k) = p,0n
,2 N,1,jn，02x(n)e ? X (0) = ,pp1 n,0n 3
x(n)-2 -1 0 1 2 3 4 5 , = p = 4
n,0图3-44
,3,jn2x(n)e, X (1) = = 2 + (–j ) ppn,0
+ 0 + j = 2
22
3,jn,x(n)e,pX (2) = = 2 + (–1 ) + 0 + (–1 ) = 0 p0n,
,33,jn2x(n)e X (3) = = 2 + j + 0 + (–j ) = 2? X (k)是周期函数，其周期长度N=4 ,pppn,0
, ? X (k) = Z[1+cos(k)]或 X (0) = 4, X (1) = 2, X (2) = 0, X (3) = 2 ppppp2
3-5 解: 由DFS的定义
2,N,1,jnkN X (k) = xe()np1,pn,0
2,21N,,jnk2N X (k) = xe()np2p,n,0
2,2,N,121N,,jnk,jnk2N2N+ =xe()nxe()npp,,n,0nN,
2,k2,kN,1N,1()mN，,jn(),jN2N2 mnN,,+ xe()nxe()mN，,,ppn,0m,0
2,kN,1m,jk,jk,N2 = X () + xe()mep1,p2m,0
kkk,jk,,jk, == ()(1 )，e()() ，eXXXp1pp11222
为奇数0 , k,, = ,kX为偶数2() , kp1,,2
3-6。解:与3-4答案相同，可由定义求出。
x(n) 只不过此时的x(k)非周期的。
2
, X (k) = Z[1+cos(k)]R(k) 1 p42n
或 X (0) = 4, X (1) = 2, X (2) = 0, X (3) p1p1p1p1-2 -1 0 1 2 3 4 5 = 2
图3-45 离散时间信号
3-8 解:(1)由定义得，
2,2,jnk3 Xk(),e,n,0
23
20? X(0),e,3,n,0
2,24,,2,jn,,jj333 X(1),e,，,10ee，,n,0
4,42,,2,jn,,jjn333 Xee(2),，e,，1,0,n,0
2,m (2)? Nm,,4,
2
?只要，N就取整数 m,1N,4
2,3,jnk,N ? Xk(),cosne,2n,0
3,,j0 ? X(0),cosne,，,，,10100,2n,0
,3,jn,2 X(1),cosne,，，，,10102,2n,0
3,,jn, X(2),cosne,，,，,10100,2n,0
3,3,jn,2 X(3),cosne,，，，,10102,2n,0
Xkk()1cos, k=0,1,2,3,,,
2,3,jnkN(3) Xk(),xne(),n,0
3
? X(0),xn(),5,n,0
,3,jn2 X(1),xn()ejjj,，,，，,，1(2)132,n,0
3,jn, X(2),xn()e,，,，,，,,,1(2)(1)(3)5,n,0
3,3,jn2 X(3),xn()ejjj,，，，,,,121(3)2,n,0
24
2,N,1,jnkNDFTxnXk()(),,xne(),,,n,03-9 解:(1)
2,N,1,jnkN? . . . X(0)1,X(1)1,XN(1)1,,DFTnXk,()1(),,,,()ne,,,n,0
? XkR()1,,(), 0,1,2,...,1kkN,,N
2,6,N,1,jk,jnkNN(2) DFTn,(3),,,,(3)ne,e,,,n,0
2,N,1NjkN,2,,jnk11,,aeannN，，(3) aeDFTa,,,,22,,，，,,jkjkn,0NN11,,aeae
22,,NN,,11,,jnkjwkn()0jwnjwn00NN，，(4) DFTe,,eee,,，，nn,,00
jwNjwNjk2,0011,,eee ,,22,,,,jwkjwk()()00NN11,,ee
2,2222,,,,NN,,11jnjnjnkjkn,,()，，NNNNN (5) DFTeeee,,,,,,nn,,00，，
jk2(1),,Nk , 1,,,1,e ,,,,,Nk(1),,2,jk(1),0 , 1 k,,,N1,e
,N,,N11,z,,nnZxnxnzzz()() (1),,,,3-10 解:(1) ,,,,,11,znn,,,,0
2,,jk2,N,1,jnk1,eNDFTxnxneNk()()(),,,, (2) ,,,2,,jkn,0N1,e
,,N1jwjnwjnw,,DTFTxnXexnee()()(),,, (3) ,,,,nn,,,,0
NNN,,jwjwjwjNw2221(),,eeee,,www,jw,,jjj1,e222eee(),
NsinwN,1,jw()22,ewsin2
25
jwXeN(), 当时， w,0
2,jwXe()0, 当时， ,wkN
11(4)由(3)可得，当x(n)由4点通过补零扩为10点时，此时的圆卷积和线卷积的
结果相同。由于线卷积的长度为4+4-1=7 ?可知x(n)由4点通过补零扩为最少7点时，圆卷积和线卷积相等。
,ln，，IDFTXklRkxnW()()(),,3-12
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
:频移定理为 pNN，，
由IDFT的定义可知，
，，IDFTXklRk()(),pN，，
2,N,1jnk1N,,Xkle(),pNk,0
22Nl,,1,,jnmj,ln，，1NN,Xmee()p,,,Nkl,,，，
2jln,,lnN,,xnexnW()()N
3-13 解:频移定理
,ln，，IDFTXklRkxnW()()(),, pNN，，
22,,jmnjmn,211,,mnmnNNmneeWW,，,，cos()()() (1)? NNN22
211,，，,mnmn，，，，DFTxnmnDFTxnWDFTxnW()cos()()(),， ? NN，，，，,,N22，，
由频移特性:
21,，，，，DFTxnmnXkmXkmRk()cos()()()(),,，， ppN，，,,N2，，
22,,jmnjmn,211,,mnmnNNmneeWW,，,，sin()()() (2)? NNNjj22
211,，，,mnmn，，，，DFTxnmnDFTxnWDFTxnW()sin()()(),， ? NN，，，，,,Njj22，，
由频移特性:
21,，，，，DFTxnmnXkmXkmRk()sin()()()(),,，， ppN，，,,Nj2，，
3-14
解:由DFT的定义可知，
26
22,,rNN,,11,,jnkjnkrNrNDFTynynexne()()(),,,,,,nn,,00 2kN,1,,jn()kNr,,xneX()(),rn,0
3-15 证明:频域圆卷积定理， ynxnhn()()(), 若 则 YkXkHk()()(),,
N,11 ()()(),,XlHklRl ,pNNl,0
N,11 ()()(),,HlXklRl,pNNl,0
N,1,nkYkDFTynxnhnW()()()(),,,,,Nn,0
NNN,,,1111，，,,nklnnk，， ()()()(),,xnIDFTHkWxnHkWW,,,,,NNN，，,,Nnnl,,,000，， NN,,111()kln, ()(),HlxnWN,,Nln,,00
N,11 ()()(),,HlXklRlpN,Nl,0
N,11YkXlHklRl,,()()()() 同理可证 ,pNNl,0
3-16 证明:由卷积的定义可知
,
xnnxmnmxn()()()()(),,,,,,(1) ,m,,,
,xnnnxmnnmxnn()()()()(),,,,,,,,,(2) ,000m,,,
1111,3Ts,,,0.02Ts,,,，3-19解:(1)(2)0.510 max1minF50f，221000，，n，，
T0.0261 (3) ?N,,264 ,,,N40min,3，T0.510
7N,,2128 (4)分辨力提高一倍，则，则N,80，取 Ts,0.041min
Nnn，，，，DFTRnNk()(),,3-17解:18..又 (1)(1)()()DFTDFTRnXk,,,,，,,NN，，，，2
Nn，， ? (1)(),,，,DFTNk，，2
27
(0) (0) (0) x(0) xxxX(0) 123x(1) x(1) x(1) x(8) X(1) 123x(2) x(2) x(2) x(4) X(2) 123x(3) x(3) (3) X (3) x(12) x123x(4) x(4) x (4) X (4) x(2) 123x(5) x(5) x (5) X (5) x(10) 123x(6) (6) (6) X(6) x(6) xx123x(7) x(7) (7) X (7) x(14) x123x(8) x(8) x (8) X(8) x(1) 123(9) x(9) x (9) X (9) x(9) x123x(10) x(10) (10) X (10) x(5) x123
x(13) x(11) x(11) x (11) X (11) 123x(12) (12) (12) X (12) x(3) xx123x(13) x(13) x (13) X (13) x(11) 123x(14) x(14) x (14) X (14) x(7) 123x(15) x(15) x (15) X(15) x(15) 123
NN,,11,1N222221(21)，，nnkrrkrrk3-18 解: DFTXNWWW()(1)(1)(1),,,,，,，，,,,NNN，，,,,000nrr
NN,,1122rkkrk ,,WWW,,NNNrr,,0022
Nnn，，，， (1)(1)()()DFTDFTRnXk,,,,，N，，，，2
28
5-1 用冲击响应不变法求相应的数字滤波器系统函数H(z)
s，3 1)H(s) = a2s，3s，2
s，12)H(s) = a2s，2s，4
解:由H(s)分解成部分分式之和 a
s，3s，312 1)H(s) = ==– a2(s，2)(s，1)s，1s，2s，3s，2
,T,T,1121，e(1,2e)z?H(z) = –= ,T,1,2T,1,T,T,1,3T,21,ez1,ez1,e(1，e)z，ez
11
s，1222)H(s) = =+ a,,2j,js，2s，433s，2es，2e
11
,T,1221,ecos(3T)z,,?H(z) = += ,jj,T,1,2T,233,2Te,1,2Te,11,2ecos(3T)z，ez1,ez1,ez
5-2 设h(t)表示一个模拟滤波器的单位冲击响应 a
,0.9t
e , t?0
h(t)= a
0 , t,0
(1)用冲击响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波器，确
定系统函数H(z)(以T作为参数)
(2)证明，T为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤
波器近似为低通滤波器，还是高通滤波器
,0.9te 解:(1)? h(t)= u(t) a
29
1 ? H(s) = as，0.9
1 ? H(z) = ,0.9T,11,ez
1 (2)? H(z) = ,0.9T,11,ez
,0.9Te 则其极点为z=
? T > 0 ? |z| < 1
,jej,H(z)|j,e) = = H(j,,0.9Tz,ee,e
j,e可以看出当ω?时，| H() |?
? 是低通滤波
5-3 图5-40是由RC组成的模拟滤波器，写出其系统函数H(s)，并a选用一种合适的转换方法，将H(s)转换成数字滤波器H(z) a
解:由回路法可知(这是一个高通滤波器)
C
dUtdxtdyt()()()caa(t) R y(t) xRCRCRCy(t)== – aaadtdtdt
Y(s)RCs? == H(s) aX(s)1，RCs
由于脉冲响应不变法只适宜于实现带通滤波器，所以最好用双线
性变换法实现H(z)
,12RC1,z,,1,1T1，z2RC(1,z)H(s)|,1a21,z,1?H(z) === ,1,2s,,2RC1,z(T，2RC)，(T,2RC)z,z,1T1，,1，z,1T1，z
30
,c5-4 设模拟滤波器的系统函数为H(s)= ，式中Ω是模拟滤波acs，,c器的3dB带宽，利用双线性变换，设计一个具有0.2π的3dB带宽的
单极点低通数字滤波器
解:由预畸可知
210.65tan(，0.2,),== cTT2
0.65
T H(s) = ?a0.65s，T
由双线性变换法可得
0.65
,1T0.65(1，z)H(s)|,1a21,z,1H(z) === ,1s,,21z0.65,2.65,1.35z,1T1，z,，,1T1zT，
5-5 要求通过模拟滤波器设计数字滤波器，给定指标:3dB截至角频
率ω=π/2，通带内ω=0.4π处起伏不超过1dB，阻带内ω=0.8π处cps衰减不小于20dB，用Butterworth滤波特性实现
(1)用冲击响应不变法
(2)用双线性变换法
解:(1)用冲击响应不变法
? 先将数字指标转换为低通原型模拟滤波器指标
,0.4,p,== pTT
,0.8,s,== sTT
31
?设计模拟滤波器，求出H(s) aButterworth的频响函数为
12|H(j,)|= a,2n1，()
,c
111,10H(j,)10? === ap,,pp2n2n1，()1，()
,,cc
2011,10H(j,)10=== as,,2n2nss1，()1，()
,,cc
2,101lg()110,101? n = =2.14 ,s2lg(),p
? 取 n = 3
,? 求 c
12,2|H(j,)|10= = a,2ns1，()
,c
,,0.8s
? ω= rad/s = = 0.372π 6c 629910,1
,c,,? = 设T = 1, 则 = 0.372π ccT
? 求H(s)查表可得 a
1,H(s), a2,,,(s，1)(s，s，1)
1,()|,Hs? H(s) = asa2,s,sss,c(，1)(，，1)2,,,ccc
32
? 由冲击响应不变法
先将H(s)分解成部分分式 a
AAA123
++ H(s) =as，ss，ss，s123
=
AAA123
则H(z) =++ ,sT,1sTsT,,,1,13121,ez1,ez1,ez
=
(2)用双线性变换法
?由预畸求模拟滤波器原型指标
1.453,2ptan,== pT2T
0.155,2stan,== sTT2
?设计模拟滤波器，求出H(s) a
Butterworth的频响函数为
12|H(j,)| = a,2n1，()
,c
11,10H(j,)10? == ap,p2n1，()
,c
201,10H(j,)10== as,2ns1，()
,c
33
2101,lg()1
10101, ? n = =1.51 ,s2lg(),p
取n =2
, ?求 c
12,2|H(j,)|10 == 取T=1 as,2n1，()
,c
,6.155s
, ? =rad/s = = 2.862 6c269910,1
?求H(s) a
查表可得:
1
,H(s) = 2a,,s，1.4142s，1
1,H(s)| H(s) = = asa2,s,ss,c，1.4142，12,,cc
=
?由双线性变换法求
H(s)|,1a21,z H(z) == s,,,1T1，z
5-6 已知图5-41h(n)是偶对称序列N=8，h(n)是h(n)圆周位移后的121
序列。设H(k)=DFT[h(n)], H(k)=DFT[h(n)] 1122
(1) 问|H(k)| = |H(k)|是否成立,θ(k)与θ(k)有什么关系, 1212
(2) h(n)，h(n)各构成低通滤波器，试问它们是线性相位的,延时12
34
是多少,
(3) 这两个滤波器的性能是否相同,为什么,若不同谁优谁劣,
解:(1) 由DFT的时移定理
mkWX(k) DFT[x(n-m)R(n)]= 可知 pNN
H(k)和H(k)只有相位差，幅值相等，即有 12
|H(k)| = |H(k)| 12
mkWθ (k)和θ(k)相差12N
,2,j4k,jk,4k8eWe即θ(k)–θ(k)= == 218
(2) ? 无论h(n)，h(n)都是偶对称序列 12
? 所以他们构成的低通滤波器具有线性相位
N,18,1
延时 α===3.5 22
(3) 不相同，相位相差kπ
h(n)要优于h(n)，因为其相位滞后时间少 12
5-7用矩形容器设计一个近似理想频率响应的FIR线性相位的数字滤
,j,,e , 0, |,|,,波器 c
j,e H() = d
,, |,|,, 0 ， c
(1) 求出相应于理想低通的单位脉冲响应h(n) d
(2) 求出矩形窗设计法的h(n)表达式确定τ与N之间的关系
(3) N取奇数或偶数对滤波特性有什么影响,
35
,1jjn,,H(e)ed, 解:(1) h(n)= dd,,,2,
sin[,(n,,)]1,c,cjjn,,,eed, = = ,,,(n,,),2c,
(2) h(n)= h(n) R(n), h(n)只能取偶对称序列，由线性相位 dN
N,1 τ= 2
(3) 由于N无论取奇数还是偶数，都可实现低通滤波，而且只
N,1要N的取值使h(n)为关于的偶对称函数，就能保证线性相关，2
另外N的大小，只影响余振的多少和过滤带的窄宽，不会影响阻带良域。
5-8用矩形容器设计一个线性相位高通FIR数字滤波器
j,,,e , ,, |,|,, c
j,e H() = d
0, |,|,, 0 ， c
(1) 求出响应于理想高通的单位脉冲响应h(n) d
(2) 求出矩形窗口设计法的h(n)表达式，确定τ与N之间的关系
(3) N的取值有什么限制,为什么,
,1jjn,,H(e)ed, 解:(1) h(n)= dd,,,2,
11,,,cjjn,jjn,,,,,,,eed,eed, = + ,,c,,,22,,
11,,,j(n,)j(n,),,,,ed,ed, = + ,,cc,,22,,
,1,j(n,)j(n,),,,,[e，e]d, = ,c,2,
36
,1cos[,(n,,)]d,= ,c,,
1,sin[,(n,,)]|= ,c(n,),,
,,sin[(n,)]1csin[(n,,),]= – (n,),(n,,),,
,cSa[,(n,,)]Sa[,(n,,)]= – c,
? h(n)仍然是偶函数 d
(2) h(n)= h(n) R(n) dN
? h(n)为偶对称序列，要保持滤波器具有线性相位，则须有
N,1τ= 2
(3) 这是一个高通滤波器，由于h(n)为偶对称，而当N取偶数时，所得到的滤波器不能实现高通特性
? N只能取奇数
5-9考虑一个长度为M=15的线性相位FIR滤波器，设滤波器具有对称单位样值响应，并且它的幅度响应满足条件
1， k = 0, 1, 2, 3
2k,
H() = 15
0， k = 4, 5, 6, 7 确定该滤波器的系数h(n)
,jH(e)|a2, 解:由于H(k) = ,k,N
37
2,N,1jnk1NH(k)e ? h(n) = IDFT[H(k)] = ,Nk,0214,j0k115H(k)e ? h(0) = = 1 ,15k,0
28j,21415,jk11,e115,H(k)e h(1) = =2 ,,15j15k,0151,e
56j,41415,jk11,e115,H(k)e4 h(2) = = ,,15j15k,0151,e
84j,61415,jk11,e115,H(k)e6 h(3) = = ,,15j15k,0151,e
h(4) = 0
h(5) = 0
h(6) = 0
h(7) = 0
由频率特性可知，这是一个低通滤波器
N,115,1
? 要取h(n)关于α===7这一点偶对称时，可实22现低通滤波(奇对称时，无法实现低通滤波)
? 取 h(8) = h(6)
h(9) = h(5)
h(10) = h(4)
h(11) = h(3)
h(12) = h(2)
h(13) = h(1)
38
h(14) = h(0)
5-10设FIR滤波器的系统函数为
-1-2-3-4H(z) = 0.1(1+0.9z+2.1z+0.9z+z) 求出滤波器的单位抽样响应，判断是否具有线性相关，并求出其幅度特性和相位特性，画出其直接型结构和线性相位型结构
39
浙公网安备 33021202002483