最小多项式

最小多项式 ?9 最小多项式 n根据哈密尔顿—凯莱定理，任给数域上一个级矩阵，总可以找到数域上一个多项式，f(x)PAP 使. 如果多项式使，就称以为根 当然，以为根的多项式是很多的. f(A),0f(x)f(A),0f(x)AA 一、定义 1(定义:次数最低的首项系数为1的以为根的多项式称为的最小多项式. AA2(基本性质 引理1 矩阵的最小多项式是唯一的. A 引理2 设是矩阵的最小多项式，那么以为根的充要条件是整除. g(x)f(x)g(x)f(x)AA由此可知，矩阵的最小多项式是的特征多项式的一个因式. AA 3(如何求矩阵的最小多项式 A 例1 数量矩阵的最小多项式为， kEx,k 特别地，单位矩阵的最小多项式为， x,1 x零矩阵的最小多项式为. 另一方面，如果的最小多项式是1次多项式，那么一定是数量矩阵. AA例2 设 11,,,,A,1 ,, ,,1,,求的最小多项式. A 例3 相似矩阵有相同的最小多项式， 反之不然( 设 1111,,,, ,,,,11,,,,AB,,,. ,,,,12 ,,,,22,,,, 2(x,1)(x,2)与的最小多项式都等于， AB 但是它们的特征多项式不同，因此和不是相似的. AB 二、应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化的问题 ,(引理3 设是一个准对角矩阵 A A,,1,,, A,,,A2,, 并设A的最小多项式为g(x)，A的最小多项式为g(x), 那么的最小多项式为g(x), A12211 g(x)的最小公倍式[g(x),g(x)]. 212 这个结论可以推广到为若干个矩阵组成的准对角矩阵的情形.即:如果 A A,,1,,A,,2, A,,,？,,,,As,, g(x),i,1,2,？,s[g(x),g(x),？,g(x)]A的最小多项式为，那么的最小多项式为 Ai12si ,(引理4 级若尔当块 k a,,,,1a,,J, ,,？？,,,,1a,, k(x,a)的最小多项式为. n,(定理15 数域上级矩阵与对角矩阵相似的充要条件为的最小多项式 PAA是上互素的一次因式的乘积. P ,(推论 复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是的最小多项式没有重根. AA fx()fA()0,更广一点讲, 在复数域上, 如果存在一个没有重根的多项式 , 满足, 则 就可以对角化. A 32n例. 设 是 阶方阵，满足 ， 问 是否相似于对角矩阵 AAAE，,,,220AA 32fxxxxxxx()22(1)(1)(2),，,,,，,，解: 是 的化零多项式， 从而 的最小多AA 项式没有重根，可以对角化， 第七章 线性变换(小结) 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内存联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示, 在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念:线性变换,可逆线性变换与逆变换;线性变换的值域与核，秩与零度;线性变换的和与差,乘积和数量乘法,幂和多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间. n(5) 线性空间的线性变换A的象与核是的子空间.若dim()=,则Im(A)由的一组VVVV ,,n基的象生成,而A的秩+A的零度=,且A是双射A是单射 Ker(A)={0}. 二、线性变换与矩阵 1.基本概念:线性变换在基下的矩阵;相似矩阵. 2.基本结论 ,,,,？,,,,,,,？,,,V,L(V)(1) 若是线性空间的一个基, ,则存在唯一A,使V12n12n (,),,,i,1,2,？,n得A. ii n(2) 在取定维线性空间的一个基之后,将的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相VV 对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积;可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。 (3) 同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的;反之,若两个矩阵相似,则它们可看作是同一线性变换关于两个基的矩阵. ,,,,？,,,(4) 若在线性空间的一个基下,线性变换A对应的矩阵为,向量的坐标AV12n (x,x,？,x),为,则 A的秩=秩(),A()的坐标 A12n yx,,,,11,,,,yx,,,,22. ,A,,,,？？,,,,,,,,yxnn,,,, 三、特征值与特征向量 1.基本概念:线性变换(或矩阵)的特征值与特征向量;特征多项式与最小多项式;特征子空间. 2.基本结论: (1) 线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量及特征子空间的关系(略) (2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. (3) 相似矩阵有相同的特征多项式,反之不然. (4) Hamilton,Caylay定理:设线性变换A在某个基下的矩阵为,f(,),|,E,A|,则Af(A),0,f(A)=0. 四、对角化问题 1. 基本概念:不变子空间,标准形. Jordan 2. 基本结论: n设A是数域上维向量空间的一个线性变换,则 PV n(1) A的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵A有个线性无关的特征向量. , n可以分解为个一维不变子空间的直和. ,V nn,A的所有不同的特征子空间的维数之和等于.因而,当A有个不同特征值时, A必在某个基下的矩阵是对角形式. (2) A在某组基下的矩阵是为角形可以分解为A一子空间的直和 ;A在某组基下,V 的矩阵为对角形A的最小多项式(即A在任一基下矩阵的最小多项式)是上互素的一次,P因式的乘积. n(3) 设为阶矩阵，则必与一个标准形矩阵相似，且在不计若当块的排列次序AAJordan 的意义下，这个标准形是唯一的;而与对角矩阵相似的最小多项式无重根.于,AAJordan 是，当的特征多项式无重根时，必与一个对角矩阵相似. AA 本章的重点:线性变换的矩阵表示以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点:不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系. 本章的主要内容及其内存联系可用下图表示: 对角矩阵 线性变换的定义 线性变换的运算 线性变换的矩阵 特征值与特征向量 对角矩阵 线性变换的值域与核 最小多项式 不变子空间 Jordan标准形 矩阵的三大关系 等价 相似 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 对象 m，n矩阵 n阶方阵 n阶实对称矩阵 A可经初等行变换一个线性变换在不同二次型经非退化线性变换来源 得到B 基下的矩阵 后～新旧矩阵之间的关系 存在P, Q可逆～ 存在P可逆～使得 存在P可逆～使得 刻划 -1 T B = PA P B = PA P 使得B = P A Q 共同点 都满足反身性、对称性和传递性～都保持矩阵的秩不变 有n个线性无关的特 E，，p最简0E，，r,,E, 征向量时相似于对角r,p,,00,,，，m，n0形式 ，， 形矩阵 有相同的特征多项 性质 秩相同 有相同的秩与正惯性指数 式～有相同的特征值 等价类1 (n，1)(n，2)r+1, r=min(m, n) 无限多个 2个数