南昌大学实验报告
学生姓名: 周倩文 学 号: 6301712010 班级: 通信121班
实验类型: ■验证□综合□
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
□创新 实验日期: 5月30号 实验成绩:
z变换及离散时间系统的Z域分析
一、目的
(1)掌握利用MATLAB绘制系统零极点图的方法
(2)掌握离散时间系统的零极点分析方法
(3)掌握用MATALB实现离散系统频率特性分析的方法
(4)掌握逆Z变换概念及MATLAB实现方法
二、离散系统零极点
线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述,即
(8-1)
其中
为系统的输出序列,
为输入序列。
将式(8-1)两边进行Z变换的
(8-2)
将式(8-2)因式分解后有:
(8-3)
其中
为常数,
为
的
个零点,
为
的
个极点。
系统函数
的零极点分布完全决定了系统的特性,若某系统函数的零极点已知,则系统函数便可确定下来。
因此,系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析,可以分析离散系统以下几个方面的特性:
● 系统单位样值响应
的时域特性;
● 离散系统的稳定性;
● 离散系统的频率特性;
三、离散系统零极点图及零极点分析
1.零极点图的绘制
设离散系统的系统函数为
则系统的零极点可用MATLAB的多项式求根函数roots()来实现,调用格式为:
p=roots(A)
其中A为待根求多项式的系数构成的行矩阵,返回向量
则是包含多项式所有根的列向量。多项式根的MATLAB命令举例如下:
A=[1 3/4 1/8];
P=roots(A)
运行结果为:
P =
-0.5000
-0.2500
需注意的是,在求系统函数零极点时,系统函数可能有两种形式:一种是分子、分母多项式均按z的降幂次序排列;另一种是分子、分母多项式均按
的升幂次序排列。这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。
(1)
按z的降幂次序排列:系数向量一定要由多项式最高次幂开始,一直到常数项,缺项要用0补齐;如
其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 0 2 0]、B=[1 3 2 2 1]。
(2)
按
的升幂次序排列:分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同,不足的要用0补齐,否则
的零点或极点就可能被漏掉。如
其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 2 0]、B=[1 1/2 1/4]。
用roots()求得
的零极点后,就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。下面是求系统零极点,并绘制其零极点图的MATLAB实用函数ljdt(),同时还绘制出了单位圆。
例1:绘制如下系统函数的零极点
(1)
(2)
解:MATLAB命令如下
(1)
绘制的零极点图如图8-1(a)所示。
(2)
绘制的零极点图如图8-1(b)所示。
(a) (b)
2.离散系统零极点分析
(1)离散系统零极点分布与系统稳定性
《信号与系统》课程已讲到离散系统稳定的条件为:
● 时域条件:离散系统稳定的充要条件为
,即系统单位样值响应绝对可和;
● Z域条件:离散系统稳定的充要条件为系统函数
的所有极点均位于Z平面的单位圆内。
对于三阶以下的低阶系统,可以利用求根公式求出系统函数的极点,从而判断系统的稳定性,但对于高阶系统,手工求解则显得十分困难,这时可以利用MATLAB来实现。实现方法是调用前述的函数ljdt()绘出系统的零极点图,然后根据极点的位置判断系统的稳定性。
例2:系统函数如例1所示,判断两个系统的稳定性。
解:由例1绘出的零极点图可以看出两个系统的稳定性分别为:第(1)个系统不稳定;第(2)个系统稳定。
(2)零极点分布与系统单位样值时域特性的关系
从《信号与系统》课程中已经得知,离散系统的系统函数
与单位样值响应
是一对Z变换对;因而,
必然包含了
的固有特性。
离散系统的系统函数可以写成
(8-4)
若系统的
个极点均为单极点,可将
进行部分分式展开为:
(8-5)
由Z逆变换得:
(8-6)
从式(8-5)和(8-6)可以看出离散系统单位样值响应
的时域特性完全由系统函数
的极点位置决定。从《信号与系统》的学习中已经得出如下规律:
●
位于Z平面单位圆内的极点决定了
随时间衰减的信号分量;
●
位于Z平面单位圆上的一阶极点决定了
的稳定信号分量;
●
位于Z平面单位圆外的极点或单位圆上高于一阶的极点决定了
的随时间增长的信号分量;
下面以例子证明上述规律的正确性:
例3:已知如下系统的系统函数
,试用MATLAB分析系统单位样值响应
的时域特性。
(1)
,单位圆上的一阶实极点;
(2)
,单位圆上的一阶共轭极点;
(3)
,单位圆上的二阶实极点;
(4)
,单位圆内的一阶实极点;
(5)
,单位圆内的二阶实极点;
(6)
,单位圆外的一阶实极点;
解:利用MATLAB提供的函数impz()绘制离散系统单位样值响应波形,impz()基本调用方式为(其他方式,请读者参看MATLAB帮助):impz(b,a,N),其中,b为系统函数分子多项式的系数向量,a为系统函数分母多项式的系数向量,N为产生序列的长度;需要注意的是,b和a的维数应相同,不足用0补齐,例如
的b=[0 0 1],a=[1 –2 1]。下面是求解个系统单位样值响应的MATLAB命令:
(1)a=[1 -1];
b=[0 1];
impz(b,a,10)
运行结果如图8-2(a)所示。
(2)a=[1 –2*cos(pi/8) 1];
b=[0 0 1];
impz(b,a,50)
运行结果如图8-2(b)所示。
(3)a=[1 -2 1];
b=[0 1 0];
impz(b,a,10)
运行结果如图8-2(c)所示。
(4)a=[1 -0.8];
b=[0 1];
impz(b,a,10)
运行结果如图8-2(d)所示。
(5)a=[1 -1 0.25];
b=[0 0 1];
impz(b,a,10)
运行结果如图8-2(e)所示。
(6)a=[1 -1.2];
b=[0 1];
impz(b,a,10)
运行结果如图8-2(f)所示。
稳定 不稳定
不稳定 稳定
稳定 不稳定
四、离散系统频率特性分析
1.离散系统的频率响应
对于某因果稳定离散系统,如果激励序列为正弦序列:
则,根据《信号与系统》课程给出的结果有,系统的稳态响应为:
定义离散系统的频率响应为
其中,
——称为离散系统的幅频特性;
——称为离散系统的相频特性;
是以
为周期的周期函数,只要分析
在
范围内的情况,便可分析出系统的整个频率特性。
2.用MATLAB实现离散系统的频率特性分析方法
(1)直接法
设某因果稳定系统的系统函数
,则系统的频响特性为:
MATLAB提供了专门用于求离散系统频响特性的函数freqz(),调用freqz()的格式有以下两种:
● [H,w]=freqz(B,A,N)
B和A分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量,N为正整数,返回量H则包含了离散系统频响
在
范围内N个频率等分点的值,向量w则包含
范围内N个频率等分点。调用中若N默认,默认值为512。
● [H,w]=freqz(B,A,N,’whole’)
该调用格式将计算离散系统在
范围内N个频率等分点的频率响应
的值。
因此,可以先调用freqz()函数计算系统的频率响应,然后利用abs()和angle()函数及plot()函数,即可绘制出系统在
或
范围内的频响曲线。
例4:绘制如下系统的频响曲线
解:MATLAB命令如下:
运行结果如图所示。
(2)几何矢量法
利用几何矢量求解示意图如图8-4所示。
有:
则系统的幅频特性和相频特性分别为:
(8-7)
(8-8)
根据式(8-7)和(8-8),利用MATLAB来求解频率响应的过程如下:
● 根据系统函数
定义分子、分母多项式系数向量
和
;
● 调用前述的ljdt()函数求出
的零极点,并绘出零极点图;
● 定义Z平面单位圆上的
个频率分点;
● 求出
所有的零点和极点到这些等分点的距离;
● 求出
所有的零点和极点到这些等分点矢量的相角;
● 根据式(8-7)和(8-8)求出系统的
和
;
● 绘制指定范围内系统的幅频曲线和相频曲线;
下面是实现上述过程的实用函数dplxy()。有四个参数:k为用户定义的频率等分点数目;B和A分别为系统函数分子、分母多项式系数向量;r为程序绘制的频率特性曲线的频率范围(
)。
例5:已知某离散系统的系统函数为:
绘出该系统的零极点图及频响特性。
解:MATLAB命令如下:
A=[1 -1/4];
B=[5/4 -5/4];
dplxy(500,2,A,B)
运行结果如图8-4所示。
图8-4 离散系统的零极点图、幅频和相频曲线
5.实验
总结
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与思考
实验主要是研究离散系统的Z变换,通过这次试验,基本学会用MATLAB的多项式求根函数roots()来实现绘制系统零极点图的方法、这里需要注意的是,在求系统函数零极点时,系统函数可能有两种形式。还学会了逆z变换的求法及离散系统频率特性的分析方法;认识到通过matlab来求Z变换求解离散时间系统的系统函数的零、极点以及如何通过离散系统的系统函数零极点分布分析系统稳定性、因果性的关系的问
题
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方便之处,同时也对Z变换与离散系统分析有了更深刻的认识。
通过这种实验,能够提高我独立思考,解决学习问题的能力,并且重新温习了Z变换求解离散时间系统的系统函数的零、极点以及通过离散系统的系统函数零极点分布分析系统稳定性、因果性的关系更进一步加深对离散系统的理解及MATLAB的操作,巩固课堂所学的理论知识,总之受益良多。