复合函数的奇偶性
复合函数的定义:如果的函数,记为,又是的函数,记为,,,,,y是uy,fuuxu,gx且的值域与的定义域的交集不空,则确定了一个关于的函数,y,,,,,,,,gxfuxy,fgx这时叫做的复合函数,其中叫做中间变量,叫做外层函数,叫做y,,,,xuy,fuu,gx内层函数。
1复合函数的奇偶性
若为奇函数,对于变量是奇(偶)函数, ,,,,u,gxy,fuu
则复合函数是奇(偶)函数, ,,,,y,fgx
若为偶函数,则复合函数是偶函数. ,,,,,,u,gxy,fgx
f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 偶 非奇非奇
偶
偶 奇 偶 非奇非奇
偶
偶 偶 偶 偶 偶
抽象函数奇偶性的判断
x,R 例 函数,,若对于任意实数a,b都有, ,,,,,,,,fxfa,b,fa,fb
求证,,为奇函数 fx
证:令,,,,,,a,0,则fb,f0,fb
,, ?f0,0
,,,,,,a,,x,b,x,代入fa,b,fa,fb又令得
,,,,,,f,x,x,f,x,fx
,,,,0,f,x,fx即
1
,,,,?f,x,,fx
故为奇函数 ,,fx
2复合函数的单调性
法则:同增异减
步骤:(1)确定定义域
(2)将复合函数分解成基本初等函数 ,,,,y,fu,u,gx
(3)分别确定这两个函数的单调区间
(4)若这两个函数同增或同减,则为增函数,若一增一减.则为减,,,,,,,,y,fgxy,fgx
函数.
函数 单调性
增 增 减 减 内层函数 ,,u,gx
增 减 增 减 外层函数 ,,y,fu
增 减 减 增 复合函数 ,,,,y,fgx
2例1,求函数的单调区间. y,,x,2x,3
2,3,x,1,x,2x,3,0解:由,得
2 函数的定义域为[-3,1], y,,x,2x,3
22 令 ,,u,,x,2x,3,,x,1,4
当,,时是增函数. x,,3,,1
当,,x,,1,1时是减函数
而是增函数. ,,y,uu,0
y,,,,,3,,1,,1,1函数的增区间是减区间是
2例2 求函数的单调区间 ,,fx,1,x
2
2 解:该函数的定义域为,即 ,,1,x,0x,1,x,1
2 设则 ,,,,fx,ux,,ux,1,x,
2(1) 当时,为增函数,为增函数, ,,,,,,,,x,,1,0y,uxux,0,,ux,1,x
2故函数在区间上是增函数 ,,,1,0,,fx,1,x
22(2)当时,为减函数,为增函数,故函数在,,,,x,0,1,,y,uxux,1,x,,,fx,1,x
区间上是减函数 ,,0,1
2故的单调增区间为,单调减区间为 ,,,,,1,00,1,,fx,1,x
例3:已知是是的减函数,且,是是的增函数,求证,,,,,,,,,,gxm,na,gx,bfxa,b
在上也是减函数。 ,,,,,,fgxm,n
证明:设 m,x,x,n12
是上的减函数,且 ,,,,,,,,?gxm,na,gx,gx,b12
又 ,,,,?fx是a,b上的增函数
,,,,,,,,?fgx,fgx12
根据单调性的定义得在上是减函数 ,,,,,,fgxm,n
2x,3x,21,,y,例4(讨论函数的单调性 ,,2,,
32x,u,x,3x,2解:设,则函数,,图像的对称轴为 u,fx2
33,,,, 当时,u为增函数;当时,u为减函数。 x,,,,x,,,,,,,,22,,,,
uu111,,,,u 而的底数为为关于的减函数, y,a,,1,?y,,,,,222,,,,
3,,yu 当时,为增函数,则为减函数, x,,,,?,,2,,
3
3,, 当时,为减函数,则为增函数。 yux,,,,,,2,,
4
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