均值不等式的证明
均”大于“算术平均”大于“几何平均”大于“调和平均”
我记得好像有两种几何证法，一种三角证法，一种代数证法。
请赐教!
sqrt{[(a1) (a2) ..(an) /n]}?(a1 a2 ..an)/n?n次根号(a1a2a3..an)?n/(1/a1 1/a2 .. 1/an)
证明:
1.sqrt(((a1) (a2) ..(an) )/n)?(a1 a2 ..an)/n
两边平方,即证 ((a1) (a2) ..(an) )?(a1 a2 ..an) /n
(1) 如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了:
柯西不等式变式:
a1 /b1 a2 /b2 ...an /bn ?(a1 a2 ...an) /(b1 b2... bn)
当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立
只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可
(2)柯西不等式
(a1 a2 ...an )*(b1 b2... bn)?(a1b1 a2b2 ...anbn)
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上都有证明:空间向量法;二次函数法;是赫尔德不等式的特例]
2.(a1 a2 ..an)/n?n次根号(a1a2a3..an)
(1)琴生不等式: 若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1 x2 ...xn)/n)?f(x1) f(x2) ...f(xn)
令f(x)=lgx 显然，lgx在定义域内是凸函数[判断凸函数的方法是二b /2)?(a
b)/2?sqrt(ab)?2/1/a 1/b
证明:
1.sqrt(a b /2)?(a b)/2 两边平方 a b ?(a b) /4 即证 (a/2-b/2) ?0 显然成立
2.(a b)/2?sqrt(ab) 移项 即证 (sqrt(a)-sqrt(b))?0 显然成立
此不等式中 a b可以表示一条直径的两部分，(a b)/2=r sqrt(ab)就是垂直于直径的弦，而r?弦的一半
3.sqrt(ab)?2/1/a 1/b 两边同时乘上 1/a 1/b 即证 sqrt(ab)*(1/a 1/b)?2
而sqrt(ab)*(1/a 1/b)=sqrt(a/b) sqrt(b/a)?2[由上一个不等式]，证明范文《均值不等式的证明》
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