巧用最值定义,简解一道高考压轴
题
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易正红
(湖南省岳阳县第一中学,414100)
问题源于2012年高考数学湖南卷理科试题第22题.原题如下:
已知函数
,其中
.
(Ⅰ)若对一切
恒成立,求
的取值集合;
(Ⅱ)在函数
的图象上取定两点
,记直线
的斜率为
.问:是否存在
,使
成立?若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
下面是命题组提供的
标准
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解答.
解 (Ⅰ)若
,则对一切
,
这与题设矛盾.又
,故
.
而
,令
,得
.
当
时,
,
递减;当
时,
递增.故当
时,
取最小值
.于是对一切
恒成立,当且仅当
.……①
令
,则
.当
时,
,单调递增;当
时,
递减.
故当
时,
取最大值
.
因此,当且仅当
,即
时,①式成立.
综上所述,
的取值集合为
.
（Ⅱ）由题知,
,
令
,则
令
则
.故当
时,
单调递减;当
时,
单调递增.
故当
时,
即
.从而
,
所以
.
因为函数
在区间
上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在
,使得
,又
单调递增,故这样的
是唯一的,且
.
故当且仅当
,使
.
综上所述,存在在
,使
成立,且
的取值范围为
.
笔者认为上述解法中,至少有两处解答可简化.
第一,在第(Ⅰ)问中若能运用最值定义,则完全可以避免再构建函数求导过程;
第二,在第(Ⅱ)中若能应用第(Ⅰ)问的结论,则直接可证明
,构造函数求导完全是多余的.
为此我们先来回顾一下最小值的含义[1]:
一般地,设函数
的定义域为
,如果存在实数
满足:
(1) 对于任意的
,都有
;
(2) 存在
,使得
.
那么,我们称
是函数
的最小值.
下面给出笔者的解答.
解 (Ⅰ) 注意到
,且对
恒成立,即
.所以由函数的最小值含义知,
,
又若
,则当
时,
,这与题设矛盾,又
,故
.
又
时,得
,且当
时,
,
递减,当
时,
,
递增;
故当且仅当
时,函数
有最小值.
又已知
,也所以
,即
.
所以
的取值集合为{1}
(Ⅱ)假设存在
,使
成立.
由题知
.
又由(Ⅰ)知,
令
,则
,即
在
上单调递增;
又因为
,
而由(Ⅰ)已知
时,对
时,有不等式
成立,当
时取等号,即
;
所以
,又
,
所以
即
,可见
,
又
,
同理由
,
得
,又
,
所以
,
即
,可见
,
所以函数
在区间
上有唯一的零点
,使得
.
显然当
时,
,即
,
又由
,求得
.
也所以存在
使
成立,即假设成立.
值得提出的是,以同样的
方法
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可以简化解答2012年高考数学湖南卷文科试题第22题,这里就不再赘述,有兴趣的读者不妨一试.
评注:
①《2012年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷考试说明》(数学)中强调“考纲要求”理解函数最大值、最小值及其几何意义,并在“考纲阐释”中明确指出,这是提升对数形结合、几何直观等数学思想方法的考查要求[2].就这一点而言,2012年高考湖南省数学卷压轴题(文理科)的第(Ⅰ)问的命题是很成功的,考查了考生对函数
、
图象的联想运用,但美中不足的是命题者似乎未发现其对“函数最值含义” 的考查功能,而片面地追求所谓的“导数强大功能”去“构造函数”.
②“(Ⅰ)为(Ⅱ)用”是高
考试题
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有力区分考生
分析
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解决问题的重要表现形式,2012年高考湖南省数学卷压轴题(文理科)的第(Ⅱ)问也不例外,但可惜的是命题者似乎忽略了这一点,依然为展示“导数强大功能”, 而舍近求远的“构造函数”,其作为“标准解法”是非常不利于导向中学数学教学的,也违背了按照考生思维“最近发展区”而分析解决问题的教育规律[3].
参考文献:
[1] 课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书.数学必修1,
版.北京:人民教育出版社,2007
[2] 湖南省教育考试院,2012年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷考试说明.长沙:湖南教育出版社,2012年1月
[3] 付海伦. 思维的“最近发展区”及其开发.中学数学教学参考,1996年第7期
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