工程数学-线性代数第五版答案05

工程数学-线性代数第五版答案05 第五章 相似矩阵及二次型 1, 试用施密特法把下列向量组正交化: 111,,,, (1), (, , ),124aaa123,,139,, 解 根据施密特正交化方法～ 1,,,,ba,,1 ～ 11,,1,, ,1,,[,]ba12,, ～ ,,,0bab221,,[,]bb111,, 1,,[,][,]baba11323,, , ,,,,,2babb3312,,[,][,]3bbbb11221,, 11,1,,,,0,11(a, a, a), (2), ,,123,101,,110,, 解 根据施密特正交化方法～ 1,,,,0ba,, ～ ,,11,1,,1,, 1,,,,[b,a],3112bab,,, ～ ,,2212bb[,]311,,1,, ,1,,,,[,][,]baba311323b,a,b,b, , ,,33123[,][,]5bbbb1122,,4,, 2, 下列矩阵是不是正交阵: 11,,1,,,23,,11 (1); ,1,,22,,11,1,,32,, 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵, 184,,,,,,999,,814, (2),,,,999,,447,,,,999,, 解 该方阵每一个行向量均是单位向量～ 且两两正交～ 故为正交阵, TT 3, 设x为n维列向量～ xx,1～ 令H,E,2xx～ 证明H是对称的正交阵, 证明 因为 TTTTTTT H,(E,2xx),E,2(xx),E,2(xx) TTTT ,E,2(x)x,E,2xx～ 所以H是对称矩阵, 因为 TTT HH,HH,(E,2xx)(E,2xx) TTTT ,E,2xx,2xx，(2xx)(2xx) TTT ,E,4xx，4x(xx)x TT ,E,4xx，4xx ,E～ 所以H是正交矩阵, 4, 设A与B都是n阶正交阵～ 证明AB也是正交阵, ,1T,1T 证明 因为A～ B是n阶正交阵～ 故A,A～ B,B～ TTT,1,1(AB)(AB),BAAB,BAAB,E～ 故AB也是正交阵, 5, 求下列矩阵的特征值和特征向量: 2,12,,,,5,33 (1); ,,,10,2,, ,2,,12 3 解 ～ |A,,E|,5,3,,3,,(,，1) ,10,2,, 故A的特征值为,,,1(三重), 对于特征值,,,1～ 由 3,12101,,,,,,,,～ ，,5,23011AE~,,,,,10,1000,,,, T得方程(A，E)x,0的基础解系p,(1～ 1～ ,1)～ 向量p就是对应于11特征值,,,1的特征值向量. 123,,,,213 (2); ,,336,, ,1,23 解 ～ |A,,E|,21,,3,,,(,，1)(,,9) 336,, 故A的特征值为,,0～ ,,,1～ ,,9, 123 对于特征值,,0～ 由 1 123123,,,,,,,,～ ,213011A~,,,,336000,,,, T得方程Ax,0的基础解系p,(,1～ ,1～ 1)～ 向量p是对应于特征11值,,0的特征值向量. 1 对于特征值,,,1, 由 2 223223,,,,,,,,～ ，,223001AE~,,,,337000,,,, T得方程(A，E)x,0的基础解系p,(,1～ 1～ 0)～ 向量p就是对应于22特征值,,,1的特征值向量, 2 对于特征值,,9～ 由 3 ,,11,1,823,,,,1,,A,9E,2,83~01,～ ,,,,233,3,,,,000,, T得方程(A,9E)x,0的基础解系p,(1/2～ 1/2～ 1)～ 向量p就是对应33于特征值,,9的特征值向量, 3 0001,,,,0010 (3). ,,0100,,1000,, ,,001 ,0,1022|A,,E|,,(,,1)(,，1) 解 ～ 01,0, 100,, 故A的特征值为,,,,,1～ ,,,,1, 1234 对于特征值,,,,,1～ 由 12 10011001,,,,,,,,01100110A，E,~～ ,,,,01100000,,,,10010000,,,, TT得方程(A，E)x,0的基础解系p,(1～ 0～ 0～ ,1)～ p,(0～ 1～ ,1～ 0)～ 12向量p和p是对应于特征值,,,,,1的线性无关特征值向量, 1212 对于特征值,,,,1～ 由 34 ,1001100,1,,,,,,,,0,11001,10A,E,~～ ,,,,01,100000,,,,100,10000,,,, TT得方程(A,E)x,0的基础解系p,(1～ 0～ 0～ 1)～ p,(0～ 1～ 1～ 0)～ 向34量p和p是对应于特征值,,,,1的线性无关特征值向量, 3434 T 6, 设A为n阶矩阵～ 证明A与A的特征值相同, 证明 因为 TTT|A,,E|,|(A,,E)|,|A,,E|,|A,,E|～ TT所以A与A的特征多项式相同～ 从而A与A的特征值相同, 7, 设n阶矩阵A、B满足R(A)，R(B),n～ 证明A与B有公共的特征值～ 有公共的特征向量, 证明 设R(A),r～ R(B),t～ 则r，t,n, 若a～ a～ ,,,～ a是齐次方程组Ax,0的基础解系～ 显然它们12n,r 是A的对应于特征值,,0的线性无关的特征向量, 类似地～ 设b是齐次方程组Bx,0的基础解系～ ～ b～ ,,,～ b12n,t 则它们是B的对应于特征值,0的线性无关的特征向量, , 由于(n,r)，(n,t),n，(n,r,t),n～ 故a～ a～ ,,,～ a～ b～ b～ ,,,～ b12n,r12n,t必线性相关, 于是有不全为0的数k～ k～ ,,,～ k～ l～ l～ ,,,～ l～ 使 12n,r12n,t ka，ka， ,,, ，ka，lb，lb， ,,, ，lb,0, 1122n,rn,r1122n,rn,r记 ,,ka，ka， ,,, ，ka,,(lb，lb， ,,, ，lb)～ 1122n,rn,r1122n,rn,r则k～ k～ ,,,～ k不全为0～ 否则l～ l～ ,,,～ l不全为0～ 而 12n,r12n,t lb，lb， ,,, ，lb,0～ 1122n,rn,r 与b～ b～ ,,,～ b线性无关相矛盾, 12n,t 因此～ ,,0～ ,是A的也是B的关于,,0的特征向量～ 所以A与B有公共的特征值～ 有公共的特征向量, 2 8, 设A,3A，2E,O～ 证明A的特征值只能取1或2, 证明 设,是A的任意一个特征值～ x是A的对应于,的特征向量～ 则 222 (A,3A，2E)x,,x,3,x，2x,(,,3,，2)x,0, 22因为x,0～ 所以,,3,，2,0～ 即,是方程,,3,，2,0的根～ 也就是说,,1或,,2, 9, 设A为正交阵～ 且|A|,,1～ 证明,,,1是A的特征值, 证明 因为A为正交矩阵～ 所以A的特征值为,1或1, 因为|A|等于所有特征值之积～ 又|A|,,1～ 所以必有奇数个特征值为,1～ 即,,,1是A的特征值, 10, 设,0是m阶矩阵AB也是n阶,的特征值～ 证明,m，nn，m 矩阵BA的特征值, 证明 设x是AB的对应于,,0的特征向量～ 则有 (AB)x,,x～ x)～ 于是 B(AB)x,B(, 或 BA(B x),,(Bx)～ 从而,是BA的特征值～ 且Bx是BA的对应于,的特征向量, 32 11, 已知3阶矩阵A的特征值为1～ 2～ 3～ 求|A,5A，7A|, 32 解 令,(,),,,5,，7,～ 则,(1),3～ ,(2),2～ ,(3),3是,(A)的特征值～ 故 32 |A,5A，7A|,|,(A)|,,(1),,(2),,(3),3，2，3,18, 12, 已知3阶矩阵A的特征值为1～ 2～ ,3～ 求|A*，3A，2E|, 解 因为|A|,1，2，(,3),,6,0～ 所以A可逆～ 故 ,1,1 A*,|A|A,,6A～ ,1 A*，3A，2E,,6A，3A，2E, ,12 令,(,),,6,，3,，2～ 则,(1),,1～ ,(2),5～ ,(,3),,5是,(A) 的特征值～ 故 ,1 |A*，3A，2E|,|,6A，3A，2E|,|,(A)| ,,(1),,(2),,(,3),,1，5，(,5),25, 13, 设A、B都是n阶矩阵～ 且A可逆～ 证明AB与BA相 似, 证明 取P,A～ 则 ,1,1PABP,AABA,BA～ 即AB与BA相似, 201,,,, 14, 设矩阵可相似对角化～ 求x, A,31x,,405,, 解 由 ,2,01 2～ |A,,E|,31,,x,,(,,1)(,,6) 405,, 得A的特征值为,,6～ ,,,,1, 123 因为A可相似对角化～ 所以对于,,,,1～ 齐次线性方程组23(A,E)x,0有两个线性无关的解～ 因此R(A,E),1, 由 101101,,,,r,,,, (,),3000,3AEx~x,,,,404000,,,,知当x,3时R(A,E),1～ 即x,3为所求, 2,12,,T,,A,5a3 15, 已知p,(1～ 1～ ,1)是矩阵的一个特征向,,,1b,2,, 量, (1)求参数a～ b及特征向量p所对应的特征值, 解 设,是特征向量p所对应的特征值～ 则 ,2,,1210,,,,,,,,,,,,, (A,,E)p,0～ 即～ a5,31,0,,,,,,b,,1,2,,10,,,,,,解之得,,,1～ a,,3～ b,0, (2)问A能不能相似对角化,并说明理由, 解 由 ,2,,12 3～ |A,,E|,5,3,,3,,(,,1) ,10,2,, 得A的特征值为,,,,,,1, 123 由 1,12101,,,,r,,,, AE,,5,2301,1~,,,,b,1,1000,,,,知R(A,E),2～ 所以齐次线性方程组(A,E)x,0的基础解系只有一个解向量, 因此A不能相似对角化, 16, 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵: 2,20,,,,,21,2 (1); ,,0,20,, 解 将所给矩阵记为A, 由 ,2,,20 ,,,(1,,)(,,4)(,，2)～ A,E,,21,,2 0,2,, 得矩阵A的特征值为,,,2～ ,,1～ ,,4, 123 对于,,,2～ 解方程(A，2E)x,0～ 即 1 x,,4,20,,1,,,,,23,2x,0～ 2,,,,0,22x,,3,, 122T T得特征向量(1～ 2～ 2)～ 单位化得, p,(, , )1333 对于,,1, 解方程(A,E)x,0～ 即 2 x,,1,20,,1,,,,,20,2x,0～ 2,,,,0,2,1x,,3,, 212T T得特征向量(2～ 1～ ,2)～ 单位化得, p,(, , ,)2333 对于,,4, 解方程(A,4E)x,0～ 即 3 x,,,2,20,,1,,,,,2,3,2x,0～ 2,,,,0,2,4x,,3,, 221T T得特征向量(2～ ,2～ 1)～ 单位化得, p,(, ,, )3333 ,1 于是有正交阵P,(p～ p～ p)～ 使PAP,diag(,2～ 1～ 4), 123 22,2,,,, (2), 25,4,,,2,45,, 解 将所给矩阵记为A, 由 ,2,2,22,,,,(,,1)(,,10)～ A,E,25,,4 ,2,45,, 得矩阵A的特征值为,,,,1～ ,,10, 123 对于,,,,1～ 解方程(A,E)x,0～ 即 12 x,,12,20,,,,1,,,,,,x24,4,0～ 2,,,,,,,2,440x,,,,3,, TT 得线性无关特征向量(,2～ 1～ 0)和(2～ 0～ 1)～ 将它们正交化、单位化得 11TT ～ , p,(,2, 1, 0)p,(2, 4, 5)12535 对于,10, 解方程(A,10E)x,0～ 即 ,3 x,,,82,20,,,,1,,,,,,x2,5,4,0～ 2,,,,,,,2,4,50x,,,,3,, 1T T得特征向量(,1～ ,2～ 2)～ 单位化得, p,(,1, ,2, 2)33 ,1 于是有正交阵P,(p～ p～ p)～ 使PAP,diag(1～ 1～ 10), 123 51,2,4,,,,,,,,,,,4 17, 设矩阵与相似～ 求x～ y, 并A,,2x,2,,,,,4,21y,,,, ,1求一个正交阵P～ 使PAP,,, 解 已知相似矩阵有相同的特征值～ 显然,,5～ ,,,4～ ,,y是,的特征值～ 故它们也是A的特征值, 因为,,,4是A的特征值～ 所以 5,2,4 ～ |A，4E|,,2x，4,2,9(x,4),0 ,4,25 解之得x,4, 已知相似矩阵的行列式相同～ 因为 51,2,4 |,|,,4,,20y～ ～ |A|,,2,4,2,,100 ,4,21y所以,20y,,100～ y,5, 对于,,5～ 解方程(A,5E)x,0～ 得两个线性无关的特征向量 TT(1～ 0～ ,1)～ (1～ ,2～ 0), 将它们正交化、单位化得 11TT～ , p,(1, 0, ,1)p,(1, ,4, 1)12232 T 对于,,,4～ 解方程(A，4E)x,0～ 得特征向量(2～ 1～ 2)～ 单位 1T化得, p,(2, 1, 2)33 121,,,,3232,,14,1 于是有正交矩阵P,0,～ 使PAP,,, ,, 332,, 121,,,,,3232,, 18, 设3阶方阵A的特征值为,,2～ ,,,2～ ,,1, 对应的特123 TTT征向量依次为p,(0～ 1～ 1)～ p,(1～ 1～ 1)～ p,(1～ 1～ 0)～ 求A. 123 ,1,1 解 令P,(p～ p～ p)～ 则PAP,diag(2～ ,2～ 1),,～ A,P,P, 123 因为 ,1011110,,,,,,1,,,,P,111,1,11～ ,,,,11001,1,,,, 011200110,,13,3,,,,,,,,,1,,,,,,,,所以 , 111020111,,,,,,,45,3APP,,,,,,,,110001011,44,2,,,,,,,,, 19, 设3阶对称阵A的特征值为,,1～ ,,,1～ ,,0, 对应,、1231 TT,的特征向量依次为p,(1～ 2～ 2)～ p,(2～ 1～ ,2)～ 求A, 212 xxx,,123,,,Axxx 解 设～ 则Ap,2p～ Ap,,2p～ 即 1122245,,xxx,356, x，2x，2x,1,123,x，2x，2x,2～ ,,,? ,245 ,，2，2,2xxx356, 2x，x,2x,,2,123,2x，x,2x,,1, ,,,? ,245 ,2x，x,2x,2356, 再由特征值的性质～ 有 x，x，x,,，,，,,0, ,,,? 146123由???解得 11211x,,,xx,,xx,x ～ ～ ～ 16263632234 1121x,,xx,，x ～ , 56463234 2211令x,0～ 得x,,～ x,0～ x,～ x,～ x,, 6235143333 ,102,,1,,A,012因此 , ,,3220,, 20, 设3阶对称矩阵A的特征值,,6～ ,,3～ ,,3～ 与特征值123 T,,6对应的特征向量为p,(1～ 1～ 1)～ 求A. 11 xxx,,123,,,Axxx 解 设, 245,,xxx,356, T 因为,,6对应的特征向量为p,(1～ 1～ 1)～ 所以有 11 x，x，x,6,11,,,,123,,,,,x，x，x,6～ 即 ,,,?, A1,61,245,,,,11,x，x，x,6,,,,356, ,,,,3是A的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知23 R(A,3E),1, 利用?可推出 xxx,3,,,,111123,,,,AExxxxxx,3,,3~,3, 245245,,,,xxxxxx,3,3356,356,,,因为R(A,3E),1～ 所以x,x,3,x且x,x,x,3～ 解之得 245356 x,x,x,1～ x,x,x,4, 235146 411,,,,因此 , A,141,,114,, T T 21, 设a,(a～ a～ ,,,～ a)～ a,0～ A,aa, 12n1 (1)证明,,0是A的n,1重特征值, 证明 设,是A的任意一个特征值～ x是A的对应于,的特征 向量～ 则有 Ax,,x～ 22TTTT ,x,Ax,aaaax,aaAx,,aax～ 2TT于是可得,,,aa～ 从而,,0或,,aa, T 设,～ ,～ , , ,～ ,是A的所有特征值～ 因为A,aa的主对角线12n 222性上的元素为a～ a～ , , ,～ a～ 所以 12n T222a，a， , , , ，a,aa,,，,， , , , ，,～ 12n12n T这说明在～ ～ , , ,～ 中有且只有一个等于aa～ 而其余n,1个,,,12n 全为0～ 即,,0是A的n,1重特征值, (2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量, T 解 设,aa～ , , , , ,,0, ,,,12n TTT 因为Aa,aaa,(aa)a,,a～ 所以p,a是对应于,,aa的特111 征向量, T 对于,, , , , ,,,0～ 解方程Ax,0～ 即aax,0, 因为a,0～ 所2n Tx,0～ 其线性无关解为 以ax,0～ 即ax，ax， , , , ，a1122nn Tp,(,a～ a～ 0～ ,,,～ 0)～ 221 Tp,(,a～ 0～ a～ ,,,～ 0)～ 331 , , ,～ Tp,(,a～ 0～ 0～ ,,,～ a), nn1因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为 a,a,,,,a,,12n,,aa,,,021ppp(, , ,,,,),, ,,12n,,,,,,,,,,,,,,a0,,,a,,n1 142,,100,,A,0,34 22, 设～ 求A, ,,043,, 解 由 ,1,42 ～ |A,,E|,0,3,,4,,(,,1)(,,5)(,，5) 043,, 得A的特征值为,,1～ ,,5～ ,,,5, 123 T 对于,,1～ 解方程(A,E)x,0～ 得特征向量p,(1～ 0～ 0), 11 T 对于,,5～ 解方程(A,5E)x,0～ 得特征向量p,(2～ 1～ 2), 12 T 对于,,,5～ 解方程(A，5E)x,0～ 得特征向量p,(1～ ,2～ 1), 13 令P,(p～ p～ p)～ 则 123 ,1 PAP,diag(1～ 5～ ,5),,～ ,1 A,P,P～ 100100,1 A,P,P, 因为 100100100 ,,diag(1～ 5～ 5)～ ,1121505,,,,,1,1,,,,P,01,2,012 ～ ,,,,50210,21,,,,所以 1,,12150,5,,,,1,,100100,,,,A,01,25012 ,,,,,,51000210,215,,,,,, 100105,1,,100,,,050 , ,,100005,, 23, 在某国～ 每年有比例为p的农村居民移居城镇～ 有比例为q的城镇居民移居农村～ 假设该国总人口数不变～ 且上述人口迁移的规律也不变, 把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x和y(x，y,1), nnnn xx,,,,n，1n (1)求关系式中的矩阵A, A,,,,,yyn，1n,,,, 解 由题意知 x,x，qy,px,(1,p)x，qy～ n，1nnnnn y,y，px,qy, px，(1,q)y～ nnnnnn，1 可用矩阵表示为 xx1pq,,,,,,,n，1n ～ ,,,,,,,p1qyy,,,n，1n,,,, 1,pq,,因此 , A,,,p1,q,, x0.5,,,,0 (2)设目前农村人口与城镇人口相等～ 即～ 求,,,,,0.5y,,0,,x,,n, ,,y,,n xxxx,,,,,,,,n0n，1nn 解 由可知, 由 AA,,,,,,,,,,yyyyn，1n0,,,,,,,,n ,1,p,q～ |A,,E|,,(,,1)(,,1，p，q)p1,q,, 得A的特征值为,,1～ ,,r～ 其中r,1,p,q, 12 T 对于,,1～ 解方程(A,E)x,0～ 得特征向量p,(q～ p), 11 T 对于,,r～ 解方程(A,rE)x,0～ 得特征向量p,(,1～ 1), 12 q,1,, 令～ 则 Ppp,(, ),,,12p1,, ,1 PAP,diag(1～ r),,～ ,1 A,P,P～ nn,1 A,P,P, ,1n11q,q,10,,,,,,n于是 A,,,,,,,0r11pp,,,,,, q,110111,,,,,, ,,,,,,,nr,pq0p1p，q,,,,,, nnqprqqr，,1,,～ ,,,nnpprpqr,，pq，,, nnxqprqqr，,0.51,,,,,,n ,,,,,,,nn0.5ypprpqr,，pq，,,,,,,n n2q(pq)r，,1,, , ,,,n2p(qp)r，,2(pq)，,, 3,2109,, 24, (1)设～ 求,(A),A,5A, A,,,,23,, 解 由 ,3,,2～ |A,,E|,,(,,1)(,,5),23,, 得A的特征值为,,1～ ,,5, 12 1T 对于,,1～ 解方程(A,E)x,0～ 得单位特征向量(1, 1), 12 1T 对于,,5～ 解方程(A,5E)x,0～ 得单位特征向量, (,1, 1)12 1,11,1,, 于是有正交矩阵～ 使得PAP,diag(1～ 5),,～ P,,,112,, ,1kk,1从而A,P,P～ A,P,P, 因此 ,1109,1 (A),P(,)P,P(,,5,)P ,, 109,1 ,P[diag(1～ 5),5diag(1～ 5)]P ,1 ,Pdiag(,4～ 0)P 1,1,401111,,,,,, ,,,,,,,1100,1122,,,,,, ,2,211,,,, , ,,,2,,,,,2,211,,,, 212,,1098,, (2)设, 求,(A),A,6A，5A, A,122,,221,, 解 求得正交矩阵为 ,,,1,32,,1P,,132～ ,,6,,202,, ,1,1使得PAP,diag(,1～ 1～ 5),,～ A,P,P, 于是 ,11098,1 ,(A),P,(,)P,P(,,6,，5,)P 8,1 ,P[,(,,E)(,,5E)]P 8,1 ,Pdiag(1～ 1～ 5)diag(,2～ 0～ 4)diag(,6～ ,4～ 0)P ,1 ,Pdiag(12～ 0～ 0)P ,,12,1,32,1,12,,,,,,1,,,,,,1320,330 ,,,,,,6,,2022220,,,,,, 11,2,,,,,211,2 , ,,,2,24,, 25, 用矩阵记号表示下列二次型: 222 (1) f,x，4xy，4y，2xz，z，4yz, 121x,,,,,,,,f,(x, y, z)242y 解 , ,,,,121z,,,, 222 (2) f,x，y,7z,2xy,4xz,4yz, 1,1,2x,,,,,,,,f,(x, y, z),11,2y 解 , ,,,,,2,2,7z,,,, 2222 (3) f,x，x，x，x,2xx，4xx,2xx，6xx,4xx, 12341213142324 x,,1121,,,,1,,,,x1132,,2f(x, x, x, x), 解 , ,,,,12342310x3,,,,,1,201x,,,,4 26, 写出下列二次型的矩阵: 21,,T (1), f(x),xx,,31,, 21,, 解 二次型的矩阵为, A,,,31,, 123,,T,, (2), f(x),x456x,,789,, 123,,,,A,456 解 二次型的矩阵为, ,,789,, 27, 求一个正交变换将下列二次型化成 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形: 223 (1) f,2x，3x，3x，4xx, 12323 200,,,, 解 二次型的矩阵为, 由 A,032,,023,, ,2,00 ～ A,,E,03,,2,(2,,)(5,,)(1,,) 023,, 得A的特征值为,,2～ ,,5～ ,,1, 123 当,,2时, 解方程(A,2E)x,0～ 由 1 000012,,,,,,,,～ ,2,012001AE~,,,,021000,,,, TT得特征向量(1～ 0～ 0), 取p,(1～ 0～ 0), 1 当,,5时～ 解方程(A,5E)x,0～ 由 2 ,300100,,,,,,,,～ ,5,0,2201,1AE~,,,,02,2000,,,, 11TT得特征向量(0～ 1～ 1), 取, p,(0, , )222 当,,1时～ 解方程(A,E)x,0～ 由 3 100100,,,,,,,,～ ,,022011AE~,,,,022000,,,, 11TT得特征向量(0～ ,1～ 1), 取p,(0, ,, ), 322 于是有正交矩阵T,(p～ p～ p)和正交变换x,Ty～ 使 123 222f,2y，5y，y, 123 2222 (2) f,x，x，x，x，2xx,2xx,2xx，2xx, 123412142334 110,1,,,,11,10A,, 由 解 二次型矩阵为,,0,111,,,1011,, ,1,10,1 ,11,,102A,,E,,(,，1)(,,3)(,,1)～ 0,11,1, ,1011,, 得A的特征值为,,,1～ ,,3～ ,,,,1, 1234 1111T 当,,,1时～ 可得单位特征向量, p,(, ,, ,, )112222 1111T 当,,3时～ 可得单位特征向量, p,(, , ,, ,)222222 当,,,,1时～ 可得线性无关的单位特征向量 34 1111TT～ , p,(, 0, , 0)p,(0, , 0, )342222 于是有正交矩阵T,( p～ p～ p～ p)和正交变换x,Ty～ 使 1234 2222f,,y，3y，y，y, 1234 28, 求一个正交变换把二次曲面的方程 2223x，5y，5z，4xy,4xz,10yz,1 化成标准方程, 32,2,,,, 解 二次型的矩阵为, A,25,5,,,2,55,, ,3,2,2 由～ 得A的特征值|A,,E|,25,,,5,,,(,,2)(,,11) ,2,55,, 为,,2～ ,,11～ ,,0～ , 123 T 对于,2～ 解方程(A,2E)x,0～ 得特征向量(4～ ,1～ 1)～ 单位,1 411化得, p,(, ,, )1323232 T 对于,,11～ 解方程(A,11E)x,0～ 得特征向量(1～ 2～ ,2)～ 单2 122位化得, p,(, , ,)2333 T 对于,,0～ 解方程Ax,0～ 得特征向量(0～ 1～ 1)～ 单位化得3 11, p,(0, , )322 ,1 于是有正交矩阵P,(p～ p～ p)～ 使PAP,diag(2～ 11～ 0)～ 从123 而有正交变换 41,,0,,332xu,,,,,,121,,,,～ y,,v,,,,,,3322,,wz,,,,121,,,,,3322,, 22使原二次方程变为标准方程2u，11v,1, T 29, 明: 二次型f,xAx在||x||,1时的最大值为矩阵A的最大 特征值. 证明 A为实对称矩阵～ 则有一正交矩阵T～ 使得 ,1TAT,diag(,～ ,～ , , ,～ ,),, 12n成立～ 其中,～ ,～ , , ,～ ,为A的特征值～ 不妨设,最大, 12n1 T,1T 作正交变换y,Tx～ 即x,Ty～ 注意到T,T～ 有 TTTT222 f,xAx,yTATy,y,y,,y，,y， , , , ，,y, 1122nn 因为y,Tx正交变换～ 所以当||x||,1时～ 有 222||y||,||x||,1～ 即y，y， , , , ，y,1, 12n因此 222f,y，y， , , , ，y,～ ,,,, 1122nn1又当y,1～ y,y,, , ,,y,0时f,～ 所以f ,, ,,123n 1 max1 30, 用配方法化下列二次形成 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 形～ 并写出所用变换的矩阵, 222 (1) f(x～ x～ x),x，3x，5x，2xx,4xx, 1231231213 222x～ x～ x),x，3x，5x，2xx,4xx 解 f(1231231213 222 ,(x，x,2x)，4xx，2x，x 1232323 222 ,(x，x,2x),2x，(2x，x), 123223 5,xyy2y,,，1123,2y,x，x,2x,1123,,1y,2x令 ～ 即xy～ ,,,22222y2xx,，,,323,x2yy,,，323, , 二次型化为规范形 222f,y,y，y～ 123 所用的变换矩阵为 5,,1,2,,2,,1, C,00,,2,, 0,21,, ,, 22 (2) f(x～ x～ x),x，2x，2xx，2xx, 123131323 22 解 f(x～ x～ x),x，2x，2xx，2xx 123131323 22 ,(x，x)，x，2xx, 13323 222 ,(x，x),x，(x，x), 13223 x,y，y,yy,x，x,,1123113,,x,yy,x令 ～ 即～ ,,2222 ,,y,x，xx,,y，y323323,, 二次型化为规范形 222f,y,y，y～ 123 所用的变换矩阵为 11,1,,,,, C,010,,0,11,, 222 (3) f(x～ x～ x),2x，x，4x，2xx,2xx, 1231231223 222 解 f(x～ x～ x),2x，x，4x，2xx,2xx, 1231231223 11222 ,2(x，x)，x，4x,2xx12232322 11222 , ,2(x，x)，(x,2x)，2x1223322 111,1,x,y,y,yy,2(x，x)1123112,,2222 ,,12y,(x,2x)令 ～ 即x2yy～ ,，,,22322322,,1y2x,,xy,,3333,2, 二次型化为规范形 222f,y，y，y～ 123所用的变换矩阵为 1,1,1,,1,,, C,022,,2001,, 31, 设 222f,x，x，5x，2axx,2xx，4xx 123121323为正定二次型～ 求a, 1a,1,,,, 解 二次型的矩阵为～ 其主子式为 A,a12,,,125,, 1a,11a2 a,1～ ～ , a12,,a(5a，4),1,a11a1,125 2 因为f为正主二次型～ 所以必有1,a,0且,a(5a，4),0～ 解之 4得, ,,a,0 5 32, 判别下列二次型的正定性: 222 (1) f,,2x,6x,4x，2xx，2xx, 1231213 ,211,,,, 解 二次型的矩阵为, 因为 A,1,60,,10,4,, ,21～ ～ ～ |A|,,38,0a,,2,0,11,0111,6 所以f为负定, 2222 (2) f,x，3x，9x，19x,2xx，4xx，2xx,6xx,12xx, 12341213142434 1,121,,,,,130,3A, 解 二次型的矩阵为, 因为 ,,209,6,,1,3,619,, 1,121,1,130,6,0～ , , ～ A,24,0a,1,0,4,011,13209 所以f为正定, 33, 证明对称阵A为正定的充分必要条件是: 存在可逆矩 T阵U～ 使A,UU～ 即A与单位阵E合同, 证明 因为对称阵A为正定的～ 所以存在正交矩阵P使 TTPAP,diag(,～ ,～ , , ,～ ,),,～ 即A,P,P～ 12n 其中,～ ,～ , , ,～ ,均为正数, 12n TT 令～ 则,,,,～ A,P,,P, ,,diag(,, ,, , , , ,,)1111112n TTT 再令U,,P～ 则U可逆～ 且A,UU, 1