高三新课标总复习专
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
二指数
函数
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、对数函数、简单幂函数
北 京 四 中
:牟庆生 审稿:马风忠 编稿
高三新课标总复习专题二:指数函数、对数函数、简单幂函数
一、考点阐释:
(1)指数函数
?了解指数函数模型的实际背景(
?理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算(
?理解指数函数的概念和意义，并理解指数函数的单调性与特殊点(
?在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型(
(2)对数函数
?理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料，了解对数在简化运算中的作用(
?理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与特殊点(
?体会对数函数是一类重要的函数模型(
?了解指数函数与对数函数互为反函数(
(3)幂函数
了解幂函数的概念;结合函数 的图象，了解它们的变化情况(
二、知识要点:
1. 指数、对数的运算及换算关系;
2. 指数函数的图象与性质;
3. 对数函数的图象与性质;
4.简单幂函数的图象与性质;
5.指数函数、对数函数的实际应用.
三、经典例题:
例1( (1)
分析:本题主要考查对数的运算法则:
解:
,
,
,2
(2)若，则=( )
A、6 B、12 C、5 D、7
分析:两小题主要考查指数与对数的互化及指数与对数的运算法则.
解:(2)
?
?
?,
答案:(B)
(3)已知，用
表
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示.
解:由 可得
点评:本题中出现已知与要解决的问题中的对数的底不同，如何充分利换底公式进行化简是
本题的关键.
例2(设，且
(1)求证:;
(2)比较的大小.
分析: 题目中给出指数关系，而问题中要解决的是间的关系，所以要考查的是指数
与对数间的转化.
解:(1)，且
设
?
?
?
?
?
而
?
(2)解:
?
同理可得:
?
点评:换底公式是在解决对数运算中的一个重要公式，它可以化不同底为同底，从而进行对数运算.
例3(在这四个函数中，当
时，使恒成立的函数的个数是
A(0 B(1 C(2 D(3
分析与解答:本小题主要考查函数的凹凸性，
试题
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给出了四个基本初等函数，要求考生根据函数的图像研究函数的性质---凹凸性，对试题中的不等关系式:
，既可以利用函数的图像直观的认识，也可以通过代数式的不等关系来理解(考查的重点是结合函数的图像准确理解凹凸的含义.
解答:B
例4(关于函数，有下列以下命题:
? 函数的图象关于轴对称;
? 当时，是增函数，当时，是减函数;
? 函数的最小值是;
?当时，是增函数。
其中正确的例题的序号是,,,,,,,.
分析:与对数函数(或指数函数)有关的复合函数的性质的考查，方法主要有:(1)研究内层函数的性质;(2)利用导数解决.
解:
设
利用函数的性质可知
答案:???
例5(设，当时，有意义，求实数的取值范围.
分析: 对数函数的定义域是考查的重点内容之一.而在某一区间上有意义是指在此区间上，真数部分大于零恒成立，可转化为求函数的值域.
解:，当时，有意义
?当时，恒成立
恒成立
?
?
?
点评:解决恒成立问题，常常转化为求函数的值域或图象法.
已知，求函数的单调区间. 例6.
解:
令即
解不等式:
当时，解得，时，解得:或，
当时，解得，令，即
当时，解得，当时，解得:
当时，解得或
综上所述:在时，函数在区间内为减函数，在区间为增函数。
在时，函数在区间内为增函数，在区间为减函数，在区间
内为增函数。
在时，函数在区间内为减函数，在区间内为增函数，在区间
内为减函数。
四、高考真题:
1((06山东)函数y=1+(0
标准
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对这一部分要求比较低，不作过高要求.
2003上海)已知 ， ， 2. (
(1)证明: 是奇函数，并求 的单调区间;
(2)分别计算 和 的值，由此概括出涉及函数
和 的对所有不等于零的实数 都成立的一个等式，并加以证明.
分析:
解: (1)
所以函数为奇函数.
所以在定义域上为增函数.
(2)
推广:
证明:,5,0
所以有 成立.
点评:本题第一问就是对指数运算的考查，要求学生能熟练掌握运算法则.而第二问是要求运用全情推理的方法把命题进行推广.
3. (06天津)已知函数的图象与函数(且)的图象关于直线对称，记(若在区间上是增函数，则实数的取值范围是( )
A( B( C( D(
分析:
解: 函数的图象与函数(且)的图象关于直线对称
?函数
?
在区间上是增函数
故答案为(D)
点评:本题是一个与对数函数有关的函数与导数结合，应引起我们的重视.
4. (05全国卷1)设，，则使的的取值范围是()
A、 B、 C、 D、
分析:本题目是对对数函数单调性的考查，结合对数不等式以及对数性质求解.
解析:
?
?
?
答案:(C)
五、反馈练习:
1(函数的图象在第一、三、四象限，则
A、 B、 C、 D、
2(已知函数，则的值为( )
A、 B、 C、 D、
3(若，函数在定义域内是( )
A、增函数且 B、增函数且
C、减函数且 D、减函数且
4. 是( )
A、奇函数非偶函数 B、偶函数非奇函数
C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数
5. 已知函数，为常数，若时，恒成立，则( )
A、 B、 C、 D、
6. 的图象的对称轴是，则常数=_____
7. 一件产品的年产量原来是件，在今后年内，计划年产量平均每年比上一年增长，
则年产量随经过年数变化的函数关系是,,.
8. 已知函数
(1) 求函数的定义域;
(2) 求使的的取值范围.
9. 设函数，若且，求证:
解析答案:
1、答案:(B)
2、
?
而
答案:(D)
3、?且
?,0
又为增函数
所以为减函数
答案:(C)
4、的定义域为
所以为奇函数
答案:(A)
5、，时，恒成立
所以时，
所以在上恒成立，
答案:(B)
6、
7、
8、(,1,1);
9、解:
浙公网安备 33021202002483