【doc】实对称矩阵和与差的一些特征值与F-范数不等式

【doc】实对称矩阵和与差的一些特征值与F-范数不等式 实对称矩阵和与差的一些特征值与F-范数 不等式 2004年12月高等学校计算数学第26卷第4期 实对称矩阵和与差的 一 些特征值与F.范数不等式 伍俊良 (重庆大学理学院信息与计算科学系,重庆400044) 刘飞 (重庆大学制造工程研究所,重庆400044) SoMECHARACTERISTICVALUEANDF.NoRM INEQUALITIESoFREALSYMMETRYMATRIX WuJunliang (Dept.ofInformationandCalculateScienceofCollegeofMath&Physics, ChongqingUniversity,Chongqing400044) LiuFei (InistituteofManufacturingEngineering, ChongqingUniversity,Chongqing400044) AbstractInthispapersomecharacteristicvalueandF-norminequalitiesofma- trixsumandmatrixdifferencearestudiedtheresultsareextensionofHoffman. Wielandttheorem. Keywordsrealsymmetrymatrix,characteristicvalue,F-Form,inequality. AMS(2000)subjectclassifications15A60. 中图法分类号O151.21 本文受国家863项目基金(202AA414080)和重庆大学骨干教师项目基金资助. 收稿日期.2003—07-16. ? 366?伍俊良等实对称矩阵和与差的一些特征值与F一范数不等式第4期 矩阵范数与矩阵特征值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 始终是矩阵理论和代数问题研究中的重要课题,研究的 问题一般包括:单个矩阵的特征值之间的关系问题,多个矩阵之间的特征值关系问题, 矩阵范数与特征值的关系问题,矩阵特征值的界的估计问题等等.在早期Wely,Courant 和Fisher,Cachy和Poincaxe,Schur和Hadamard,Wilandt和Hoffman为相关研究做了大 量的工作.1953年,A.J.Hoffaman和H.W.Wielandt给出了两个矩阵差的特征值关系 的如下着名定理llJ. 设B=—A,A,B,均为凡×扎实对称阵,它们的特征值分别为:Otl2Or2…2口, l…,7l…,则A,B,的特征值之间有如下关系成立; Hoffman和Wielandt是基于线性规划的理论证明这一定理的,J.H.Wil~nson给出 了纯代数的证明([3】),文[7】,IS】推广了w-H的结果,文[21给出了Hoffman-Wielandt 定理的一个简化证明.本文则对Hoffman和Wielandt定理进行了扩展,给出Hoffman- Wielandt定理的一种对称形式和几个范数不等式,它们描述了实对称矩阵和与差的相关 特征量的上界与下界,其 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是基于纯代数理论的. 1定义与定理 在本文展开之前,先引入以下几个常用的也是最基本的概念,然后给出一个必要的 引理. 定义1A=(n'j):l是实对称的,如果aij?R且(n)%:l=(t):1. 定义2对于实数矩阵A=(n巧):?,若记IIAIIF=,则容易验证II.IIF为 矩阵范数. 定义3对于实矩阵A=(n):l称?aii为矩阵A的迹,记为TrA,即TrA=i=1 n ?aii.{=l 引理设A为n×n实对称正定矩阵,则对于任意n×n实矩阵B有:ITrABI TrAIlBIIF. 证明因为A为实对称正定矩阵,令A的特征值分别为l2…0,则 存在酉矩阵U,使得A=U丁diag(X1,A2,…,).记C=UBU丁=(J)%:l,其中 U=(u):.,则TrAB=?~iVii,而Cij=??(ui,b,j)uij,连续施用许瓦兹不等式 Q 一 ? >一 2.I? 2004年l2月高等学校计算数学?367? 可得 tltltltltltltl I=??bJIIuI(?(?bj1)){(?lu0[)砉=(?(?bJ女) i=1i=lj=li=lj=lj=li=l 因此, tltltltltl (?【(?I)(?Ib,J)=(??IbijI)女=IIBII~ j=li:l:l』=li=l tl TrAB[??TrAIIBIIF.t=1 2主要结果 定理1设,,均为n×n实对对称阵,它们的特征值依次从大到小排列为: QlQ2…Q,l…,,yl,y2…7n,如果B=C+A,则不等式 成立. 不难看出,这一结果与Wielandt和Hoffman的结果具有某种形式的对称性.其意 义是直观的,前者为两个矩阵差的特征值不等式,它 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明了两个实对称矩阵差的特 征值 平方和的下界,后者为两个矩阵和的特征值不等式.它表明了两个实对称矩阵和的特征 值的上界. 证明分两种情况加以证明,即A为正定的特殊情况和A为非正定的情况. 1)假设为正定的,由于,JE},都是×n实对称矩阵,则分别存在正交矩阵只 ,P2,P3,使得: A=PTdiag[al,口2,…,口】Pl,B=pTdiag[fll,,…,】P2,C=PTdiag[T1,,…,7竹】P3 由于A为正定的,则Qi>0=1,2….,n). 显然有 tl TrB=Tr(PTdiag[~,魇,…,】P2)=n(diag,,…,2Jr2r2T)=?. 同理. 又 TrO=?. {=l nn nB=tr(c+A)=n(c+cA+Ac+A)=?+?Q+2n(Ac).i=lt=l + ? <一 ? 2.IQ? = 2A . 368.堡垡塞簦!称矩阵和与差的一些特征值与F一范数不等式第4期 nn 从而,欲证??(+Qt).,只须证明Tr(AC) t=1i=1 ?oLi'y~成立即可.而 Tr(AC)=Tr(pTdiag[a1,Q2,…,IF,P.~rdiag[?1.,y2,…,,y]) = Tr(diag[al,Q2,…,Q]pTdiag[-),l,,y2,…,]) 记=P=玎):.,易知P仍为正交矩阵,则 故有 令 易知, Pij=1(J=1,2….,n),?=1(1…2…n) J=l = cQ-,Q,…,Qn (霎囊;豢)(i) (量)=(篓萋囊)(三). 同时,对于任意的k(1kn)有 ,ln 七七竹 < ??p=? t=1J=1t=1 kk 6: ,yt— k 七七n ?(1一?磅)+??砖 t=1J=1t=1J=t+1 kn ?一?(1一?萌)+??萌 i----lJ=1i----1J=+1 kkkkn ?一?(1一?磅)+(1一?磅)=? t1i----1j=lj=li=1 k七 t=1t=1 因为对任意整数k有?&? k=1,2….,n成立,而Qi>0为正数,所以 nn n(A)=?Q6?Qt (1) ? ? ? ? 2004年12月高等学佼计算数学.369 成立,从而 ntl ??(+).1:lI:I 2)如果是非正定的,则存在充分大的实数d>0,使得A+dJ为正定阵(J为n×n 阶单位阵,B+d可为正定也可为非正定),则由1)有; 将 代入(3)式有 ??(7i+),i:l{=l 故结论成立. 定理2设A,B,c均为n×n阶实对称阵,它们的特征值依次从大到小排列为; nln2…n,l…?,l…?7n.如果C=A—B,贝0F范数 不等式 IF(?(nt一));l=l 成立. 该定理给出了两个实对称矩阵之差的欧氏范数的一个下界即 一 BIIF(?(一))叁. i=l 根据欧氏范数的定义,欲证明定理成立,实际上需要证明 这一结果实际上已经由Wielandt和Hoffman的定理所完成,因此定理2可以看成 是 Wielandt.Hoffman定理的一个推论. 定理3设,B,均为n×n阶实对称阵,它们的特征值依次从大到小排列为: nln2…n,l…,l…7n,如果C=A+B,则F范数 不等式. lI"IIF(二(ni+f))暑 2明 + 口 + 7 ?? = 2 ? d + n + 7 ? <一 d + ? n + ?州 = A + = 8 ?= = ? 一 ? >一 ? . 370.伍俊良等;实对称矩阵和与差的一些特征值与F?范数不等式第4期 成立. 该结论给出两个实对称矩阵和的2n次多项式的欧氏范数的一个上界估计,即 n ll(A+B)"llF(?(Qi+))告.i=l 证明显然C2,-,=(A+B)"仍为nXn阶实对称矩阵,注意到C是正定或半正 定的,其特征值为非负实数,由定理1的证明过程可知 ?"t=1 =rC"(rC)"=(?)【?(Q+) 即是说n ll"IlF(?(Q+))号 l=1 成立. ? 最后,我们对审稿专家对本文提出的宝贵的修改意见表示衷心的感谢和诚挚酌谢意. 参考文献 1Hoff-mamAJ,WielandtHW.Thevariationofthespectrumofanormalmatrix.Dutr Math,1953(20) 2方定法.Wielandt-Hoffman定理的简化证明.数学的实践与认识,1988(2) 3WikinsonJH.Thealgebraiceigenvalueproblem.OxfordUniversitypress,1966:125—136 4蒋尔雄.线性代数.北京,人民教育出版社,1979:230-255 5吕炯兴.可对称化矩阵特征值的扰动界.高等学校计算数学.1994(6) 6马利庄.一些半正定矩阵的迹不等式及相关的R.Bellman问题.浙江大学,1990(24) 7孙继广.关于Wielandt.Hoffman定理.计算数学,1983(2) 8伍俊良.关于Wielandt.Hotfman定理的一些结果.重庆师范大学,1993(4)