习 题 4.3 导数四则运算和反函数求导法则
⒈ 用定义证明
。
证 由于
，
根据
的连续性和
，可知
2. 证明：
⑴
；
⑵
；
⑶
；
⑷
；
⑸
；
⑹
。
解（1）
。
（2）
。
（3）
。
（4）
。
（5）
。
（6）
，
。
3. 求下列函数的导函数：
⑴
；
⑵
；
⑶
；
⑷
；
⑸
；
⑹
；
⑺
；
⑻
；
⑼
；
⑽
；
⑾
；
⑿
；
⒀
；
⒁
；
解 （1）
。
（2）
。
（3）
。
（4）
。
（5）
。
（6）
。
（7）
。
（8）
。
（9）
。
（10）
。
（11）
。
（12）
。
（13）
。
（14）
。
4. 求曲线
在
处的切线方程和法线方程。
解 因为
，切线方程为
,
法线方程为
。
5. 当
取何值时，直线
能与曲线
相切，切点在哪里？
解 设切点为
，由于
是
的切线，其斜率为1，
所以
，故
。又由
，得到
，即
，从而
，切点为
。
6． 求曲线
（
）上过点
的切线与
轴的交点的横坐标
，并求出极限
。
解 因为
，所以过点
的切线为
，它与
轴交点的横坐标为
，因此
。
7. 对于抛物线
，设集合
；
；
，
请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。
解
，不妨设
，抛物线开口向上。过
可以作该抛物线
两条切线当且仅当
在该抛物线的下方，即
。同理当
时,
，因此
。
过
只可以作该抛物线一条切线当且仅当
在该抛物线上，
所以
。
由此得到
。
8. ⑴ 设
在
处可导，
在
处不可导，证明
在
处也不可导。
⑵ 设
与
在
处都不可导, 能否断定
在
处一定可导或一定不可导？
解 （1）记
，当
时，如果
在
处可导，则
在
处也可导，从而产生矛盾。
（2）不能断定。如
，当
时，
在
处是可导的；当
时，
在
处不可导。
9. 在上题的条件下，讨论
在
处的可导情况。
解 函数
在
处可导，
在
处不可导，则
当
时在
处可导，当
时在
处不可导。
函数
在
处都不可导，但
在
处可导。函数
在
处都不可导，
在
处也不可导。
10．设
（
）为同一区间上的可导函数，证明
。
证 根据行列式的定义
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