期权定价中二叉树模型的极限情况

期权定价中二叉树模型的极限情况 期权定价中二叉树模型的极限情况 第26卷第5期 2007年9月 许昌学院 JOURNALOFXUCHANGUNIVERSITY Vo1.26.NO.5 Sep.2007 文章编号:1671—9824(2007)05—0001—05 期权定价中二叉树模型的极限情况 曲军恒,张占英,赵春茹 (1.佛山科学技术学院信息科学与数学系,广东佛山528000; 2.华南师范大学经济管理学院,广东广州510006) 摘要:对期权定价中常用的二叉树模型和Black.Scholes模型作了比较系统的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ,从两方 面得出BlackScholes模型是二叉树模型的极限情况,并对其进行了优化. 关键词:二叉树模型;Black—Scholes模型;欧式期权 中图分类号:O211.6;O175.2文献标识码:A U引吾 期权是购买方支付一定的期权费用之后在未来的确定时间或确定时间段以确定的价格购买或出售一 定数量的标的资产 协议 离婚协议模板下载合伙人协议 下载渠道分销协议免费下载敬业协议下载授课协议下载 的权利,但并不需要承担购买或出售的义务.按合约中购人和销售标的资产来划 分,期权分为看涨期权(购人)和看跌期权(出售).按合约中实施的有关条款来划分,期权分为欧式期权 (只能在合约规定的到期日执行)和美式期权(可以在合约规定的到期日以前的任何一个工作日执行).期 权作为一种衍生证券,他的定价决定于原生资产价格的变化.由于标的资产是一种 风险资产,所以他的价 格是随机变化的,而由此产生的期权价格变化也是随机的.但是,如果标的资产的价格确定下来了,那么衍 生证券的价格也将随之确定.一般情况下,标的资产的价格很难确定,它是一个随机变化值,但是我们可以 用二叉树的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 来模拟,当时间趋于一个极小值时,可以比较完美地模拟随着标的资产价格变化衍生的证 券价格变化.本文从两个方面研究二叉树模型的极限情况. 1二叉树模型 1.1基本假设… 1)无风险利率是正常数;so 2)标的资产不支付股息;<. 一 43鬈/<ii)无套利机会./.\' 1.2模型建立/"\/:',,: 考虑一个不支付红利股票期权的估值.将期权的\SoUd<;一So"d 生存区间[0,],细分为N个子区间0=.<<…<\<,!j 的 tn S暑S\/\,\一标的资产的价格.的演化适合双因素模型,则.作\.'/一为一个随机变量,他在时段[0,T]中的演化构成如图i, 1所示的一个二叉树.圈1二叉树模型的演化 收稿日期:2006—05—18 基金项目:佛山市科技发展专项基金项目(2005070021) 作者简介:曲军恒(1977一),男,河南南阳人,讲师,硕士,主要研究方向:期权定价与偏微分方程 2许昌学院2007年9月 由图1若在初始时刻标的资产价格为S=S.,则在t=T时刻,S有可能取到?+1个值 fSouN-~d).以看涨期权为例,在=T时期权的值为V=(S一)也是随机变量,可能取值 fSouN-~d一K1.,LJa=1,2.…,N\ 记s:=s.ud;:=(s:,to),(0?n??,0??n);&=max{lSouN-~d一?0,0<??). 首先,假设股票不支付红利,由于当前的股票价格为S.,则在t时刻股票的价格为us.或ds.,所以有 股票价格的变化为: "s.,以概率; dS..以概率1一q 在无套利原理下,假设u>1+r>d,C是看涨期权当前的价值,C是当股票的价格升到us.时期权的 价值,C是当股票的价格降到.时期权的价值,所以期权价值的变化为: C <C.=max[0,"S一】,以概率; Cd=max【O,dS—x】,以概率f—q 假设一投资组合:?股股票,曰元的无风险债券.则在t.时刻,投资组合的价值为: "S?"B.以概率; … <…, … 所以有 uSA+rB=C;dSA+rB=Cd;C=SA+B. 联立求解上面方程,得 C=[pc+(1一p)Cd]/(1+r), 其中P(r—d)/(u—d). 在图1中连续使用上面的推导方法得: C.一 = [pc一+(1-p)C删…+,]/(1+r), 式中r?nio?n??. 利用数学归纳法可以得到期权的二叉树模型的定价公式: c()pJp).-jmax机】)/(…… = [塞.(等)卜[熹()pJp)n-j'] 其中.,女口果.>n,贝0c=0. 2二叉树模型的极限情况研究 由前面的论述可知,二叉树模型是考虑离散状态下的期权定价,但是如果让离散的 时间间隔无限的趋 向于零,那么我们就会得到二叉树模型的极限情况——B1ack—scholes模型.下面 我们就用概率论的方法和 随机分析的方法对他们的联系加以阐述. 第26卷第5期曲军恒,等:期权定价中二叉树模型的极限情况3 2.1概率论方法 设 ,p] . 而1_,, 因为. (_『)=np;var(j)=np(1,P), 所以有 1一[.,凡,p]=Pr.6[_『?.一1]=Pr.6[?]? 又因为 log(S/S)=jlog(u/d)+nlogd; /.t.=plog(u/d)+logd; 2 =p(1一p)[10g(u/d)]2, 由(2),(3)得 二:墨兰:二 or. 而 0—1:10g(K/Sd)/log(u/d)一8=l10g(K/S)一nlogdl/log(u/d)一8, 其中8?(0,1),所以由(4),(5),(6)可得 0—1一nplog(g/s),nix.一8log(u/d) 叮B 故由(3),(7)可得. 1一[.,凡,pj:P.6『曼_=?墨兰—二,-__!1. orp凡orp4n 又因为 11.m兰二:三!二I二_?lm(=2::0. 1—————————————————————————————一=l'——— ————=U. or,/nJnp(1一p) 这里 P;(r'一d)/(u—d) 其中 所以有 r:(1?),u:e;d:e一, (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) …limn/.t=(1ogr一?1im=:1im10g(u/d)=0.(10) 此,由甲心极限足理及(8),(9),(10)得 11.m!墨二!!墨兰:;:!!::::圭二, . (.1)—————————————上——————————一=三一.【1) 一or p4no'4t 进而由(8),(11)得 {川_?(?【+】'(12) 于是有 1im[.,rt,p]:?(一)=?f一1_?(一).(13)'or4t 4许昌学院2007年9月 这就是用概率论方法得到的二叉树模型的极限形式Black-Scholes模型: ++=rVt[4) ,OtOS2OS(14).2','., 在边界条件 : J.'Elmax(Jsr—K,0)]看涨期权; 'le-r(T-t)E[max(K—K,0)]看跌期权, 下的解为 cs,={K-一Kde-一r-,s)?N(d一2d).袭c5 其::童:.d2-dl一. or?T—t 2.2随机分析方法 首先,我们做一个复制组合H=?(n,S),在时刻n定义为复制组合中无风险资产的数量,有 /t~n=(1+r)+HS=c(n,S),(16) 因为和H是可测的,他们是S,S,…,S.的函数,而S等于uS一或者dS,所以有 (1+r)+H,dSl=c(n,dS一1);(1+r)+H,uSl=c(n,uS),(17) 于是得到 ,s=. 设在[0,T]内无风险瞬时利率为R,则在任一小时间段?内的利率为r=RT/N,并且有 log[d/(1+r)]=一/,log[u/(1+r)]=tr/,(19) 由(19)式易得 e 胛 =lim(1+r)N.(20) 1)设:,其中XN;是独立的随机变量,E{一/,/},且E,(): ,所以有 EYNN;VarYN=or2. 又 ()f=,lim(exp(iYN))=limE(exp(X川N=lim(E(exp(i)))" = (?+=22+.())=expi一譬).(21) 2)对V?,看涨期权在零时刻的值为 c)=(+)-NE(Js.N一K)+ = ESoexp()一(+)-NK)+ ,(22) 其中 = l0gT/(1+r)),_l0g(/(1+r))E卜/), 又因为 )-(1—2p) 所以,序列Y满足上面1)中的叙述,其中=一手. (23) 第26卷第5期曲军恒,等:期权定价中二叉树模型的极限情况5 令 (y)=(Soey一盯)+, 则 fc一'(())f:(S0exp()一+RT/")+一(s一Ke-RT)+ ?Kfe一(1+RT/N)f. 因为是有界的连续函数,序列收敛,所以由(20),(24)可得 . , limc: , liraE'()):去(s/2+)+e-y2/2 于是有 c=SoN(d)一Ke-RrN(d:), 其中 ;_d2一:1d./2d甄 (24) (25) (26) 3结束语' 再次对二叉树模型的极限情况进行了印本文利用概率论方法和随机分析的理论 证.由此可知,Black. Scholes模型是二叉树模型的极限情况.当二叉树模型中的时间间隔趋向于零的时候,二叉树模型就演化 成了在金融领域应用非常广泛的Black.Scholes模型,这就给我们一个提示,当我们研究连续情形有困难的 时候,就可以求助于在离散情况下比较好用的二叉树模型;而当用二叉树模型研究出现特别复杂的式子的 时候,就可以在概率或者随机分析的基础上对所得到的式子求其极限情况以简化计算.在期权定价的时 候,我们不妨尝试着多用二叉树模型,特别是在有交易费,有分红的时候,股票的价格一般是有一个随机的 跳跃,是不连续的,此时用Black—Scholes模型就比较麻烦,可能要用到非线性的 Black—Scholes方程,甚至粘 性解的理论Hamilton—Jacobi方程等,这个时候我们就可以考虑用二叉树模型来 研究问题. 参考文献: [1]JohnC,Hul1.Options,Futures,andOtherDerivatives[M].UpperSaddleRiver,NJ:Prenticehall,2001. [2]JohnC,CoxandMarkRubinstein,OptionsMarkets[M].UpperSaddleRiver,NJ:Prenticehall,2001. [3]DamienLamberton,BernardLape~e,IntroductiontOStochasticCalculusAppliedtoFinance[M].Cornwall~Chapman&Hall,1996. [4]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].北京:高等教育出版社,2003. TheLimitedSituationofBinomialTreesModelinTheOptionPricing QuJun.heng,ZHANGZhan.ying,ZHAOChun.ru (1.DepartmentofInformationScienceandMathematics,FoshanUniversity,Foshan528000,China; 2.EconomicManagementInstituteofSouthChinaNormalUniversity,Guangzhou,510006,China) Abstract:BasedonthesystematicanaysisoftherelationsanddifferencesbetweenBinomialTreesmodel andBlack— Scholesmodelwhicharefrequentlyusedinoptionprice,thisarticlefindsoutthatBlack— Scholesmod— elisthelimitofBinomialTreesmode1.andoptimizesthetwomodels. Keywords:BinomialTreesmodel;Black—Scholesmodel;EuropeanOption 责任编辑:周伦