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浅探“时钟夹角公式”在初中数学中的一点应用
“钟面上的数学问题”是
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阶段的常见问题，围绕速度、角度、对称等知识，利用一元一次方程的解决夹角问题更是小学中的重点内容，那学生到了初中又如何再次深入钟面进行探究呢,笔者认为学生在苏科版七年级学习了《用字母
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示数》和《二元一次方程组》，可以找出求时针和分针的夹角的“时钟夹角公式”，利用它在已知分针与时针夹角后求具体时刻( 一、探究任意时刻的时钟夹角公式，为建立二元一次方程模型提供条件 学生发现若用α表示前针转过的角度减去后针转过的角度，那夹角就是α或360?,α。若分针在前:α=5.5n-30m;若时针在前:α=30m-5.5n，得出“时钟夹角公式”是|30m-5.5n|?或360?-|30m-5.5n|?。 二、特例研究，培养从特殊到一般的思想 1、变量取值范围 因为时钟12小时一循环，m可以取0，1，2，…，11;n可取0，1，2，…，59。所以|30m-5.5n|<330。 2、时针与分针重合 问题,:现在1点整，什么时刻分针和时针第一次重合,(引出方程的思想) 分析:第一次重合即m=1，夹角等于0，即|30m-5.5n|或360-|30m-5.5n|等于0，因为|30m-5.5n|<330，30-5.5n=0。 解:由30-5.5n=0得n=5 ，所以第一次重合的时间为1?5 。 问题,:从0?00开始12个小时内时针和分针会重合几次,你能写出所有的时刻吗, 分析:由上题知解方程30m-5.5n=0即可，枚举法列出所有解。 解:解方程30m-5.5n=0得时钟在下列时刻时针与分针重合:0时0分，1时5 分，2时10 分，3时16 分，4时21 分，5时27 分，6时32 分，7时38 分，8时43 分，9时49 分，10时54 分，共重合11次。 由一元一次方程向二元一次方程递进，探索利用夹角公式解决夹角问题的一般步骤，在解题过程中加深对解的合理性的理解，关注到解的取值范围是方程思想的重要内容。 3、分针与时针成一条直线(不含重合) 问题3:从0?00开始12小时内，分针和时针会在什么时刻成一条直线(不含重合), 分析:|30m-5.5n|=180或360-|30m-5.5n|=180，即30m-5.5n=180或30m-5.5n=-180，要关注解的合理性，注意解的取值范围。 解:?|30m-5.5n|=180 ?30m-5.5n=180或30m-5.5n=-180。
解出方程30m-5.5n=180和30m-5.5n=-180符合条件的解，得出时钟在下列时刻时针与分针成一条直线:0时32 分，1时38 分，2时43 分，3时49 分，4时54 分，6时整，7时5 分，8时10 分，9时16 分，10时21 分，11时27 分。 分针与时针成一条直线是夹角问题中另一个比较简单的问题，但是解一
个二元一次方程已不能解决问题，此问题拓宽了学生思维的深度，为下面研究多个方程提供了可能。 4、分针与时针成直角 问题4:从0?00开始12小时内，分针和时针会在什么时刻成90?, 解:?|30m-5.5n|=90或360-|30m-5.5n|=90 ?|30m-5.5n|=90或|30m-5.5n|=270 ?30m-5.5n=90或30m-5.5n=-90，或30m-5.5n=270或30m-5.5n=-270。 解出符合条件的解，得出0时16 分，0时49 分、1时21 分、1时54 分、2时27 分、3时0分、3时32 分、4时5 分、4时38 分、5时10 分、5时43 分、6时16 分、6时49 分、7时21 分、7时54 分、8时27 分、9时0分、9时32 分、10时5 分、10时38 分、11时10 分、11时43 分时，时针与分针的夹角是90度。 从特殊到一般的思想是学习数学一个重要的思想方法，是学生探究性学习的重要手段，在数学教学的过程中培养学生的数学思想方法至关重要( 三、归纳总结，建立模型，提高解决问题的能力 已知两针所成的角为x度，你能说一说怎样求具体时间吗,(1)设具体时间为m时n分(m取0，1，2，…，11;n取0，1，2，…，59)。 (2)列出方程|30m-5.5n|=x或|30m-5.5n|=360-x。 (3)去掉绝对值符号化为二元一次方程30m-5.5n=x或30m-5.5n=-x或30m-5.5n=360-x或30m-5.5n=-(360-x)。 (4)求出二元一次方程符合条件(x取0，1，2，…，11;y取0，1，2，…，59)的解。 (5)列出具体时间。 学生在建立好模型以后，解决夹角问题就转化为了求多个二元一次方程的解的问题，学生感受到建立数学模型的重要性、便捷性、有效性，意识到有目的的归纳和总结可以帮助我们更好地解决问题，感受数学广泛的应用性。在平时的教学过程中我们要根据教学实际，有意识地向学生渗透数学建模思想，学生的建模能力定会有提高，从而他们分析问题、解决问题的能力也会有提高。
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