华侨大学 《信号与系统》证明题(B卷)

华侨大学 《信号与系统》证明题(B卷) DFTxnxnjxnxnXkDFTxn[()],()()(),()[()]，,,，试证明下列关系式成立: 华侨大学信息科学与工程学院 212 11,,《信号与系统》期末考试试卷(B卷) ,,,,，,XkXkXNk()[()()]XkXkXNk()[()()]212j2 N,410(库利—图基FFT算法也可解释[W] 矩阵的分解简化，例如可写出 题 目 一 总 分 核分人 复查人 得分 00，，，，100100WWXX(0)(0)，，，，,,,,,,,,00题目部分，(卷面共有50题，100分，各大题标有题量和总分) XWWX(2)100110(1),,,,,,,,, ,10,,,,,,,,XX(1)(2)001100WW,评卷人 得分 ,,,,,,,,10XX(3)(3),,,,，，，，001010,,WW，，，， 一、证明(50小题，共100分) (976),试证明此矩阵表示与一致，并指出此矩阵相乘的过程与前面哪一张FFT流程相对应。 Hp()1(设是线性时不变系统的传输算子，且系统起始状态为零，试证明: 11(证明下表中除第1行以外的其余几条性质 ,,t[()()]()()HpteHpt,，,,, 表 DFT的奇偶虚实性 23nnn()xn()Xk()_xn()Xk() ,,,,ttttt()2(),()0ttnt()(1)!(),,,,,,,,,2(证明:一般情况: 实函数 实部为偶、虚部为奇 虚函数 实部为奇、虚部为偶 Hp()3(设是线性时不变系统的传输算子，且系统起始状态为零，试证明实偶函数 实偶函数 虚偶函数 虚偶函数 实奇函数 虚奇函数 虚奇函数 实奇函数 ,,t[()()]()()HpteHpt,，,,,。 ，,1,tt,rtAe(),03,,t设，证明，，并求出A值。 4(rteuttk()()(3),,,,12(分别利用下面几种方法证明确。 ,，,,,[()]()ut,j,k,,, 11,,,,,,,,fttftftft()()(0)()2(0)()(0)(),,,,,,，5(证明。 (1)利用符号函数; [()sgn()]utt,，22 ,(),,,(2)利用矩形脉冲取极限; ,tt,rtAet(),03,,,6(设，证明，并求出A的值。 rteuttk()()(3),,,,,k,,,t(3)利用积分定理 [()()]utd,,,,,,,,,,,,,,,fttftftft()()(0)()2(0)()(0)(),,,,,,，7(证明。 ,at[()lim,0]utt,,(4)利用单边指数函数取极限 0a,xn()DFTxnXk[()](),xkXk()(),，8(若为纯虚序列，，分解为实部与虚部写做: r考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______ ft()ft()ft()13(函数可以表示成偶函数与奇函数之和，试证明: e0 jXk()Xk()kXk()k，试证明是的奇函数，是的偶函数。 iri队别__________ 教学班次___________ 学号___________ 姓名____________ ft()[()]()ftF,,[()]Re[()]ftF,,(1)若是实函数，且，则 e xn()XkDFTxnXk()[()],(),,xn()9(若已知实数有限长序列和，其长度为N，且 …………………………密………………………………封………………………………线……………………………………… 21121 试卷 第 1 页 (共 5 页) [()]Im[()]ftjF,, 0 ft()ftftjft()()(),,，[()]()ftF,,(2)若是复函数，可表示为则 ri 11** ftFF,,,,,ftFF,，,,,[()][()()],[()][()()],irj22 **F(),,[()]Ft,其中 xnRn()(),XkDFTxn()[()],14(已知，求，利用所得到的结果验证帕塞瓦尔定理。 N (),,,20/NdBdec18(试证明对巴特沃思和切比雪夫滤波器，阻带衰减速度为其中N()x,()t15(若、都为实函数，连续函数小波变换的定义可简写为c 为滤波器价数。 ,1[()](),,t,,，试证明以上定义也可用下式给出。 WTabxt,,(,)(),xj,,(),,,HjHje()(),,,19(一个理想低通滤波器的网络函数，其中 a Hjuut()()()(),,,,,,,,,，,,,,。幅度响应与频率响应特性如题图所示，证明,acc0jb,, (,)()(),,,,,,WTabXaedx,,,2, sin()t,,c此滤波器对于与的响应是一样的。 ()t,(2)讨论定义式中a,b参量的含义。 t,,ccsa，1()(0)Hsa,,16(试证明对和分别用冲激不变法Hsa,,()(0)aa2sa，,2,,2()sa，，,,T,, Hz()Hz()变换成数字滤波器的系统函数，两者具有相同的;从物理概念上解释这一结果(其 中T为抽样周期) gt()G(),17(试证明题图所示系统可以产生单边带信号。图中信号之频谱受限于 R(),X(),20(试证明因果系统的与被希尔伯特变换相互约束，即若因果系统的 ;()sgn().Hjj,,,()tV(),V(),,，,,~,,,,之间，设之频谱为，写出表示式，0mmm HjRjX()()(),,,,， 并画出图形。 ,,1()1()XR,,则 ,,,RdXd(),(),,,,,,,,,,,,,,,,,, 21(一个理想低通滤波器的网络函数为 考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______ j,,()HjHje()(),,, 队别__________ 教学班次___________ 学号___________ 姓名____________ …………………………密………………………………封………………………………线……………………………………… 试卷 第 2 页 (共 5 页) 1(),,,,,,,cc其中草药 Hj(),,,0()为其他值,, sin()t,,c幅度响应与相移响应特性如下图所示。证明此滤波器对于和的响应是一样()t,t,,cc 的。 dft()2ft()(),,(),27(若信号的功率谱为，试证明信号的功率谱为。 ffdt dft()2ft()(),,(),28(若信号的功率谱为，试证明信号的功率谱为。 ffdt fttftt()cos(),()sin(),,,,29(若信号，试证明两信号同时作用单位电阻时所产生12 ft()ft()的能量等于和分别作用时产生的能量之和，如果改为12 fttftt()cos(),()cos(45),,，,,，上述结论是否成立。 12 [()]()ftF,,ZFU()2()(),,,,Zt(),22(若令(只取单边频谱)。试证明 cos,cos(2),,cos()ttnt,,,30(试证明(n为整数)是在区间(0，2)中的正交函数集。 ,,jf(),,1ˆˆ,,，[()]()()Zftft，其中 ,ftd()[],,,,,t,,31(试证明前四个勒让德多项式在(-1，1)内是正交函数集。它是否规格化, (10100),(10111),23(完整推导证明窗函数设计难则式和式 cos,cos(2),cos()ttnt(0,2),32(证明(n为整数)不是区间上的完备正交函数集。 R(),X(),24(试利用另一种方法证明因果系统的与被希尔伯特变换相互约束。 cos,cos(2),,cos()ttnt,,,33(试证明在区间(0，2)上，下图的矩形波与信号正交(n为整数)，, ht()ht()hththt()()(),，hthtutht()()(),(),(1)已知和分别为的偶分量和奇分量，，0c0e cos()nt即此函数没有波形的分量。 hthtththtt()()sgn(),()()sgn().,,证明: ee00 HjRjX()()(),,,,,，(2)由傅里叶变换的奇偶虚实关系，已知其中 R(),X(),[()]()ftR,[()]()ftjX,,,。利用上述关系证明与之间满足希尔伯特变e0 换关系。 cos,cos(2),cos()ttnt(0,2),salitsaljtcalijt(,)(,)[(1)(1),],,,,25(试证明(n为整数)是在区间中的正交函数集。 34(证明: 考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______ salitcaljtsalijt(,)(,){[(1)]1,},,,， (0,2),cos,cos(2),cos()ttnt26(试证明在区间，题图的矩形波与信号正交(n为整 队别__________ 教学班次___________ 学号___________ 姓名____________ cos()nt数)，也即此函数没有波形的分量。 salitsaljtcalijt(,)(,)(1)(1),,,,,,35(试证明: ,, …………………………密………………………………封………………………………线……………………………………… 试卷 第 3 页 (共 5 页) 21k,salitcaljtsalijr(,)(,)(1)1,,,,,， ,,,,，，tt1t,,2!(1)!k,,,,1k,2,,Hz(),[()],()hnXz36(试证明序列相关定理，其中 hmxmnHzX,,[()()]()()tH,k e,01tz,,m,,,(2)!k,,, ,,,1,, hmxmnHzX,,[()()]()(),01,,z，，m,,, ,,[()]xnJIH,，,。 (3)利用 k 证明 nz[()]()xnXz,37(已知，证明 [()](),xkXz,21k,,1z，，tt,0k1t,,2!(1)!k,,,,1xn()Xz()[()]()xnXz,,38(已知的双边变换为，证明 zk,2,,t,jkt ee,01t,,(2)!k,,,()()()tAtBet,，,,39(已知线性时不变系统的状态方程和愉出方程表示为 kkkkkX，，，111,, ,,k,101,,rtCDet()(),，,CBCABCAB,,,0,0,,0 且有。 ，，11，，kk 证明:(1)该系统不可能同时完全可控和完全可观; ,100，，1,,000,Rs()1At,,(2)该系统的转移函数为常数，与无关。 eHs(),,(4)设求 A,,s,,001Es(),2,,000,，，2()ABtAtBt，ABBA,(1)eee,,40(证明:如果AB矩阵可交换时，即，则有。 41(已知两个系统有这样的关系 Hkk，(2)设矩阵被定义为如下的方阵 k ,,()()()tAtBet,，, ,0100，，rtCt()(),,1,,,0010,,TT,,,()()()tAtCet,,，,,H, ,k ,,,T0001rtBt()(),,,2,,, ,,0000，，证明:如果系统起始是静止的，则这两个系统的输出冲激响应有下列关系 证明 htht()(),, 12 考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______ 42(证明周期锯齿信号的傅立叶级数裘达式为 队别__________ 教学班次___________ 学号___________ 姓名____________ AA112p =-+++www其中A为锯齿的高度，为锯齿()[sinsin2sin3...]Tftttt=111p223w…………………………密………………………………封………………………………线……………………………………… 1 试卷 第 4 页 (共 5 页) 波的周期。 如果A=30V，求锯齿信号第25次谐波的振幅。 **XzXz()(),; 试:(1)证明 43(证明周期锯齿信号的傅立叶级数表达式为 *Xz()Xz()zz(2)若为的一个零点，则证明也是的零点。 00 AA11，， ,,,,,，，，fttttsinsin2sin3......，，111,,sa，1,223，，()(0)47(试证明对和Hsa,,分别用冲激不变法Hsa,,()(0)aa2sa，,2,,2()sa，，,,2,T,,其中A为锯齿的高度，T=为锯齿波的周期。 ,1 Hz()Hz()变换成数字滤波器的系统函数，两者具有相同的;从理物概念上解释这一结果(其如果A=30VA，求锯齿信号第25次谐波的振幅。 中T为抽样周期)。 44(题图是数字滤波器的两种直接实现形式，利用信号流图证明两者具有相同的转移函数。 DFTxnXk()(),48(证明DFT的对称性质:若，则 ,, DFTXnNxkRk()(())(),, ,,NN ，，DFSxnXk()(),xn()49(若周期序列为实数序列，则呈共轭对称性，即ppp，， *XkXk()(),,。试证明此特性。 pp xnxn(),()50(若已知实数有限长序列，其长度都为N: 12 DFTxnXkDFTxnXk()(),()(),, ,,,,1122 xnjxnxnDFTxnXk()()(),()()，,, ,,12 试证明下列关系式成立: 45(利用运算放大器构成的积分器电路如下图a所示。此电路是图(b)，取1,，， ,，,XkXkXnK()()()1，，12而得到的。利用该题结果证明这是一个近似的积分器电路，给出近似条ZsRZs(),(),,12sC1,，，,,, XkXkXNk()()()件(K，R，C参数之条件)。 2，，2j 考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______ 队别__________ 教学班次___________ 学号___________ 姓名____________ (a) (b) xk()Xz()46(设为一个实数序列，而且对应的象函数为。 …………………………密………………………………封………………………………线……………………………………… 试卷 第 5 页 (共 5 页)