揭开6σ管理中1.5σ偏移量的谜底——终结对1.5σ偏移量的争论

本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 1 - 揭开 6σ管理中 1.5σ偏移量的谜底 ——终结对 1.5σ偏移量的争论 宋祥彦 20 世纪 70 年代末 80 年代初，日本凭借其过硬的产品质量，成功地占领 了照相机、家用电器、手表、轿车等行业的国际市场。美国摩托罗拉公司在 市场竞争中，先后失去了收音机、电视机、半导体等市场，到 1985 年公司濒 临倒闭。在残酷的市场竞争面前，摩托罗拉高层不得不承认“我们的质量很 臭”，并认识到管理出了问题。于是开始重视和学习日本的管理 经验 班主任工作经验交流宣传工作经验交流材料优秀班主任经验交流小学课改经验典型材料房地产总经理管理经验 ，发誓要 夺回失掉的市场。 1986年，摩托罗拉通讯事业部高级工程师麦克·哈里(Mikel J· Harry)为了提高蜂窝电话产品质量，潜心研究数理统计技 术。他发现一般公司对产品缺陷率的要求仅仅是统计学意义 上的3σ，或者说缺陷率为66810DPMO，如此高的缺陷使他萌 发了一个大胆的设想，如果大大降低质量特性值的离散程度， 使质量水平提高到6σ，那么缺陷率就会降为3.4DPMO。为了 实现这一巨大飞跃，不能依赖传统方法，后来他又发明了 DMAIC方法作为实现改进的手段和方法。DMAIC共有5个步 骤，分别为：定义(Define)、测量(Measure)、分析(Analyze)、改善(Improve)与控 制(Control)。 麦克·哈里的《在摩托罗拉内部推进 6σ战略观》的报告，是一套以数理统计 为基础的管理方法，强调消除错误，降低消耗，避免重复劳动，其核心是数据定 义、测量 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 、分析原因、改进优化和控制效果，使企业在生产、 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 管理等方 面达到最佳境界。这份报告提交后，很快得到了公司 CEO 罗伯特·盖尔文的批准。 就这样，由摩托罗拉最先倡导的六西格玛，从 20 世纪 80 年代中期开始，由 一种全面质量管理方法经过运用统计技术理论演变成为一套卓有成效的改造和 优化企业流程设计的管理方法和工具，90 年代中期被通用电气公司(GE，General Electric)成功地从一种质量管理方法演变成为一种衡量企业产品和服务质量水平 的评价 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，继而成为追求管理卓越性的跨国企业最为重要的战略举措。 可见，六西格玛管理有两个重要组成部分：一个是 DMAIC 质量改进模式， 其本质是戴明 PDCA 循环的量化和深化；另一个是六西格玛质量评价体系，无 论是产品还是服务，对于不同行业、同一行业不同产品、同一产品不同技术要求 都可以在同一个参照系下对质量水平进行评价和比较，正所谓六西格玛开创了一 种新的质量评价体系[1]。 20 世纪 80 年代中期在摩托罗拉公司诞生的六西格玛管理 方法有两个创始人。一个是摩托罗拉公司已故科学家比尔·史密 斯(Bill Smith)——“六西格玛之父”。 史密斯在大学毕业后从事 了近 35 年的工程和质量保证工作，于 1987 年加入摩托罗拉， 担任通信事业部副总裁兼移动产品部门的高级质量保证经理。 1.5σ系统偏移正是由他提出的，摩托罗拉公司在美国联邦政府 注册的 Six Sigma 商标也是由于他的缘故[2]。1988 年，摩托罗 本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 2 - 拉在实施六西格玛管理法的第二年，就获得了美国质量学会设立的马尔科姆·波 多里奇国家质量奖，这与比尔·史密斯奖不无关系。而摩托罗拉公司第一个(三企 业之一)赢得国家质量奖，促使他人渴望了解六西格玛，这是六西格玛在当时广 为人知的主要原因之一。然而，仅仅五年后，比尔·史密斯在摩托罗拉因心脏病 突发离世(1993 年 7 月 27 日)，享年 64 岁。另一个就是麦克·哈里博士——“六西 格玛教父”，麦克·哈里起先供职于通用电气，20 世纪 80 年代中期加入了摩托罗 拉，是六西格玛研究院创始人之一，他提出六西格玛突破战略和六西格玛黑带概 念，实践和发展了六西格玛管理方法，是 6σ 管理最著名的活动家之一，在 6σ 管理的理论研究、推广应用和书籍出版等方面都有十分重要的贡献。实际上，早 在 1984 年以前，麦克·哈里对系统偏移已做过一些研究[2]。后来，由于麦克·哈里 在 1.5σ 系统偏移与容差设计方面研究的突出贡献而获得过摩托罗拉公司科学顾 问委员会杰出技术奖。 六西格玛管理法在为麦克·哈里博士带来荣誉 的同时，1.5σ 偏移量也引来了业界许多争议。对 1.5σ 偏移量争论伴随着六西格玛管理方法的诞生 一直持续至今。读者在本文中将会看到，对 1.5σ 偏移量争论不仅出现在六西格玛专著中，而且在 美国的六西格玛网站(iSixSigma)上，还上演了一 场旷日持久的大辩论[2]。对 1.5σ 偏移量的探讨不 仅发生在国外，国内也有不少学者关注这个问题。 中国科学院研究生院数学系的张建方教授以及香港科技大学工业工程及物流管 理学系主任宗福季*教授也在跟踪研究和探讨这个问题，为此还曾获得到国家自 然科学基金资助[2]，基金资助项目编号为 70371018。 6σ 管理法中的 1.5σ 偏移量本身是否能站得住脚？有理论证明它是正确的 吗？把 1.5σ 偏移量引入六西格玛质量评价体系存在什么问题？1.5σ 偏移量的内 涵究竟是什么？六西格玛设计者为什么不能对 1.5σ 偏移量自圆其说？解铃还须 系铃人，六西格玛设计者尚且解释不清 1.5σ 偏移量，那么这场旷日持久的学术 纷争将会在何时、以何种方式结束？最终将由谁来揭开 1.5σ 偏移量的谜底呢？ 谁最终会为这场不分上下的学术纷争画上一个圆满的句号?阅读本文后，这一系 列问题都将烟消云散。 为使读者能正确理解 1.5σ 偏移量在六西格玛质量评价体系的作用，并通过 本文对六西格玛质量评价体系的来龙去脉有个清晰的了解，并熟练掌握笔者对六 西格玛评价体系所做的修正、丰富和发展(这三项各有所指，分别对应笔者对六 西格玛的三大贡献)，笔者借本文(揭开 1.5σ 偏移量谜底)完整、系统、准确、全 面地介绍六西格玛质量评价体系。 一 六西格玛质量评价体系 1 基于 1.5σ偏移量提出的六西格玛设计标准 因生产加工过程受 5M1E 因素影响，产品质量特征值的分布中心与公差中心 *资料显示，宗福季教授于 2011 年 3 月被选为国际质量研究院(IAQ，International Academy for Quality)院士，是继香港城市大学 校长郭位教授之后的第二位香港院士，目前中国共有六位院士：宗福季、郭位、刘源张、徐济超、苏朝墩(台湾)、另一位待确认。 本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 3 - 偏移是客观存在的事实。美国学者德尔(Bender)和吉尔森(Gilson)独立地研究了漂 移，在 30 年研究的基础上，发现过程的漂移是 1.49 倍标准差[3]。 六西格玛设计者在提出六西格玛设计标准时，提出了一个大胆的假设，即假 定所有可接受的波动源总和为 1.5σ。六西格玛方法两个创始人之一的麦克·哈里 认为，生产过程中批与批之间往往存在质量变异，有时可能变异大一些，有时小 一些，但平均来说偏离目标值 1.5σ 是非常可能的。由于假定所有可接受的波动 源总和为 1.5σ在工业实践已经被证明是合理的[4]，也就是说，波动造成的偏移量 在现有的科学技术水平下，可以控制在 1.5σ 以内，而且随着科学的进步，这个 1.5σ的偏移量会逐渐减少。所以在 20 世纪 80 年代中期，摩托罗拉公司据此提出 了著名的六西格玛设计标准 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≥ = 5.1 0.2 pk p C C ………………………………………………………………………(1) 六西格玛设计标准含义如下： 只要控制过程使其满足公差 T 范围内包含 12 个 σ，且对称公差有偏情况下 的过程能力指数 Cpk 不小于 1.5，那么过程的偏移量就被控制在 1.5σ 范围内，缺 陷率就不大于 3.4DPMO。 如何控制过程，需要对工序的过程能力指数进行精确的估计。正确的理解应 该是抽取样本，计算样本均值和样本标准差，并对总体进行估计，再运用均值和 标准差的估计值 σμ ˆˆ和 判断均值和标准差是否满足 ε=|M– μˆ|≤1.5σˆ ，12σˆ =T。如果 这两个统计量都能按照要求得到满足，则必有 Cp=2.0 和 Cpk≥1.5。这样，过程便 达到六西格玛设计标准的要求，质量水平就达到 3.4DPMO。 需要说明的是，如果 12σˆ>T，一般情况下也能保证缺陷率不大于 3.4DPMO， 但是必须有个先决条件，那就是偏移量 ε应该小于 1.5σˆ 。当过程的标准差σˆ小到 使得 14σˆ =T 或 16σˆ =T 时，按照控制方式的概念，这已经是 7σ或 8σ控制方式了， 当然这两种控制方式必须满足 ε=|M– μˆ |≤1.5σˆ ，才能称其为 7σ 设计标准或 8σ 设 计标准。近年来摩托罗拉公司提出的 8σ设计标准[4]是 Cp=2.67 且 Cpk≥2.17，产品 质量的控制水平要达到这一标准要求，单凭使用目前的质量管理工具和方法进行 质量改进是无法实现的，必须在硬件上依靠科学技术的进步和先进可靠的技术设 备做支撑。 2 六西格玛质量水平 3.4DPMO由来 下面我们来看当过程的控制水平达到六西格玛设计标准时，产品的质量水平 是多少。根据六西格玛设计标准 Cp=2.0 和 Cpk≥1.5 由 Cp=2.0 和 Cp= T6σ 得 T=12σ 这意味着当 Cp=2.0 时，在公差 T 内恰有 12 个标准差。 由 Cpk=(1–2εT )Cp 得 ε= T 2(1– Cpk Cp ) 将 Cp=2.0、T=12σ和 Cpk≥1.5 代入得 ε= T 2(1– Cpk Cp )≤ 12σ 2 (1– 1.5 2 )=1.5σ 本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 4 - 这意味着在 Cp=2.0 时，若 Cpk≥1.5，则产品质量特性值均值 μ 偏离公差中 心 M 的偏移量 ε≤1.5σ。 先考虑 ε=1.5σ 的情况。当 ε=1.5σ 时，参见图 1，根据正态分布概率计算公 式，此时区间[TL,TU]内的合格率为 y=Φ( TU–μ σ )–Φ( TL–μ σ )=Φ(4.5) –Φ(–7.5)=99.99966% p=1–99.99966%=0.0000034=3.4DPMO 需要说明的是，在查 GB4086—83《统计分布数值表 正态分布函数表》计 算时，由于该表保留的精度不够，即小数点后面只有六位，所以 Φ(4.5)=0.999997， Φ(7.5)=1，合格率=99.9997%，得到的六西格玛质量水平是 3DPMO。为了得到 3.4DPMO 的结果，笔者采用 Excel 表计算得到精度是 7 位的正态分布函数表— —文献[5]附表 2。上述结果正是查该书中附表 2 计算得到的。 读者也可以借助于 Excel表中的函数NORMSDIST()(其功能是返回标准正态 分布函数值)计算 Φ(4.5)和 Φ(7.5)，根据需要确定保留数据的位数。 显然，当 ε<1.5σ 时，合格率将高于 99.99966%，缺陷率将低于 3.4DPMO。 基于此，6σ设计标准中 Cpk≥1.5。 以上就是 6σ质量水平 3.4DPMO 的由来。 3 六西格玛质量评价体系数学模型 由上面讨论知，在六西格玛质量评价体系中，6σ质量水平是 3.4DPMO，那 么 5σ、4σ、3.5σ 等等的质量水平为多少呢？因此，我们必须揭示六西格玛质量 评价体数学模型。 假定波动造成的偏移为 1.5σ，对于任一控制方式 ZSσ(参见图 2)，计算偏移 1.5σ时的缺陷率。根据正态分布概率计算 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 p=1–[Φ( TU–μ σ ) –Φ( TL–μ σ )] =1–[Φ( ZSσ–1.5σ σ )–Φ( –ZSσ–1.5σ σ )] =1–Φ(ZS–1.5) +Φ(–ZS–1.5) =2–Φ(ZS–1.5)–Φ(ZS+1.5)……………………………………………………(2) 式(2)正是六西格玛质量评价体系的数学模型，其在六西格玛黑带考试题中 曾出现过，只不过笔者用“ZS”取代了“Z”，其中“S”表示标准差。 为何要用“ZS”取代了“Z”？请读者阅读完本文后，再回头阅读以下标黄文字。 本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 5 - 西格玛水平值 Z 与控制方式级别值 ZS 是有本质区别的，但两者存在着 Z=ZS+(1.5–n)的关系(见式(5))，这一关系式是在发现质量水平计算公式后推导出 来的。从这一关系式可以看出，在偏移量等于 1.5σ 时，偏移量 1.5σ 折算成标准 差 σ的倍数 n=1.5σ/σ=1.5，西格玛水平值 Z 等于控制方式的级别值 ZS。因此，我 们在此可以建立一个概念，在六西格玛质量评价体系中，或当偏移量为 1.5σ时， 西格玛水平值 Z 等于控制方式级别值 ZS。《六西格玛管理质疑》专著附表 1 中的 DPMO 与西格玛水平值 Z 的转换关系是在偏移量为 1.5σ 时得到的，这就意味着 该表中最左侧一列的西格玛水平值 Z，实际上就是控制方式的级别值 ZS。笔者在 研究六西格玛质量评价体系过程中，发现了质量水平与标准差和偏移量之间的数 量关系后才引入 ZS 变量的，该变量的引入，引发了笔者对六西格玛质量评价体 系中 1.5σ 偏移量的进一步思考，并最终为 1.5σ 偏移量的争论画上了一个圆满的 句号。 将 ZS=1、2、3、4、5、6 分别代入式(2)可得到表 1。该表即是 ZS 为正整数 时质量水平与缺陷率的对应关系表。 表 1 质量水平与缺陷率的对应关系(ε=1.5σ) 西格玛水平值 Z 控制方式级别值 ZS 质量水平 合格率(%) 缺陷率 p (DPMO) 1 1 1σ 30.2328 697672 2 2 2σ 69.1230 308770 3 3 3σ 93.3190 66810 4 4 4σ 99.3790 6210 5 5 5σ 99.9767 233 6 6 6σ 99.99966 3.4 当 ZS 取 0≤ZS≤6 的任意实数值时，每一个 ZS 值都有一个缺陷率与之相对 应。这样便可得到六西格玛质量评价体系中各种控制水平过程的缺陷率与控制方 式级别值 ZS的对应关系转换表(《六西格玛管理质疑》专著附表 1)。 【例 1】 借助于六西格玛质量评价体系数学模型，说明偏移 1.5σ 时缺陷率 DPMO 与质量水平值 Z 的对应关系表(《六西格玛管理质疑》专著附表 1)是如何 计算得到的。 解：六西格玛质量评价体系数学模型为 p=2−Φ(ZS−1.5)−Φ(ZS+1.5)。由于六 西格玛质量评价体系是建立在 1.5σ偏移基础上，所以此时的 ZS=Z。即六西格玛 质量评价体系数学模型可写为 p=2−Φ(Z−1.5)−Φ(Z+1.5)。p 为缺陷率，单位为 DPMO，Z 表示西格玛水平值，它与 σ结合称为质量水平，如 3.5σ。 每当给定一个 Z 值，借助于 Excel 表中的函数 NORMSDIST()，都可以计算 本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 6 - 出偏移 1.5σ 时缺陷率 DPMO，它们与西格玛水平值 Z 的对应关系见表 2。为能 简单说明问题，表 2 中 Z 的取值范围是 0.10~6.00，步长为 0.1。《六西格玛管理 质疑》专著附表 1 正是根据上述数学模型计算得到的。 表 2 偏移 1.5σ时缺陷率 DPMO 与西格玛水平值 Z 的对应关系表 Z DPMO Z DPMO Z DPMO Z DPMO 0.10 974042.63 1.60 461139.77 3.10 54801.40 4.60 967.60 0.20 947764.98 1.70 421427.43 3.20 44566.76 4.70 687.14 0.30 920860.65 1.80 382572.00 3.30 35931.11 4.80 483.42 0.40 893050.50 1.90 344915.19 3.40 28717.04 4.90 336.93 0.50 864094.88 2.00 308770.17 3.50 22750.42 5.00 232.63 0.60 833804.30 2.10 274412.23 3.60 17864.59 5.10 159.11 0.70 802048.05 2.20 242071.45 3.70 13903.55 5.20 107.80 0.80 768760.46 2.30 211927.75 3.80 10724.17 5.30 72.35 0.90 733944.42 2.40 184108.22 3.90 8197.57 5.40 48.10 1.00 697672.13 2.50 158686.93 4.00 6209.68 5.50 31.67 1.10 660082.93 2.60 135686.72 4.10 4661.20 5.60 20.66 1.20 621378.40 2.70 115083.02 4.20 3466.98 5.70 13.35 1.30 581814.84 2.80 96809.02 4.30 2555.13 5.80 8.54 1.40 541693.65 2.90 80762.07 4.40 1865.82 5.90 5.41 1.50 501349.90 3.00 66810.60 4.50 1349.90 6.00 3.40 通过以上三个方面介绍，我们对六西格玛质量评价体系有了初步的了解： 1. 1.5σ 偏移量与六西格玛设计标准中的 Cpk≥1.5 相互关联，六西格玛设计 标准是基于 1.5σ偏移量得到的。 2. 从狭义上讲，六西格玛代表的是过程达到六西格玛时的质量水平 ——3.4DPMO；从广义上讲，六西格玛还代表了一种质量评价体系。这个评价 体系的数学模型是p=2−Φ(ZS−1.5)−Φ(ZS+1.5)，也可写成p=2−Φ(Z−1.5)−Φ(Z+1.5)。 3. 根据六西格玛数学模型可得到偏移 1.5σ时缺陷率DPMO与西格玛水平值 Z 的转换关系表。运用六西格玛质量评价体系时，每给定一个过程的缺陷率，就 能通过查表确定过程相应的西格玛水平值 Z，进而得到过程的质量水平 Zσ。 由此可见，六西格玛质量评价体系建立的基础有两个：一个是 1.5σ偏移量； 另一个是六西格玛设计标准(含 Cpk 公式)，参见图 3。 本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 7 - 二 修正六西格玛设计标准 在六西格玛设计标准中，由于Cpk表示对称公差有偏情况下的过程能力指数， 在关系式 Cpk=(1–2ε/T)Cp 中，由于 ε=T2(1– Cpk Cp )≤ 12σ 2 (1– 1.5 2 )=1.5σ，所以 Cpk≥1.5 确保了偏移量ε≤1.5σ。 但由于对称公差有偏情况下的过程能力指数计算公式 Cpk=(1–2ε/T)Cp是错误 的，已被 Cpkr=(1–K/2)Cp=(1–ε/T)Cp 修正[6]，这一修正表明，Cpk 计算出来的数值 总是比正确的 Cpkr结果低 ε/6σ，同时也正确地解释了为什么机械、电子、化工、 纺织等行业在采用 Cpk 时普遍存在计算偏低的现象。一个在质量界沿用 30 年的 Cpk 被 Cpkr修正后，摆在我们面前的一个问题是：Cpk 被 Cpkr取代后，六西格玛质 量评价体系应该作何修正？ 如果我们简单或机械地采用 Cpkr≥1.5 取代六西格玛设计标准中的 Cpk≥1.5，那么会出现什么结果呢？我们看 由 Cp=2.0 和 Cp= T 6σ 得 T=12σ 由 Cpkr=(1–εT)Cp 得，ε=T (1– Cpkr Cp ) 将 T=12σ、Cp=2.0 和 Cpkr≥1.5 代入得 ε=T (1– Cpkr Cp )≤12σ(1– 1.5 2 )=3σ 即在Cp=2.0和Cpkr≥1.5时采用正确的Cpkr公式计算得到的偏移量不超过3σ， 这就意味着在六西格玛设计标准中简单地将 Cpk≥1.5 改为 Cpkr≥1.5，并不能保 证偏移量 ε≤1.5σ，而只能保证偏移量 ε≤3σ。 我们不难计算出当偏移量 ε≤3σ时的缺陷率。根据正态分布概率计算公式， 参照图 1(此时图中的偏移量为 3σ)，偏移 3σ时的合格率为 y=Φ( TU–μ σ )－Φ( TL–μ σ ) =Φ(3) –Φ(–9) =0.998650 =99.865% p=1–99.865%=0.001350 =1350DPMO 这样做的结果，六西格玛质量水平不是 3.4DPMO，而是 1350DPMO。 为确保六西格玛质量水平 3.4DPMO 不变，同时也使六西格玛质量评价体系 中的偏移量 ε≤1.5σ，笔者修正了六西格玛设计标准[7]，即采用 Cpkr≥1.75 取代六 西格玛设计标准中的 Cpk≥1.5。这样修正有两个好处：一是确保偏移量仍为 ε≤1.5σ；二是确保六西格玛质量水平 3.4DPMO 和六西格玛质量评价体系数学模 型(p=2−Φ(Z−1.5)−Φ(Z+1.5))不变。参见图 4。 Cpkr≥1.75 是怎么得到的呢？ 因为由 Cp=2.0 和 Cp= T 6σ 得 T=12σ 将 ε≤1.5σ、Cp=2.0 和 T=12σ代入 Cpkr公式得 本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 8 - Cpkr=(1– ε T)Cp≥(1– 1.5σ 12σ )×2=1.75 为什么说采用Cpkr≥1.75取代六西格玛设计标准中的Cpk≥1.5既能确保偏移 量仍为 ε≤1.5σ，又能确保六西格玛质量水平 3.4DPMO 和六西格玛质量评价体系 数学模型 p=2−Φ(Z−1.5)−Φ(Z+1.5)不变呢？ 因为 Cp=2.0 且 Cpkr≥1.75 时，偏移量 ε=T (1–CpkrCp )≤12σ(1– 1.75 2 )=1.5σ。显而 易见，ε≤1.5σ不仅能确保六西格玛质量水平仍为 3.4DPMO，而且能确保六西格 玛质量评价体系数学模型仍为 p=2−Φ(Z−1.5)−Φ(Z+1.5)保持不变。这是笔者在研 究过程能力指数，创立过程能力指数理论，建立基于 Cp 的过程能力指数评价评 价体系后，对六西格玛质量评价体系所做的最小的也是最合理的修正。而对六西 格玛设计标准的修正是笔者对六西格玛质量评价体系做出的第一个贡献。 以上我们介绍了三方面的问题：一是为何要修正六西格玛设计标准；二是为 何不能简单地采用 Cpkr≥1.5 取代 Cpk≥1.5 来修正；三是采用 Cpkr≥1.75 取代六 西格玛设计标准中的 Cpk≥1.5 的合理性。 由此可见，修正后的六西格玛质量评价体系或六西格玛质量评价体系数学模 型的理论基础有两个：一个是 1.5σ 偏移量；另一个是修正后的六西格玛设计标 准(含 Cpkr公式)。 三 发现质量水平计算公式 1 两种确定质量水平的方法 在六西格玛管理中，评价产品或过程的质量水平的方法是通过计算产品或过 程的缺陷率 DPMO，然后再查偏移 1.5σ 时缺陷率与质量水平转换表来确定产品 或过程的质量水平。例如，DPMO=0.003×106=3000，查文献[5]附表 1《偏移 1.5σ 时质量水平 Z 值与缺陷率 DPMO 转换关系表》知，该流程的质量水平为 4.25σ。 通常情况下，确定缺陷率 DPMO 有两种方法：一种是通过 DPU、DPO 转换成 DPMO；另一种是针对计量特性值的产品，根据样本的均值和标准差采用正态分 布概率公式计算缺陷率 DPMO。这样，对于不同行业或同一行业的不同产品(包 本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 9 - 括服务)，都可以在一个参照系下进行评价。以下介绍六西格玛管理中确定质量 水平的两种方法。 方法 1——根据 DPU、DPO确定质量水平 六西格玛工程中的单元(Unit)指对其计算缺陷的事或物，机会(Opportunity) 则表示出现缺陷的可能性。例如，每块电路板有 100 个元器件插孔，则每块电路 板在焊接时出现缺陷的机会数为 100，电路板则称为单元。六西格玛工程中常用 的计量缺陷的单位有 DPU、DPO 和 DPMO。DPU(Defects Per Unit)是单位产品或 服务的缺陷数，DPO(Defects Per Opportunity)是缺陷数占缺陷机会数的比率。 例如，抽检 10 块电路板，发现 4 个缺陷，则 DPU=4/10=0.4。由于每块电路 板有 100 个可能出错的机会，则 10 块板有 100×10=1000 个产生缺陷的机会， DPO=4/1000=0.004。DPMO=0.004×106=4000，即每百万个机会中出现 4000 个缺 陷。查文献[5]附表 1 知(注：也可查本文表 2 得近似值，以下同)，电路板的质量 水平是 4.16σ。 再如，80 个抽样产品，有 80 个单元，12 个缺陷，DPU=12/80=0.15。假设 每个单元有 6 个产生缺陷的机会，则共有 6×80＝ 480 个机会，因此 DPO=12/480=0.025，DPMO=25000。查文献[5]附表 1 知，该批产品的质量水平为 3.46σ。据此可确定供方产品的质量水平，采购时货比三家。 将合格率转换成 DPMO 也可以计算质量水平，但必须强调一点，合格率中 的分母不能是单位产品数，必须是缺陷机会数，除非每个产品只考察一个质量特 性时，产品个数才等价于缺陷机会数，但这是一种极特殊情况，通常一个产品要 考察几个、十几个、甚至几十个质量特性不足为奇。 需要说明的是，文献[8]中的《6σ管理法转换表》和文献[9]中的《6σ转换表》 将西格玛水平值称为“σ 值”，这是不恰当的，应将其改为“σ 水平值”。因为在 六西格玛管理中，“σ”自始至终都是统计学意义中的标准差概念，“σ 值”就是 标准差的值，而标准差的值(σ)与西格玛水平值是两个不同的概念，决不可混为 一谈。否则，就会得出“σ 值越低，产品或服务的缺陷率越高；“σ 值”越高，缺 陷率越低的谬论。 方法 2——根据均值和标准差确定质量水平 实际生产过程中，常常要根据均值和标准差来计算缺陷率，进而确定过程的 质量水平。 【例 2】某企业生产加工螺母，技术要求为 10±0.2mm。通过测定一组螺母 的直径，得到螺母的样本均值是 10.1mm，标准差是 0.05mm，评估一下生产过 程的质量水平。 解：由于 T=2ZSσ，所以 ZS = T2σ = 0.4 2×0.05 =4，所以控制方式是 4σ。 根据正态分布概率计算公式，合格率为 y=Φ( TU–μ σ )–Φ( TL–μ σ ) =Φ( 10.2–10.1 0.05 )–Φ( 9.8–10.1 0.05 ) =Φ(2) –Φ(–6) =0.977250 本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 10 - =97.725% 缺陷率 p=1–97.725%=22750DPMO 查文献[5]附表 1 知，在六西格玛质量评价体系中，缺陷率 22750DPMO 对应 西格玛水平值 Z=3.5，故过程的质量水平是 3. 5σ。 本例中的偏移量 ε=|μ–M|=|10.1–10|=0.1=2σ，可见由于均值的偏移使质量水平 降为 3.5σ。在本例中，若均值为 10.05mm，而标准差不变，则过程的控制方式仍 为 4σ，此时合格率为 99.8650%，缺陷率为 1350DPMO，西格玛水平值 Z=4.5σ， 质量水平是 4.5σ(读者可自行验证)。 2 从一个典型算例发现质量水平计算公式 以上是传统的确定质量水平的两种方法。对于计量特性值产品而言，标准差 和均值是怎样影响质量水平的，上述两种确定质量水平的方法缺乏进一步研究。 笔者在研究过程能力指数过程中，在对计量特性值产品的过程控制能力进行分析 时，通过对控制方式与缺陷率关系的深入研究，偶然发现了一个不用查表就能确 定质量水平的计算公式，该公式可以帮助质量工程师摆脱不必要的计算和查表过 程，减少计算环节，提高工作效率和准确性。以下向读者介绍，笔者是如何通过 案例分析发现质量水平计算公式的。 【例 3】企业某产品技术规格要求为 70±2mm，抽样测得样本均值为 μ=70.4mm，样本标准差为 σ=0.5mm，试分析计算以下问题： 1. 确定过程的控制方式 2. 评价过程能力指数 3. 计算产品合格率 4. 评估过程的质量水平 解：1. 确定过程的控制方式 由 TU=72，TL=68 得，T=72−68=4 由 σ=0.5 和 T＝2ZSσ得，ZS= T2σ = 4 2×0.5 =4，即过程处于 4σ控制方式。 2. 评价过程能力指数 Cp= T 6σ = 4 6×0.5 =1.33 由 M=70，μ=70.4mm 得，ε=|μ–M|=0.4，故修正后的对称公差有偏时的过程 能力指数为 Cpkr= T–ε 6σ = 4–0.4 6×0.5 =1.2，而原公式计算的过程能力指数为 Cpk= T–2ε 6σ = 4–2×0.4 6×0.5 =1.07。 3. 计算产品的合格率 根据正态分布概率计算公式，合格率为 y=Φ( TU−μ σ )−Φ( TL−μ σ ) =Φ( 72−70.4 0.5 )−Φ( 68−70.4 0.5 ) 本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 11 - =Φ(3.2) −Φ(−4.8) =99.9312% 4. 评估过程的质量水平 由于合格率为 99.9312%，所以缺陷率为 688DPMO，查文献[5]附表 1 知，过 程的质量水平是 4.7σ。 至此，该算例所要求的 4 个计算问题已经全部解答完毕。 以上在该例中，我们讨论的是偏移量 ε=0.4=0.8σ<1.5σ 的情况。现在，我们 再增加两种情况，即偏移量 ε 恰等于 1.5σ 以及 ε 大于 1.5σ 时的情况，来重复上 述计算过程，看看会有什么收获。为节省篇幅并便于比较，将计算结果列入表 3。 表 3 同一过程其它条件不变，当均值发生变化时各项评价对照表 ZSσ 过程能力指数 合格率 缺陷率 质量水平 Zσ μ=70.4mm(ε=0.8σ<1.5σ) 4σ Cp=1.33，Cpkr=1.2，Cpk=1.07 99.93% 688DPMO 4.7σ μ=70.75mm(ε=1.5σ) 4σ Cp=1.33，Cpkr=1.08，Cpk=0.83 99.38% 6210DPMO 4σ μ=70.95mm(ε=1.9σ>1.5σ) 4σ Cp=1.33，Cpkr=1.02，Cpk=0.7 98.21% 17864DPMO 3.6σ 说明： 技术要求 70±2mm 不变，标准差 σ=0.5 不变。 注：表 3 中的质量水平 Zσ中的 Z 是通过缺陷率查文献[5]附表 1 得到的。 通过本例发现，三种情况控制方式 ZSσ 都是 4σ。这表明公差上限(或下限) 与公差中心之间包含的标准差个数是 4，说明控制方式仅仅反映了对标准差的控 制水平。那么，偏移量是如何影响质量水平的呢？ 当 μ=70.4，即 ε=0.4=0.8σ<1.5σ时，质量水平是 4.7σ时，高于 4σ； 当 μ=70.75，即 ε=0.75=1.5σ时，质量水平为 4σ，等于控制方式 4σ。 当 μ=70.95，即 ε=0.95=1.9σ>1.5σ时，质量水平是 3.6σ时，低于 4σ； 显而易见 质量水平 4.7σ 比控制方式 4σ 高出 0.7σ，高出 0.7σ 恰恰是偏移量 0.8σ 相对 于 1.5σ的余量，即对偏移量的控制比 1.5σ严，少偏移了 0.7σ本身就意味着对质 量水平的贡献是 0.7σ。 质量水平恰为 4σ，说明偏移量的控制对质量水平没有影响。 质量水平 3.6σ 比控制方式 4σ 低 0.4σ，低出的 0.4σ 恰恰是偏移量 1.9σ 相对 于 1.5σ的余量，即对偏移量的控制比 1.5σ松，多偏移了 0.4σ本身就意味着对质 量水平的贡献是−0.4σ。 该例不仅说明了质量水平综合反映了均值和标准差对产品的影响，还更进一 步从数量关系上说明偏移量是以 1.5σ 为基准对最终质量水平有正负影响：偏移 量低于 1.5σ时，低出来的偏移量部分对质量水平有正贡献；偏移量高于 1.5σ时， 高出来的偏移量部分对质量水平有负贡献。 因此，笔者通过对上述算例进行归纳，发现了质量水平计算公式。即只要知 道偏移量的大小，根据控制方式的级别，无须通过计算缺陷率查表就可以确定过 程的质量水平。 假设偏移量 ε=nσ(其中 n 表示偏移量相对于标准差的倍数)，控制方式为 ZSσ， 则质量水平 QL(Quality Level)公式为： QL=ZSσ+(1.5–n)σ………………………………………………………………(3) 式(3)表明，控制方式 ZSσ 仅仅反映了对标准差的控制水平(这就是为什么加 下角标“s”的原因)，而质量水平 QL 则综合反映了偏移量和标准差对产品质量 本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 12 - 的影响。质量水平计算公式 QL从数量关系上揭示了标准差和偏移量对产品质量 水平的影响。 当过程的偏移量恰好等于 1.5σ时，过程的质量水平QL(Zσ)就是控制方式ZSσ。 这仅仅是一种特殊情况，多数情况下，偏移量并非恰好等于 1.5σ。因此，笔者在 探讨六西格玛质量评价体系数学模型时，用 QL(Zσ)表示过程的质量水平，它综合 反映了过程对标准差和偏移量的控制水平。读者可通过本例来验证这一关系式： 当 n=0.8 时，质量水平 QL=ZSσ+(1.5–n)σ=4σ+(1.5–0.8)σ=4.7σ 当 n=1.5 时，质量水平 QL=ZSσ+(1.5–n)σ=4σ+(1.5–1.5)σ=4σ 当 n=1.9 时，质量水平 QL=ZSσ+(1.5–n)σ=4σ+(1.5–1.9)σ=3.6σ 笔者通过对算例的分析归纳和总结，有一个重要的发现，只要知道偏移量大 小，根据控制方式的级别值，无须通过计算缺陷率查表就可以确定过程的质量水 平。这是一个不小的发现，其一个明显的作用在于不查表即能确定质量水平。研 究表明：控制方式仅仅反映了对标准差的控制水平，体现了产品质量特性的一致 性，偏移量体现了对目标值的偏移大小，反映了对均值偏移的控制水平，而质量 水平则综合反映了对标准差和偏移量的控制水平。式(3)就是从数量关系上揭示 了标准差和偏移量对产品质量水平的影响。除此之外，该公式的发现还有什么意 义呢？ 读者可能已经关注到控制方式 ZSσ 的变化，与文献[5]中控制方式 Zσ 的不同 在于加了个下标字母“S”，这是在发现质量水平公式，并进一步研究质量水平与 控制方式和偏移量关系时，笔者意识到必须进行的变动。西格玛水平值 Z 与控制 方式的级别 ZS 是有本质区别的：ZS 只表示对标准差的控制水平，而西格玛水平 值 Z 则综合反映了对标准差和均值的控制水平。当偏移量等于 1.5σ 时，文献[5] 附表 1 中的 Z 就是 ZS，因为此时均值偏移对质量水平的影响为零。请读者注意 两者的不同，其数量关系式如下： Z=ZS+(1.5− n)…………………………………………………………………(4) 质量水平 QL或 Zσ 从形式讲是由一个数字与标准差的组合，表示几个(有时 带小数)标准差，如 3.5σ，这个数 Z 是由控制方式的级别值 ZS和偏移量折算成标 准差的倍数 n 的大小决定的。 式(4)中 ZS为控制方式的级别值，假如控制方式为 5σ，则控制方式的级别值 为 5。当偏移量恰好等于 1.5σ，西格玛水平值 Z=ZS，即此时的西格玛水平值 Z 仅仅由控制方式的级别值 ZS决定。除此之外，西格玛水平值 Z 不仅受控制方式 级别值的影响，而且还受偏移量折算成标准差的倍数 n 的大小影响。也就是说， 控制方式仅仅反映了对标准差的控制水平，而质量水平则综合反映了均值和标准 差对产品质量的影响。 所以，若有人讲，在六西格玛质量评价体系中，Z 值是公差上限或下限与公 差中心之间所包含的标准差的个数是正确的，因为六西格玛质量评价体系本身已 经隐含着偏移量被设定为 1.5σ。但是，在生产实践中，对于具体的某一个控制过 程，偏移量通常并非恰好被控制在 1.5σ，在这种情况下，西格玛水平值 Z 就不等 于控制方式的级别值 ZS，究竟是多少，应根据式(4)计算。 通过对质量水平计算公式 QL(Zσ)=ZSσ+(1.5−n)σ 和六西格玛质量评价体系数 学模型 p=2−Φ(Z−1.5)−Φ(Z+1.5)进行对比，前者通过计算 ZS 和 n 得到质量水平 QL(Zσ)，后者根据缺陷率 p 查表得到西格玛水平值 Z。不难发现，这两个计算结 果 Z 是相同的。由质量水平计算公式演变而来的 Z=ZS+(1.5−n)，准确地表达了西 格玛水平值 Z 与控制方式级别值 ZS及偏移量折算成标准差的倍数 n 之间的数量 本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 13 - 关系，同时也表明在质量水平评价过程中引入变量 ZS的必要性。 顺便提及的是，笔者在首部过程能力指数专著[5]中介绍控制方式的概念时， 尽管当时已发现质量水平计算公式，但由于未给出数学表达式，故未引入 ZS 变 量对其加以区别，特此说明。 借助于案例研究中发现的质量水平计算公式 QL(Zσ)=ZSσ+(1.5−n)σ，我们可以 根据控制方式级别值 ZS 和偏移量相对于标准差的倍数 n 计算出的质量水平 QL(Zσ)，从形式讲，质量水平 QL=Zσ是由一个数字与标准差 σ的组合，表示几个 (有时带小数)标准差。如 3.5σ，这个 3.5 是由控制方式的级别值 ZS和相对于 1.5σ 的偏移剩余量 1.5−n 的大小决定的。 以上我们介绍了三种确定质量水平的计算方法。其中，通过质量水平计算公 式确定过程的质量水平是笔者在研究六西格玛质量评价体系时对六西格玛管理 所做的第二个贡献。质量水平计算公式的发现，不仅可以帮助质量工程师在确定 产品或过程的质量水平时摆脱查表计算(指通过缺陷率查西格玛水平值 Z)，而且 从数量关系上准确地描述了过程的标准差和偏移量对质量水平的贡献大小。更为 重要的是，质量水平计算公式还具有更深层的含义等待我们去揭示，而对质量水 平计算公式丰富内涵的更进一步探讨，可以终结质量界对 1.5σ偏移量的争论。 四 对 1.5σ偏移量的解释及争论 关于 1.5σ 的偏移量，是许多统计专家和质量管理专家争论的焦点。持怀疑 态度和反对意见的人认为：摩托罗拉公司将偏移量确定为 1.5σ，完全是一种经验 判定，并无严格的统计证明作支持，不仅在理论上缺乏依据，而且缺乏现实基础， 是不切实际的。而文献[10]第 217 页持赞同观点的人认为，“所谓的‘1.5 西格玛’是 统计专家关于如何定义六西格玛测量内容的关键支柱之一。幸运的是当这个惯例 被接受，并坚持采用，它还是有效的。” 文献[8]的作者在第 290 页谈到《6σ管理 法转换表》时认为，“上述转换表是通过 1.5σ的偏移计算出来的，这个 1.5σ是统 计专家们争论不休的焦点。幸运的是当采用了传统方法并保持方法的一致性后， 这种方法仍然是有效的。”虽然自然规律没有表明所有过程都具有这种长期的平 均漂移，但大多数过程有一些特殊的波动原因，而且它们是可预见的。在六西格 玛中，假定所有这些可接受的波动源的总和加起来为 1.5σ，这已被工业实践证明 是合理的[4]。 2004年11月《数理统计与管理》第6期发表了《关于6Sigma管理中的1.5 Sigma 系统偏移》论文，该文是两位教授合作完成的：一位是中国科学院研究生院数学 系张建方教授，研究方向为产品优化与质量改进、应用统计、试验设计；另一位 是香港科技大学工业工程及物流管理学系系主任宗福季教授。该文得到国家自然 科学基金资助(项目编号70371018)，是笔者目前所掌握的介绍有关1.5σ偏移量争 论最详实、最丰富、最经典的一篇文章。为方便读者阅读，同时使读者能在阅读 中体验到原汁原味的感觉，笔者对文中精彩的部分进行整段引用。但考虑到文章 段落的编排包括图、表以及参考文献等，同时结合本篇文章的结构特点，笔者稍 作改动，但原文思想观点保持不变，故以下第1~4部分仍属于引用。 1 麦克·哈里在专著中对 1.5σ偏移量的解释 本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 14 - 哈里博士和施罗德在1999年合作出版的著作“Six Sigma, The Breakthrough Management Strategy Revolutionizing The World’s Top Corporations” [11] (麦克·哈 里、理查德·施罗德，六个西格玛——世界顶级企业革命性的突破管理策略)中有 下面一段话，被认为是哈里博士对1.5σ系统偏移的最权威的看法。 “By off setting normal distribution by a 1.5 standard deviation on either side, the adjustment takes into account what happens to every process over many cycles of manufacturing Simply put, accommodating shift and drift is our ‘fudge factor’, or a way to allow for unexpected errors or movement over time. Using 1.5 sigma as a standard deviation gives us a strong advantage in improving quality not only industrial process and designs, but in commercial processes as well. It allows us to design products and services that are relatively impervious , or ‘robust’, to natural, unavoidable sources of variation in processes, components, and materials. ” 此话的意思是：“在应用正态分布进行计算(DPMO或从DPMO反过来计算过 程能力)时，简单地扣除1.5σ系统偏移是对生产过程中各个环节发生的结果所做的 调整。虽然显得粗糙,但可以预防长期的意外误差或移动。这个调整非常有利于 对产品质量的改进，它不但对工业过程和设计适用，而且对商业过程也适用；使 得对产品和服务的设计更加稳健，能够抵抗在过程、零部件和原材料中存在的各 种波动的干扰。”这段话虽然说明了扣除1.5σ系统偏移的理由或好处，但没有对 1.5σ系统偏移的理论基础做进一步说明。 显然，这个理论基础非常重要并需要解释。 2 麦克·哈里关于 1.5σ偏移的理论基础 哈里博士关于1.5σ系统偏移的研究工作，长期以来可能是摩托罗拉公司的一 个秘密，所以一直没有得到公开。自2001年以来，iSixSigma网站的论坛上出现 了大量关于1.5σ系统偏移的讨论和争议。瑞格尔·斯图尔特(Reigle Stewart)作为对 1.5σ系统偏移和哈里博士的坚决维护者，写了大量内容难免重复的解释1.5σ系统 偏移和介绍哈里博士关于1.5σ系统偏移研究方面的贴子。参考文献[12-24]所列出的 是iSixSigma网站论坛上对1.5σ系统偏移进行讨论和争议的有关主题，每个主题里 面都有几十甚至上百个贴子，从中可以了解到哈里博士关于1.5σ系统偏移的主要 工作等有关情况。 鉴于人们对1.5σ系统偏移的疑问和争议，哈里博士终于在2003年11月在 iSxSigma网站上推出了一本电子版的专著“Resolving the Mysteries of Six Sigma: Statistical Constructs and Engineering Rationale”(解开6sigma之神秘：统计基础和工 程原理)[25]。这本书只有薄薄的131页。在该书的介绍中明确指出，6σ中的6和1.5σ 中的1.5是6σ管理的两大支柱和神秘之所在。该书的大部分篇幅叙述了这两大支 柱的产生历史、技术背景、理论基础和应用实践。最后一章介绍了混沌理论在复 杂设计中使用Monte Carlo模拟时的应用，它被书评者认为是Monte Carlo模拟的 未来代表，也会像1.5σ系统偏移那样，将再次给哈里博士带来荣誉和争议。但随 着这本书的出版，不但没有解决人们对1.5σ系统偏移的疑问和争议，反而让争议 更加白热化。 哈里博士关于1.5σ系统偏移的工作，最初起源于对产品容差设计的研究，要 求对产品的性能和可生产性进行最佳化。生产过程长时间以后会出现系统偏移， 本文系质量专家宋祥彦对质量管理的第八大贡献 版权所有违者必究 - 15 - 这在工程界是已知的事实。由于系统偏移的位置是未知的，这对于处在产品开发 阶段的容差设计来说一直是一个