排列组合的综合应用

枣庄三中2009-2010学年度上学期高三年级 数学学科教学案编号_3071 排列组合综合应用 组编人白永庆审核人满其伦使用时间姓名班级学号 一.《说明》解读 1.在对排列、组合意义理解的基础上,掌握有关排列、组合综合 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的基本解法,提高分析问题和解决问题的能力,学会分类讨论的思想. 2.使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 二.知识提炼 1.排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题,它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序,不需要考虑顺序的是组合问题,需要考虑顺序的是排列问题,排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队,因此,分析解决排列组合问题的基本思维是“先组,后排”。 2.解排列组合的应用题,要注意: (1)仔细审题,判断是组合问题还是排列问题;要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步. (2)对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题,要周密分析,设计出合理的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ,把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决. (3)由于排列组合问题的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 一般数目较大,不易直接验证,因此在检查结果时,应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备,有无重复或遗漏,也可采用多种不同的方法求解,看看是否相同.在对排列组合问题分类时,分类标准应统一,否则易出现遗漏或重复. 3.解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于元素之间的关系,还要考虑“是有序”的还是“无序的”,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法: 特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。 例如:用0、1、2、3、4这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有________个 科学分类法:对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行科学分类,以便有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏现象发生。 例如:从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的选取法有_______种 分组(堆)问题的六个模型:①有序不等分;②有序等分;③有序局部等分;④无序不等分;⑤无序等分;⑥无序局部等分; 插空法:解决一些不相邻问题时,可以先排一些元素然后插入其余元素,使问题得以解决 例如:7人站成一行,如果甲乙两人不相邻,则不同排法种数是______ 捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列,然后再局部排列例如:6名同学坐成一排,其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种 排除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 1 排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系,从而增加了问题的综合性,解答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍 例如:从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A 、B 、C ,所得的经过坐标原点的直线有_________条 隔板法:n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法 等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m 段(插入m -1块隔板),有1 1 - -m n C 种方法 错位法:编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到 n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小 球要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列特别当n=2,3,4,5时的错位数各为 __________________ 三.基础再现 1.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为 A.A 2 6C 24 B. 2 1A 2 6C 24 C.A 2 6A 24 D.2A 2 6 2.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中A 不参加物理、化学 竞赛,则不同的参赛方案种数为 A.24 B.48 C.120 D.72 3. (湖北理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为 .18A .24B .30C .36D 4.12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有( ) A 4448412C C C 种 B .344 48412C C C 种 C 33 48412A C C 种 D 33 4 4 48412 5.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有_____________个.(用数字作答) 6.市内某公共汽车站有10个候车位(成一排),现有4名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_____________种.(用数字作答) 四、典例示范 【例1】 从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m 接力,如果其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,问共有多少种参赛方法? 评述:对于带有限制条件的排列、组合综合题,一般用分类讨论或间接法两种方法处理. 【例2】对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试,至区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现,则这样的测试方法有多少种可能? 评述:本题涉及一类重要问题,即问题中既有元素的限制,又有排列的问题,一般是先选元素(即组合)后排列. 【例3】在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A、B两种作物,每种作物种植一垄.为有利于作物生长,要求A、B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的种植方法共有多少种? 【例4】有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是 A.234 B.346 C.350 D.363 【例5】(1)一条长椅上有9个座位,3个人坐,若相邻2人之间至少有2个空椅子,共有几种不同的坐法? (2)一条长椅上有7个座位,4个人坐,要求3个空位中,恰有2个空位相邻,共有多少种不同的坐法? 五.知能迁移 1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有 A.24种 B.18种 C.12种 D.6种 2.四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中,使每个盒子都不空的放法种数为 A.A 1 3A 3 4 B.C 2 4A 3 3 C.C 3 4A 2 2 D.C 1 4C 3 4C 2 2 3.四棱锥的8条棱代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为 ①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 A.96 B.48 C.24 D.0 4.从6名短跑运动员中选出4人参加4 ×100米接力赛,如果甲、乙两人都不跑第一棒,那么不同的参赛方案有 A.180种 B.240种 C.300种 D.360种 5.书架上原有5本书,再放上2本,但要求原有书的相对顺序不变,则不同的放法有_____________种. 6.设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向正方向或负方向跳1个单位,经过5次跳动质点落在点(3,0)(允许重复过此点)处,则质点不同的运动方法共有__________种.(用数字作答) 7.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答). 8.在一张节目表上原有6个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三个节目,求共有多少种安排方法? 9.18人的旅游团要选一男一女参加生活服务工作,有两位老年男人不在推选之列,共有64种不同选法,问这个团中男女各几人? 10.如下图,矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分,现用五种不同色彩给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,共有多少种不同的涂色方法? A D B C 11.6名运动员分到4所学校去做教练,每校至少1人,有多少种不同的分配方法? 排列组合综合应用答案 三.基础再现 1.【解析】:将4名学生均分成两组,方法数为2 1 C 24 ,再分配给6个年级中的2个,分配方法数为A 26,∴合要求的安排方法数为 2 1C 24 ·A 2 6.答案:B 2.【解析】:若不含A ,则有A 44种;若含有A ,则有C 34·C 12·A 33种.∴A 44+C 34·C 12·A 33=72.答案:D 3.【解析】C 用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C ,顺序有33A 种,而甲乙被分在同一个班的有33A 种,所以种数是23343330C A A -= 4.A 5.【解析】:①四位数中包含5和0的情况: C 13·C 14·(A 33+A 12·A 22)=120. ②四位数中包含5,不含0的情况: C 13·C 24 ·A 33=108. ③四位数中包含0,不含5的情况: C 2 3C 14 A 3 3=72. 综上,四位数总数为120+108+72=300. 答案:300 6.【解析】:把四位乘客当作4个元素作全排列有A 44 种排法,将一个空位和余下的4个空位作为一个元素插空有A 25种排法.∴A 44 ·A 25=480. 答案:480 四、典例示范 【例1】解法一:问题分成三类:(1)甲、乙两人均不参加,有A 44种; (2)甲、乙两人有且仅有一人参加,有2C 34(A 44-A 33)种;(3)甲、乙两人均参加,有C 24(A 44-2A 33+ A 22)种.故共有252种. 解法二:六人中取四人参加的种数为A 4 6,除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有C 12 A 35种,因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A 24减去了两次.故共有A 4 6-C 12 A 35+A 24=252种. 【例2】解:C 14(C 16C 33)A 44=576,第5次必测出一次品,余下3件在前4次被测出,从4件中确定最后一件品有C 14种方法,前4次中应有1正品、3次品,有C 16C 33种,前4次 测试中的顺序有A 44种,由分步计数原理即得. 【例3】解:依题意,A 、B 两种作物的间隔至少6垄,至多8垄.(1)间隔6垄时,有3× A 22种;(2)间隔7垄时,有2×A 22种.(3)间隔8垄时,有A 22种.所以共有3A 22+2A 22+A 2 2=12 种种植方法. 【例4】解法一:分类讨论法. (1)前排一个,后排一个,2C 18·C 1 12=192. (2)后排坐两个(不相邻), 2(10+9+8+…+1)=110. (3)前排坐两个,2·(6+5+…+1)+2=44个. ∴总共有192+110+44=346个. 解法二:考虑中间三个位置不坐,4号座位与8号座位不算相邻. ∴总共有A 2 19+2+2=346个. 答案:B 评述:本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用.这是一道难度较大的小综合题. 【例5】解:(1)先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×),这时共占据了7张椅子,还有2张空椅子,一是分开插入,如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓),从4个空当中选2个插入,有C 24 种插法;二是2张同时插入,有C 14 种插法,再考虑3人可交换有A 33种方法. 所以,共有A 33(C 24+C 14 )=60(种). 下面再看另一种构造方法: 先将3人与2张空椅子排成一排,从5个位置中选出3个位置排人,另2个位置排空椅子,有A 35C 22种排法,再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间,只有1种插法,所以所求的坐法数为A 35·C 22 =60. (2)可先让4人坐在4个位置上,有A 44种排法,再让2个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位,另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空当”之间,有A 25 种插法,所以所求的坐法数为A 4 4 ·A 25 =480. 五.知能迁移 1—4 BBBB 5. 42 6. 5 7.答案:336 【解析】对于7个台阶上每一个只站一人,则有37A 种;若有一个台阶有2人,另一个是1人,则共有12 37C A 种,因此共有不同的站法种数是336种. 8. 解法一:添加的三个节目有三类办法排进去:①三个节目连排,有C 17A 33 种方法;②三个节目互不相邻,有A 37种方法;③有且仅有两个节目连排,有C 13C 17C 16A 2 2种方法.根据分类计数原理共有C 17A 33+A 37+C 13C 17C 16A 22=504种. 解法二:从结果考虑,排好的节目表中有9个位置,先排入三个添加节目有A 39种方法,余下的六个位置上按6个节目的原有顺序排入只有一种方法.故所求排法为A 39=504种. 解法三: 6 69 9A A =504. 评述:插空法是处理排列、组合问题常用的方法. 9.解:设这个团中有男人x 人,则有女人18-x 人,根据题意得C 12-x · C 118x -=64.解得x =10. ∴这个团中有男10人,女8人. 10.解法一:依题意,给四部分涂色,至少要用两种颜色,故可分成三类涂色: 第一类,用4种颜色涂色,有A 4 5种方法; 第二类,用3种颜色涂色,选3种颜色的方法有C 35种;在涂的过程中,选对顶的两部 分(A 、C 或B 、D )涂同色,另两部分涂异色有C 12种选法;3种颜色涂上去有A 3 3种涂法.共C 35·C 12·A 33种涂法; 第三类,用两种颜色涂色.选颜色有C 2 5种选法;A 、C 与B 、D 各涂一色有A 22种涂法.共C 2 5·A 22种涂法. 所以共有涂色方法A 45+C 35·C 12·A 33+C 25·A 2 2=260种. 解法二:区域A 有5种涂色法;区域B 有4种涂色法;区域C 的涂色法有2类:若C 与A 涂同色,区域D 有4种涂色法;若C 与A 涂不同色,此时区域C 有3种涂色法,区域D 也有3种涂色法. 所以共有5×4×4+5×4×3×3=260种涂色法. 11.解法一:先取人,后取位子. 1,1,1,3:6人中先取3人有C 36种取法,与剩余3人分到4所学校去有A 44 种不同分法,∴共C 36A 44 种分法; 1,1,2,2:6人中取2人、2人、1人、1人的取法有C 26·C 24·C 12 种,然后分到4所学校去,有 2 2 2 24 4A A A ?种不同的分法,共C 26·C 24·C 12 · 2 2 2 24 4A A A ?种分法.所以符合条件的 分配方法有C 3 6 A 44 +C 26 ·C 24 ·C 12 ·2 2 2 24 4A A A ?=1560种. 解法二:先取位子,后取人. 1,1,1,3:取一个位子放3个人,有C 14 种取法,6人中分别取3人、1人、1人、1人的取法有C 36·C 13·C 12·C 11种,∴共有C 14·C 36·C 13·C 12 ·C 11种. 1,1,2,2:先取2个位子放2(其余2个位子放1)有C 24 种取法,6人中分别取2人,2人,1人,1人的取法有C 26·C 24·C 12·C 11种,共有C 24·C 2 6·C 24·C 12 ·C 11种. 所以符合条件的分配方法有C 14·C 36·C 13·C 12+C 24·C 2 6·C 24·C 12 =1560种.