数列
练习题
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填空题训练20题
填空题
1、已知等差数列公差d＞0,a3a7=－12,a4+a6=－4,则S20=_______
2、数列{an}中，若a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,a3,a4,a5的倒数又成等差数列，则a1,a3,a5成_______数列
3、已知{an}为等差数列,a1=1,S10=100,an=_______.令an=log2bn,则的前五项之和
S5′=_______
4、已知数列
则其前n项和Sn=________.
5、数列前n项和为Sn=n2+3n,则其通项an等于____________.
6、等差数列{an}中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n项和为187, 则n的值为____________.
7、已知等差数列{an}的公差d≠0, 且a1,a3,a9成等比数列,
的值是________.
8、等差数列{an}中, S6=28, S10=36(Sn为前n项和), 则S15等于________.
9、等比数列{an}中, 公比为2, 前99项之和为56, 则a3+a6+a9+…a99等于________.
10、等差数列{an}中, a1=1,a10=100,若存在数列{bn}, 且an=log2bn,则b1+b2+b3+b4+b5等于____________.
11、已知数列1,
, 前n项的和为____________.
12、已知{an}是等差数列,且有a2+a3+a10+a11=48, 则a6+a7=____________.
13、等比数列{an}中, a1+a2+a3+a4=80, a5+a6a7+a8=6480, 则a1必为________.
14、三个数
、1、
成等差数列，而三个数a2、1、c2成等比数列， 则
等于____________.
15、已知
EMBED Equation.3 , lgy成等比数列, 且x＞1,y＞1, 则x、y的最小值为________.
16、在数列{an}中,
, 已知{an}既是等差数列, 又是等比数列,则{an}的前20项的和为________.
17、若数列{an},
(n∈N), 则通项an=________.
18、已知数列{an}中,
(n≥1), 则这个数列的通项公式an=________.
19、正数a、b、c成等比数列, x为a、b的等差中项, y为b、c的等差中项, 则
的值为________.
20、等比数列{an}中, 已知a1·a2·a3=1,a2+a3+a4=
, 则a1为________.
答案
1、 1802、 等比3、 2n－1,
翰林汇4、
5、 2n+2.翰林汇6、 11.翰林汇7、
翰林汇8、24翰林汇9、32
10、 682翰林汇11、
翰林汇12、24翰林汇13、－4或2. 14、 1或
翰林汇15、
16、100. 17、
18、
翰林汇19、2.20、 2或
大题训练50题
1 ．数列{
}的前n项和为
，且满足
，
.
（1）求{
}的通项公式； （2）求和Tn =
.
2 ．已知数列
，a1=1，点
在直线
上.
（1）求数列
的通项公式；
（2）函数
，求函数
最小值.
3 ．已知函数
(a，b为常数)的图象经过点P（1，
）和Q（4，8）
(1) 求函数
的解析式；
(2) 记an=log2
,n是正整数，
是数列{an}的前n项和，求
的最小值。
4 ．已知y＝f(x)为一次函数，且f(2)、f(5)、f(4)成等比数列，f(8)＝15．
求
＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的表达式．
5 ．设数列
的前
项和为
，且
，其中
是不等于
和0的实常数.
（1）求证:
为等比数列；
（2）设数列
的公比
，数列
满足
，试写出
的通项公式，并求
的结果.
6 ．在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*)，满足向量
与向量
共线，且点Bn(n,bn) (n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上.
(1)试用a1,b1与n来表示an;
(2)设a1=a,b1=-a,且12
0，且a2、a5、a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项an、bn;
(Ⅱ)设数列{cn}对任意的n∈N*，均有
+…＋
＝an+1成立，求c1+c2+…+c2005的值.
20．已知数列{
}满足
，且
（1）求证：数列{
}是等差数列；（2）求数列{
}的通项公式；
（3）设数列{
}的前
项之和
，求证：
。
21．设数列{an}的前n项和为
=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2(a2 －a1) =b1。
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=
, 求数列{cn}的前n项和Tn.
22．已知函数
与函数
EMBED Equation.DSMT4 ＞0)的图象关于
对称.
(1) 求
;
(2) 若无穷数列
满足
,且点
均在函数
上,求
的值,并求数列
的所有项的和(即前
项和的极限)。
23．已知函数
（1）求证：数列
是等差数列；
（2）若数列
的前n项和
24．已知数列
和
满足：
，
，
，
（
），且
是以
为公比的等比数列
（I）证明：
；
（II）若
，证明数列
是等比数列；
（III）求和：
25．已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
（2）设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求数列｛an｝的通项及Tn；
26．等差数列
是递增数列，前n项和为
，且a1，a3，a9成等比数列，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前n项的和．
27．已知向量
且
.若
与
共线,
（1）求数列
的通项公式；
（2）求数列
的前
项和
.
28．已知：数列
满足
.
（1）求数列
的通项；
（2）设
求数列
的前n项和Sn.
29．对负整数a，数
可构成等差数列.
（1）求a的值；
（2）若数列
满足
首项为
，①令
，求
的通项公式；②若对任意
，求
取值范围.
30．数列
（1）求证：数列
是等比数列；
（2）求数列{
}的通项公式；
（3）若
31．已知二次函数
的图像经过坐标原点，其导函数为
，数列
的前n项和为
，点
均在函数
的图像上。
（Ⅰ）、求数列
的通项公式；
（Ⅱ）、设
，
是数列
的前n项和，求使得
对所有
都成立的最小正整数m；
32．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足
（Ⅰ）判断
是否为等差数列？并证明你的结论；
（Ⅱ）求Sn和an
（Ⅲ）求证：
33．若
和
分别表示数列
和
的前
项和，对任意正整数
有
。
（1）求
；
（2）求数列
的通项公式；
（3）设集合
，若等差数列
的任一项
是
的最大数，且
，求
的通项公式。
34．已知点列
在直线l：y = 2x + 1上，P1为直线l与 y轴的交点，等差数列{an}的公差为
（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）
，求和：C2 + C3 + … +Cn；
（Ⅲ）若
，且d1 = 1，求证数列
为等比数列：求{dn}的通项公式
35．已知数列
是首项为
，公比
的等比数列，设
EMBED Equation.DSMT4 ，数列
满足
.
（Ⅰ）求证：数列
成等差数列；
（Ⅱ）求数列
的前n项和
；
（Ⅲ）若
对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
36．已知数列{an}的前n项和为Sn（
），且
（1）求证：
是等差数列；
（2）求an；
（3）若
，求证：
37．已知
（Ⅰ）当
，
时，问
分别取何值时，函数
取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；
（Ⅱ）若
在R上恒为增函数，试求
的取值范围;
（Ⅲ）已知常数
，数列
满足
,试探求
的值，使得数列
成等差数列．
38．在数列
（I）求数列
的通项公式；
（II）求证：
39．设函数f(x)的定义域为
，且对任意正实数x，y都有
恒成立，已知
（1）求
的值；
（2）判断
上单调性；
（3）一个各项均为正数的数列{an}满足：
其中Sn是数列{an}的前n项和，求Sn与an的值.
40．已知定义在（－1,1）上的函数f (x)满足
，且对x,y
时，有
。
（I）判断
在(－1，1)上的奇偶性，并证明之；
（II）令
，求数列
的通项公式；
（III）设Tn为数列
的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的
，有
成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由。
41．已知
，且
（1）求
EMBED Equation.DSMT4 的表达式；
（2）若关于
的函数
在区间（-
，-1]上的最小值为12，求
的值。
42．设不等式组
所表示的平面区域为
，记
内的整点个数为
。（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
（I）求数列
的通项公式；
（II）记数列
的前n项和为
，且
，若对于一切的正整数n，总有
，求实数m的取值范围。
43．在数列
中，
，其中
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前
项和
；
（Ⅲ）证明存在
，使得
对任意
均成立
44．设数列{an}是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且
（I）求{an}及{bn}的通项公式an和bn.
（II）若
成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（III）若对任意的正整数n，不等式
恒成立，求正数a的取值范围.
45．函数
的最小值为
且
数列
的前
项和为
．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）若数列
是等差数列，且
，求非零常数
；
（Ⅲ）若
，求数列
的最大项．
46．设数列
的各项均为正数，它的前
项的和为
，点
在函数
的图像上；数列
满足
．其中
．
⑴求数列
和
的通项公式；
⑵设
，求证：数列
的前
项的和
（
）．
47．设数列
；
（1）证明：数列
是等比数列；
（2）设数列
的公比
求数列
的通项公式；
（3）记
；
48．已知二次函数
满足
，且
对一切实数
恒成立.
（1）求
（2）求
的表达式；
（3）求证：
.
49．在数列
中，
，
，
（Ⅰ）若对于
，均有
成立，求
的值；
（Ⅱ）若对于
，均有
成立，求
的取值范围；
（Ⅲ）请你构造一个无穷数列
，使其满足下列两个条件，并加以证明：
①
；
② 当
为
中的任意一项时，
中必有某一项的值为1.
50．
对任意
都有
（Ⅰ）求
和
的值．
（Ⅱ）数列
满足：
=
+
，数列
是等差数列吗？请给予证明；
（Ⅲ）令
试比较
与
的大小．
51、在等差数列{an}中,a1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有an的和,
(1)70≤n≤200;(2)n能被7整除.
52、设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12, S12＞0,S13＜0.(Ⅰ)求公差d的取值范围；
(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由.
53、数列{
}是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n项和为
,求
的最大值;(3)当
是正数时,求n的最大值.
54、设数列{
}的前n项和
.已知首项a1=3,且
+
=2
,试求此数列的通项公式
及前n项和
.
55、已知数列{
}的前n项和
n(n＋1)(n＋2),试求数列{
}的前n项和.
56、已知数列{
}是等差数列,其中每一项及公差d均不为零,设
=0(i=1,2,3,…)是关于x的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;
(2)设这些方程的另一个根为
,求证
,
,
,…,
,…也成等差数列.
57、如果数列{
}中,相邻两项
和
是二次方程
=0(n=1,2,3…)的两个根,当a1=2时,试求c100的值.
58、有两个无穷的等比数列{
}和{
},它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有
,试求这两个数列的首项和公比.
59、有两个各项都是正数的数列{
},{
}.如果a1=1,b1=2,a2=3.且
,
,
成等差数列,
,
,
成等比数列,试求这两个数列的通项公式.
60、若等差数列{log2xn}的第m项等于n，第n项等于m(其中m(n)，求数列{xn}的前m＋n项的和。
数列大题训练50题
参考答案
1 ．解：（1） ∵
，两式相减，得
，
∴
，
∴
.
（2）
=
=
=
.
2 ．解 （1）∵
在直线x－y+1=0上，
∴
故
是首项为1，公差为1的等差数列.
∴
（2）∵
∴
∴
的最小值是
3 ．解：(1)因为函数f(x)=abx(a,b为常数)的图象经过点P，Q则有
(2)an = log2
(n) = log2
= 2n - 5
因为an+1 - an=2(n + 1)- 5 -(2n -5) = 2 ;
所以{an}是首项为-3，公差为 2的等差数列
所以
EMBED Equation.3 当n=2时，
取最小值 - 4
4 ．解：设y＝f(x)＝kx＋b( k≠0)，则f(2)＝2k＋b，f(5)＝5k＋b，f(4)＝4k＋b，
依题意：[f(5)]2＝f(2)·f(4)．
即：(5k＋b)2＝(2k＋b)(4k＋b)，化简得k(17k＋4b)＝0．
∵k≠0，∴b＝－
k ①
又∵f(8)＝8k＋b＝15 ②
将①代入②得k＝4，b＝－17．
∴Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(4×1－17)＋(4×2－17)＋…＋(4n－17)
＝4(1＋2＋…＋n)－17n＝2n2－15n．
5 ．（1）
，所以是等比数列
（2）
，所以
是等差数列
（3）
6 ．解：(1)∵点Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上，
∴
EMBED Equation.3 =6，即bn+1-bn=6,
于是数列{bn}是等差数列，故bn=b1+6(n-1).
∵
共线.
∴1×(-bn)-(-1)(an+1-an )=0,即an+1-an=bn
∴当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ …+(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+…+bn-1
=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2)
当n=1时，上式也成立.
所以an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2).
(2)把a1=a,b1=-a代入上式，得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a.
∵120且bn的最大值为
; 当n＝1005时,g（n）＝－1;
当n≥1006时,g（n）单调递增且gmin（n）＝g（1006）＝3此时bn>0且bn的最大值为
;
综上：bn的最大值为
,最小值为－1
12．（1）
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 等差数列
EMBED Equation.DSMT4
（2）错位相减，
EMBED Equation.DSMT4
13．（I）由已知，得
EMBED Equation.DSMT4
作差，得
。
又因为
正数数列，所以
，由
，得
EMBED Equation.DSMT4
（II）
，
所以
……
=
14．解：（1）2an+1－2an+an+1an=0 ∵an≠0, 两边同除an+1an
∴数列{
}是首项为1,公差为
的等差数列
（2）∵
=
∴an－1=
∵bn=f(an－1)=f(
)=－n+6 (n∈N)
（3） －n+6 (n≤6, n∈N)
= n－6 (n>6, n∈N)
(n≤6, n∈N)
∴Sn=
(n>6, n∈N)
15．（1）
（2）n=5，6，7，8，9
16．解：（1）当
时，
，∴
，
∴
， ∴数列
为等差数列．
（2）由（1）知，
，
∴
．
当
时，
，
∴
17．解：（1）∵点
都在斜率为6的同一条直线上，
于是数列
是等差数列，故
（2）
共线，
当n=1时，上式也成立.
所以
（3）把
代入上式，
得
，
∴当n=4时，
取最小值，最小值为
18．解：（Ⅰ）当
时，
，∴
.
∵
， ①
∴
(n
. ②
①－②，得
，
整理得，
，
∵
∴
.
∴
，即
.
故数列
是首项为
，公差为
的等差数列.
∴
.
（Ⅱ）∵
，
∴
.
19．解：(Ⅰ)由题意，有 (a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2.
而a1=1,d>0.∴d=2,∴an=2n-1.
公比q=
=3,a2=b2=3.
∴bn=b2·qn-2=3·3 n-2=3 n-1.
(Ⅱ)当n=1时，
=a2,∴c1=1×3=3.
当n≥2时，∵
……①
……②
②—①,得
∴cn=2bn=
∴cn=
∴c1+c2+c3+…+c2005=3+2(31+32+33+…+32004) =3+2·
20．(1)
EMBED Equation.3
21．解：（1）∵当n=1时 ，a1=S1=2；
当n≥2时，an=Sn －Sn－1=2n2 －2(n－1)2=4n－2.
故数列{an}的通项公式an=4n－2，公差d=4.
设{bn}的公比为q，则b1qd= b1，∵d=4，∴q=
.∴bn=b1qn－1=2×
=
,
即数列{ bn }的通项公式bn=
。
（2）∵
∴Tn=1+3·41+5·42+······+(2n－1)4n－1
∴4Tn=1·4+3·42+5·43+······+(2n－1)4n
两式相减得3Tn=－1－2（41+42+43+······+4n－1）+(2n－1)4n=
∴Tn=
22．(1)
(2)
在
上
,当
时
等比且公比为
,首项为
等比公比为
,首项为1 ,所以
的各项和为
23．解：（1）由已知得：
是首项为
1，公差d=3的等差数列
（2）
由
24．解法：（I）证：由
，有
，
（II）证：
，
，
，
是首项为5，以
为公比的等比数列
（III）由（II）得
，
，于是
当
时，
EMBED Equation.DSMT4
当
时，
EMBED Equation.DSMT4
故
25．解：（1）由已知
，
，
，两边取对数得
，即
是公比为2的等比数列.
（2）由（1）知
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
=
26．(1)解：设数列
公差为d(d＞0)
∵a1，a3，a9成等比数列，∴
，即
整理得：
∵
，∴
①
∵
∴
②
由①②得：
，
∴
(2)
∴
27．(1)
①
取
得
②
②
①得：
中的奇数项
是以
为前项，4为公比的等比数列，偶数项
是以
的前项，4为公比的等比数列
（2）当
为偶数时，
当
为奇数时，
28．（Ⅰ）
验证n=1时也满足上式：
（Ⅱ）
29．（1）
又
（2）①
又
②
即
而
30．解（1）由题意知：
是等比数列
（2）由（1）知数列
以是a2－a1=3为首项，
以2为公比的等比数列，所以
故a2－a1=3·20，所以a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，
所以
（3）
设
①
2
②
①—②得：
31．解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点
均在函数
的图像上，所以
＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－
＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （
）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知
＝
＝
，
故Tn＝
＝
EMBED Equation.3 ＝
（1－
）.
因此，要使
（1－
）<
（
）成立的m,必须且仅须满足
≤
，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
32．解证：（Ⅰ）
当n≥2时，
故
是以2为首项，以2为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
当n≥2时，
当n=1时，
（Ⅲ）
33．解：（1）
，
∴数列
是以
为首项，-1为公差的等差数列，
。
（2）由
，得
。
。
而当
时，
。
。
（3）对任意
，
所以
，即
。
是
中的最大数，
。
设等差数列
的公差为
，则
。
，
，
是一个以-12为公差的等差数列，
，
。
34．解：（Ⅰ）
在直线
∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1）
，
又数列
的公差为1
（Ⅱ）
（Ⅲ）
是以2为公比，4为首项的等比数列，
35．解：（Ⅰ）由题意知，
（
）
∵
，
∴
∴数列
是首项
，公差
的等差数列，
其通项为
（
）．
（Ⅱ）∵
,（
）
∴
,
于是
EMBED Equation.DSMT4
两式相减得
.
∴
（
）
（Ⅲ） ∵
， （
）
∴当
时，
当
时，
，即
∴当
时，
取最大值是
又
对一切正整数n恒成立 ∴
即
得
或
36．（1）∵
，∴
，又∵
∴
∴数列
是等差数列，且
（2）当
时，
当n=1时，
不成立. ∴
（3）
，∴
.
∴左边
显然成立.
37．解：（Ⅰ）当
时，
（1）
时，
当
时，
；当
时，
（2）当
时，
当
时，
；当
时，
综上所述，当
或4时，
；当
时，
（Ⅱ）
在
上恒为增函数的充要条件是
，解得
（Ⅲ）
，
① 当
时，
，即
（1）
当n=1时，
；当n≥2时，
（2）
（1）—（2）得，n≥2时，
，即
又
为等差数列，∴
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 此时
②当
时
，即
∴
若
时，则
（3），将（3）代入（1）得
，
对一切
都成立
另一方面，
，
当且仅当
时成立，矛盾
不符合题意，舍去.
综合①②知，要使数列
成等差数列，则
38．（I）解：由
从而由
的等比数列
故数列
（II）
39．1°
40．解：（I）令x=y=0，得f(0)=0。
又当x=0时，
即
。
∴对任意
时，都有
。
为奇函数。
（II）
满足
。
。
在
上是奇函数， ∴
EMBED Equation.3 ，即
。
是以
为首项，以2为公比的等比数列。
。
（III）
=
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 。
假设存在正整数m，使得对任意的
，
有
成立，
即
对
恒在立。
只需
，即
故存在正整数m，使得对
，有
成立。
此时m的最小值为10。
41．解（1）
（2）∵
，∴
，
∴
。
①当
即
时，函数
在区间（-
,-1]上是减函数
∴当
时，
即
，
又
,∴该方程没有整数解；
②当
，即
时，
∴
，解得
或
（舍去）
综上所述，
为所求的值
42．解：（I）由
，得
或
∴
内的整点在直线
和
上，记直线
为l，l与直线
的交点的纵坐标分别为
，则
（II）
∴当
时，
，且
是数列
中的最大项，故
43．（Ⅰ） 解：由
，
，
可得
，
所以
为等差数列，其公差为1，首项为0，故
，所以数列
的通项公式为
（Ⅱ）解：设
， ①
②
当
时，①式减去②式，
得
，
这时数列
的前
项和
当
时，
这时数列
的前
项和
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列
的第一项
最大，下面证明：
③
由
知
，要使③式成立，只要
，
因为
所以③式成立
因此，存在
，使得
对任意
均成立
44．解：（I）
（II）假设符合条件的k(k∈N*)存在，
由于
∴当k为正奇数时，k + 27为正偶数
由
（舍）
当k为正偶数时，k + 27为正奇数，
由
即
（舍）
因此，符合条件的正整数k不存在
（III）将不等式变形并把
代入得
设
又
，
EMBED Equation.3
45．解：（Ⅰ）由
，
，
由题意知：
的两根，
（Ⅱ）
，
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 为等差数列，
，
，
经检验
时，
是等差数列，
（Ⅲ）
46．⑴由已知条件得
， ①
当
时，
， ②
①－②得：
，即
，
∵数列
的各项均为正数，∴
（
），
又
，∴
；
∵
，
∴
，∴
；
⑵∵
，
∴
，
，
两式相减得
，
∴
．
47．解：（1）由
相减得：
是等比数列
（2）
，
（3）
，
①
②
①－②得：
，
，
所以：
48．解： （1）根据
对一切实数
恒成立，
令
，可得
，
；
（2）设
，则
，解得
又
恒成立，即
恒成立，
，解得
，
，
（3）由（2）得
，
49．（Ⅰ）解：依题意，
，
所以
，解得
，或
，符合题意.
（Ⅱ解不等式
，即
， 得
所以，要使
成立，则
（1）当
时，
，
而
，即
，不满足题意.
（2）当
时，
，
，
，满足题意.
综上，
.
（Ⅲ）解：构造数列
：
，
. 那么
. 不妨设
取
，
那么
，
，
，
，
. 由
，可得
， （
，
）.
因为
，所以
.
又
，所以数列
是无穷数列，因此构造的数列
符合题意.
50．解：（Ⅰ）因为
．所以
．
令
，得
，即
．
（Ⅱ）
又
两式相加
．
所以
，
又
．故数列
是等差数列．分
（Ⅲ）
EMBED Equation.3
所以
51、 解： a1=－250, d=2, an=－250+2(n－1)=2n－252
同时满足70≤n≤200, n能被7整除的an构成一个新的等差数列{bn}.
b1=a70=－112, b2=a77=－98,…, bn′=a196=140
其公差d′=－98－(－112)=14. 由140=－112+(n′－1)14, 解得n′=19
∴{bn}的前19项之和
.
52、解： (Ⅰ)依题意,有
，即
由a3=12,得 a1=12－2d (3)
将(3)式分别代入(1),(2)式,得
，∴
.
(Ⅱ)由d＜0可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
由于 S12=6(a6+a7)＞0, S13=13a7＜0，即 a6+a7＞0, a7＜0.
由此得 a6＞－a7＞0.因为a6＞0, a7＜0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
53、 (1)由a6=23＋5d＞0和a7=23＋6d＜0,得公差d=－4.(2)由a6＞0,a7＜0,∴S6最大, S6=8.(3)由a1=23,d=－4,则
=
n(50－4n),设
＞0，得n＜12.5,整数n的最大值为12.
54、∵a1=3, ∴S1=a1=3.在Sn+1＋Sn=2an+1中,设n=1,有S2＋S1=2a2.而S2=a1＋a2.即a1＋a2＋a1=2a2.∴a2=6. 由Sn+1＋Sn=2an+1,……(1) Sn+2＋Sn+1=2an+2,……(2)
(2)－(1),得Sn+2－Sn+1=2an+2－2an+1，∴an+1＋an+2=2an+2－2an+1
即 an+2=3an+1
此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.an的通项公式an=
此数列的前n项和为Sn=3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n – 1=3＋
=3n.
55、
=
－
=
n(n＋1)(n＋2)－
(n－1)n(n＋1)=n(n＋1).当n=1时，a1=2,S1=
×1×(1＋1)×(2＋1)=2,∴a1= S1.则
＝n(n＋1)是此数列的通项公式。∴
＝1－
＝
.
56、 (1)设公共根为p,则
①
②则②-① ,得dp2+2dp+d=0,d≠0为公差,∴(p＋1)2=0.∴p=－1是公共根.(直接观察也可以看出公共根为－1).(2)另一个根为
,则
＋(－1)=
.∴
+1=
即
,易于证明{
}是以－
为公差的等差数列.
57、解由根与系数关系,
＋
=－3n,则(
＋
)－(
＋
)=－3,即
－
=－3.∴a1,a3,a5…和a2,a4,a6…都是公差为－3的等差数列,由a1=2,a1+a2=－3,∴a2=－5.则
=－3k－2,∴a100=－152,
=－3k＋5,∴a101=－148,∴c100= a100
a101=22496
58、设首项分别为a和b,公比q和r. 则有
.依据题设条件,有
=1,①
=2,②
,③ 由上面的①,②,③ 可得(1－q)2
=2(1－r)
.令n=1,有(1－q)2=2(1－r),④设n=2.则有(1－q)2q2=2(1－r)r,⑤ 由④和⑤,可得q2=r,代入④ 得(1－q)2=2(1－q2).由于q≠1,∴有q=
,r =
.因此可得a=1－q=
,b=2(1－r)=
.
∴
和
经检验,满足
的要求.
59、依据题设条件,有
由此可得
=
.∵
＞0,则2
。∴{
}是等差数列.∴
=
.
又
EMBED Equation.3 =
,∴
=
60、2m+n-1
20070209
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