2013届高考数学重难点探究

数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 重难点 难点 直线方程及其应用 直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容.应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的. ●难点磁场 (★★★★★)已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求证：abc+2＞a+b+c. ● 案例 全员育人导师制案例信息技术应用案例心得信息技术教学案例综合实践活动案例我余额宝案例 探究 ［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a＞b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？ 命题意图：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值. 错解分析：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值.如果坐标系选择不当，或选择求sinACB的最大值.都将使问题变得复杂起来. 技巧与方法：欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值. 解：建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值. 由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为(acosα,asinα)、 (bcosα,bsinα),于是直线AC、BC的斜率分别为： kAC=tanxCA= , 于是tanACB= EMBED Equation.3 由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤ ,当且仅当 =x，即x= 时，等号成立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C( ,0),因此，学生距离镜框下缘 cm处时，视角最大，即看画效果最佳. ［例2］预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？ 命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解，属★★★★★级题目. 知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解. 错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设. 技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解. 解：设桌椅分别买x,y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件 为 由 ∴A点的坐标为( ， ) 由 ∴B点的坐标为(25， ) 所以满足约束条件的可行域是以A( ， )，B(25， )，O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图) 由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为(25， )，但注意到x∈N,y∈N*,故取y=37. 故有买桌子25张，椅子37张是最好选择. ［例3］抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p＞0).一光源在点M( ,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：2x－4y－17=0上的点N，再折射后又射回点M(如下图所示) (1)设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明：y1·y2=－p2； (2)求抛物线的方程； (3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由. 命题意图：对称问题是直线方程的又一个重要应用.本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力，属★★★★★★级题目. 知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程. 错解分析：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时. 技巧与方法：点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键. (1)证明：由抛物线的光学性质及题意知 光线PQ必过抛物线的焦点F( ，0)， 设直线PQ的方程为y=k(x－ ) ① 由①式得x= y+ ,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2－ y－p2=0,由韦达定理，y1y2=－p2. 当直线PQ的斜率角为90°时，将x= 代入抛物线方程，得y=±p,同样得到y1·y2= －p2. (2)解：因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M( ，4)关于l的对称点为M′(x′,y′)，则 解得 直线QN的方程为y=－1,Q点的纵坐标y2=－1， 由题设P点的纵坐标y1=4，且由(1)知：y1·y2=－p2,则4·(－1)=－p2, 得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x. (3)解：将y=4代入y2=4x,得x=4，故P点坐标为(4，4) 将y=－1代入直线l的方程为2x－4y－17=0,得x= , 故N点坐标为( ，－1) 由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y－12=0, 设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1) 又M1( ,－1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点( ，－1)与点M关于直线PN对称. ●锦囊妙计 1.对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等. 2.对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称.中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具. 3.线性规划是直线方程的又一应用.线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域.求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设t=ax+by,则此直线往右(或左)平移时，t值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解. 4.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)设M= ，则M与N的大小关系为( ) A.M＞N B.M=N C.M＜N D.无法判断 2.(★★★★★)三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( ) A.15 B.30 C.36 D.以上都不对 二、填空题 3.(★★★★)直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐标是_________. 4.(★★★★)自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2－4x－4y+7=0相切，则光线l所在直线方程为_________. 5.(★★★★)函数f(θ)= 的最大值为_________，最小值为_________. 6.(★★★★★)设不等式2x－1＞m(x2－1)对一切满足|m|≤2的值均成立，则x的范围为_________. 三、解答题 7.(★★★★★)已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点. (1)证明：点C、D和原点O在同一直线上. (2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标. 8.(★★★★★)设数列{an}的前n项和Sn=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常数且b≠0. (1)证明：{an}是等差数列. (2)证明：以(an, －1)为坐标的点Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程. (3)设a=1,b= ,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r＞0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围. 参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 难点磁场 证明：设线段的方程为y=f(x)=(bc－1)x+2－b－c,其中|b|＜1,|c|＜1,|x|＜1,且－1＜b＜1. ∵f(－1)=1－bc+2－b－c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0 f(1)=bc－1+2－b－c=(1－b)(1－c)＞0 ∴线段y=(bc－1)x+2－b－c(－1＜x＜1)在x轴上方，这就是说，当|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1时，恒有abc+2＞a+b+c. 歼灭难点训练 一、1.解析：将问题转化为比较A(－1，－1）与B(102001，102000）及C(102002，102001）连线的斜率大小，因为B、C两点的直线方程为y= x，点A在直线的下方，∴kAB＞kAC,即M＞N. 答案：A 2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,则 点(x,y）应在如右图所示区域内 当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11； 当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11; 当x=5时，y=7,8,9,10,11. 以上共有15个，x,y对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个. 答案：C 二、3.解析：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点. 答案：P(5，6） 4.解析：光线l所在的直线与圆x2+y2－4x－4y+7=0关于x轴对称的圆相切. 答案：3x+4y－3=0或4x+3y+3=0 5.解析：f(θ)= 表示两点(cosθ,sinθ)与(2,1)连线的斜率. 答案： 0 6.解析：原不等式变为(x2－1)m+(1－2x)＜0,构造线段f(m)=(x2－1)m+1－2x,－2≤m≤2,则f(－2)＜0,且f(2)＜0. 答案： 三、7.(1)证明：设A、B的横坐标分别为x1、x2，由题设知x1＞1,x2＞1, 点A(x1,log8x1),B(x2,log8x2). 因为A、B在过点O的直线上，所以 ,又点C、D的坐标分别为(x1,log2x1）、(x2,log2x2). 由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则 由此得kOC=kOD,即O、C、D在同一直线上. (2)解：由BC平行于x轴，有log2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1 ∴x2=x13 将其代入 ,得x13log8x1=3x1log8x1, 由于x1＞1知log8x1≠0,故x13=3x1x2= ,于是A( ，log8 ). 9.(1)证明：由条件，得a1=S1=a,当n≥2时， 有an=Sn－Sn－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b. 因此，当n≥2时，有an－an－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b. 所以{an}是以a为首项，2b为公差的等差数列. (2)证明：∵b≠0,对于n≥2,有 ∴所有的点Pn(an, －1)(n=1,2,…)都落在通过P1(a,a－1)且以 为斜率的直线上.此直线方程为y－(a－1)= (x－a),即x－2y+a－2=0. (3)解：当a=1,b= 时，Pn的坐标为(n, ),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆C外的条件是 由不等式①,得r≠1 由不等式②，得r＜ － 或r＞ + 由不等式③，得r＜4－ 或r＞4+ 再注意到r＞0,1＜ － ＜4－ = + ＜4+ 故使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)∪(1, － )∪(4+ ,+∞). 难点 轨迹方程的求法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点. ●难点磁场 (★★★★)已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线. ●案例探究 ［例1］如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程. 错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题. 技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程. 解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|. 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|= 所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1= , 代入方程x2+y2－4x－10=0,得 －10=0 整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程. ［例2］设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招) 命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系. 错解分析：当设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2”的讨论. 技巧与方法：将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系. 解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有 ①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2) 若x1≠x2,则有 ⑥ ①×②,得y12·y22=16p2x1x2 ③代入上式有y1y2=－16p2 ⑦ ⑥代入④，得 ⑧ ⑥代入⑤，得 所以 即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2 ⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0) 当x1=x2时，AB⊥x轴，易得M(4p,0)仍满足方程. 故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点. 解法二：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b 由OM⊥AB，得k=－ 由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0 所以x1x2= ,消x,得ky2－4py+4pb=0 所以y1y2= ，由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2 所以 =－ ,b=－4kp 故y=kx+b=k(x－4p),用k=－ 代入，得x2+y2－4px=0(x≠0) 故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点. ［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？ 命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点. 错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键. 技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程. 解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切. 建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5 ∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为 =1 ① 同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x－ )2+ y2=1 ② 由①、②可解得 ，∴r= 故所求圆柱的直径为 cm. ●锦囊妙计 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法. (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程. (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求. (3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程. 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 2.(★★★★)设A1、A2是椭圆 =1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 二、填空题 3.(★★★★)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－ ,0),C( ,0)，且满足条件sinC－sinB= sinA,则动点A的轨迹方程为_________. 4.(★★★★)高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题 5.(★★★★)已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程. 6.(★★★★)双曲线 =1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程. 7.(★★★★★)已知双曲线 =1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q. (1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程； (2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率. 8.(★★★★★)已知椭圆 =1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R. (1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程； (2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+ a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值. 参考答案 难点磁场 解：建立坐标系如图所示， 设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0). 设M(x,y）是轨迹上任意一点. 则由题设，得 =λ,坐标代入，得 =λ,化简得 (1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0 (1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴). (2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+ x+a2=0.点M的轨迹是以 (－ ，0）为圆心， 为半径的圆. 歼灭难点训练 一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆. 答案：A 2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0) ∵A1、P1、P共线，∴ ∵A2、P2、P共线，∴ 解得x0= 答案：C 二、3.解析：由sinC－sinB= sinA,得c－b= a, ∴应为双曲线一支，且实轴长为 ,故方程为 . 答案： 4.解析：设P(x,y），依题意有 ,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0. 答案：4x2+4y2－85x+100=0 三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为 =1(y≠0) 6.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y). ∵A1(－a,0),A2(a,0). 由条件 而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2. 即b2(－x2)－a2( )2=a2b2 化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a). 7.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0), 则A1P的方程为：y= ① A2Q的方程为：y=－ ② ①×②得：y2=－ ③ 又因点P在双曲线上，故 代入③并整理得 =1.此即为M的轨迹方程. (2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆. (ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(± ,0)，准线方程为x=± ,离心率e= ； (ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,± ),准线方程为y=± ,离心率e= . 8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ， ∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2| 又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0). |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2. 又 得x1=2x0－c,y1=2y0. ∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2. 故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0) (2)如右图，∵S△AOB= |OA|·|OB|·sinAOB= sinAOB 当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为 a2. 此时弦心距|OC|= . 在Rt△AOC中，∠AOC=45°， 难点23 求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. ●难点磁场 1.(★★★★★)双曲线 =1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________. 2.(★★★★)如图，设圆P满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程. ●案例探究 ［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m. (1)建立坐标系并写出该双曲线方程. (2)求冷却塔的容积(精确到10 m2,塔壁厚度不计，π取3.14). 命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积. 错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键，积分求容积是本题的重点. 技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程，第二问是积分法求体积. 解：如图，建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴. 设双曲线方程为 =1(a＞0,b＞0),则a= AA′=7 又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以有 由题意，知y2－y1=20,由以上三式得：y1=－12,y2=8,b=7 故双曲线方程为 =1. (2)由双曲线方程，得x2= y2+49 设冷却塔的容积为V(m3),则V=π ,经计算，得V=4.25×103(m3) 答：冷却塔的容积为4.25×103m3. ［例2］过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为 的椭圆C相交于A、B两点，直线y= x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程. 命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法， 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 新颖，基础性强，属★★★★★级题目. 知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题. 错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键. 技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理. 解法一：由e= ,得 ,从而a2=2b2,c=b. 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0, 设AB中点为(x0,y0),则kAB=－ ,又(x0,y0)在直线y= x上，y0= x0,于是－ = －1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1. 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′), 由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2= . ∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1. 解法二：由e= ,从而a2=2b2,c=b. 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1), 将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2= ,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－ . 直线l：y= x过AB的中点( ),则 ,解得k=0，或k= －1. 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一. ［例3］如图，已知△P1OP2的面积为 ，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为 的双曲线方程. 命题意图：本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程. 错解分析：利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出 △P1OP2的面积是学生感到困难的. 技巧与方法：利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值. 解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为 =1(a＞0,b＞0) 由e2= ，得 . ∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y= x和y=－ x 设点P1(x1, x1),P2(x2,－ x2)(x1＞0,x2＞0),则由点P分 所成的比λ= =2,得P点坐标为( ),又点P在双曲线 =1上，所以 =1, 即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ① 即x1x2= ② 由①、②得a2=4,b2=9 故双曲线方程为 =1. ●锦囊妙计 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0). 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)已知直线x+2y－3=0与圆x2+y2+x－6y+m=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m等于( ) A.3 B.－3 C.1 D.－1 2.(★★★★)中心在原点，焦点在坐标为(0，±5 )的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为 ，则椭圆方程为( ) 二、填空题 3.(★★★★)直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________. 4.(★★★★)已知圆过点P(4，－2)、Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4 ，则该圆的方程为_________. 三、解答题 5.(★★★★★)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|= ，试求椭圆的方程. 6.(★★★★)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长. 7.(★★★★★)已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2= ,椭圆C2的方程为 =1(a＞b＞0)，C2的离心率为 ，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程. 参考答案 难点磁场 1.解析：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜ , 又∵c2=4+b2＜ ,∴b2＜ ,∴b2=1. 答案：1 2.解法一：设所求圆的圆心为P(a,b），半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a| ∵圆P截y轴所得弦长为2，∴r2=a2+1 又由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,故弦长|AB|= r,故r2=2b2,从而有2b2－a2=1 又∵点P(a,b)到直线x－2y=0的距离d= , 因此，5d2=|a－2b|2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2(a2+b2)=2b2－a2=1, 当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1,从而d取最小值，为此有 , ∵r2=2b2, ∴r2=2 于是所求圆的方程为：(x－1）2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2 解法二：设所求圆P的方程为(x－a)2+(y－b)2=r2(r＞0) 设A(0,y1),B(0,y2)是圆与y轴的两个交点，则y1、y2是方程a2+(y－b)2=r2的两根， ∴y1，2=b± 由条件①得|AB|=2，而|AB|=|y1－y2|,得r2－a2=1 设点C(x1,0)、D(x2,0)为圆与x轴的两个交点，则x1,x2是方程(x－a)2+b2=r2的两个根， ∴x1，2=a± 由条件②得|CD|= r,又由|CD|=|x2－x1|，得2b2=r2,故2b2=a2+1 设圆心P(a,b)到直线x－2y=0的距离为d= ∴a－2b=± d,得a2=(2b± d)2=4b2±4 bd+5d2 又∵a2=2b2－1,故有2b2±4 bd+5d2+1=0.把上式看作b的二次方程， ∵方程有实根. ∴Δ=8(5d2－1)≥0,得5d2≥1. ∴dmin= ,将其代入2b2±4 bd+5d2+1=0, 得2b2±4b+2=0,解得b=±1. 从而r2=2b2=2,a=± =±1 于是所求圆的方程为(x－1)2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2 歼灭难点训练 一、1.解析：将直线方程变为x=3－2y,代入圆的方程x2+y2+x－6y+m=0, 得(3－2y)2+y2+(3－2y)+m=0. 整理得5y2－20y+12+m=0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2) 则y1y2= ,y1+y2=4. 又∵P、Q在直线x=3－2y上， ∴x1x2=(3－2y1)(3－2y2)=4y1y2－6(y1+y2)+9 故y1y2+x1x2=5y1y2－6(y1+y2)+9=m－3=0，故m=3. 答案：A 2.解析：由题意，可设椭圆方程为： =1,且a2=50+b2, 即方程为 =1. 将直线3x－y－2=0代入，整理成关于x的二次方程. 由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75. 答案：C 二、3.解析：所求椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|. 欲使2a最小，只需在直线l上找一点P.使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解. 答案： =1 4.解析：设所求圆的方程为(x－a)2+(y－b)2=r2 则有 由此可写所求圆的方程. 答案：x2+y2－2x－12=0或x2+y2－10x－8y+4=0 三、5.解：|MF|max=a+c,|MF|min=a－c,则(a+c)(a－c)=a2－c2=b2, ∴b2=4,设椭圆方程为 ① 设过M1和M2的直线方程为y=－x+m ② 将②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③ 设M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为(x0,y0), 则x0= (x1+x2)= ,y0=－x0+m= . 代入y=x,得 , 由于a2＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－ , 又|M1M2|= , 代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求椭圆方程为： =1. 6.解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系， 如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4） 设抛物线方程为x2=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5, 于是抛物线方程为x2=－25y. 由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|= (－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米. 7.解：由e= ,可设椭圆方程为 =1, 又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2, 又 =1,两式相减，得 =0, 即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0. 化简得 =－1,故直线AB的方程为y=－x+3, 代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0. 有Δ=24b2－72＞0,又|AB|= , 得 ，解得b2=8. 故所求椭圆方程为 =1. 难点 直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. ●难点磁场 (★★★★★)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|= ，求椭圆方程. ●案例探究 ［例1］如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为 的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积. 命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”.属★★★★★级题目. 知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想. 错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件. 技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算. 解：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0. 由方程组 ,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ① ∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N， ∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0, 解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0) 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2, ∴|MN|=4 . 点A到直线l的距离为d= . ∴S△=2(5+m) ,从而S△2=4(1－m)(5+m)2 =2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2( )3=128. ∴S△≤8 ,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号. 故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8 . ［例2］已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点. (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 命题意图：第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“差分法”，属★★★★★级题目. 知识依托：二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式. 错解分析：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了. 技巧与方法：涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化. 解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=± 时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠± 时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k= 时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点. ②当Δ＞0,即k＜ ,又k≠± ,故当k＜－ 或－ ＜k＜ 或 ＜k＜ 时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点. ③当Δ＜0，即k＞ 时，方程(*)无解，l与C无交点. 综上知：当k=± ,或k= ，或k不存在时，l与C只有一个交点； 当 ＜k＜ ,或－ ＜k＜ ,或k＜－ 时，l与C有两个交点； 当k＞ 时，l与C没有交点. (2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= =2 但渐近线斜率为± ,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在. ［例3］如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC中点的横坐标； (3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围. 命题意图：本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强，属★★★★★级题目. 知识依托：椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法. 错解分析：第三问在表达出“k= y0”时，忽略了“k=0”时的情况，理不清题目中变量间的关系. 技巧与方法：第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围. 解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b= =3. 故椭圆方程为 =1. (2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|= .因为椭圆右准线方程为x= ,离心率为 ，根据椭圆定义，有|F2A|= ( －x1),|F2C|= ( －x2)， 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得 ( －x1)+ ( －x2)=2× ,由此得出：x1+x2=8. 设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0= =4. (3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上. 得 ①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0, 即9× =0(x1≠x2) 将 (k≠0)代入上式，得9×4+25y0(－ )=0 (k≠0) 即k= y0(当k=0时也成立). 由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－ y0=－ y0. 由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得－ ＜y0＜ ,所以－ ＜m＜ . 解法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为 y－y0=－ (x－4)(k≠0) ③ 将③代入椭圆方程 =1,得 (9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0 所以x1+x2= =8,解得k= y0.(当k=0时也成立) (以下同解法一). ●锦囊妙计 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)斜率为1的直线l与椭圆 +y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( ) A.2 B. C. D. 2.(★★★★)抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 二、填空题 3.(★★★★)已知两点M(1， )、N(－4，－ )，给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0, ②x2+y2=3,③ +y2=1,④ －y2=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________. 4.(★★★★★)正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形ABCD的面积为_________. 5.(★★★★★)在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题 6.(★★★★★)已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p. (1)求a的取值范围. (2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值. 7.(★★★★★)已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e= 的双曲线过点P(6，6). (1)求双曲线方程. (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论. 8.(★★★★★)已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A( ，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称. (1)求双曲线C的方程. (2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为 ，试求k的值及此时B点的坐标. 参考答案 难点磁场 解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)， P(x1,y1),Q(x2,y2) 由