第八章 第二节 点、线、面的位置关系
第二节 点、线、面的位置关系
一、 选择题
1.. 如图,正方体的棱线长为1,线段
有两个动点E,F,且,则下列结论中错误的是
(A)
(B)
(C)三棱锥的体积为定值
(D)异面直线所成的角为定值
2. 给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
【解析】选D.
3.在三棱柱中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点是侧面的中
心,则与平面所成角的大小是 ( )
A. B. C. D.
答案:C
【解析】取BC的中点E,则面,,因此与平面
所成角即为,设,则,,
即有.
4.设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
5.C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系,通过对平行和垂直的考查,充分调动了立体几何中的基本元素关系.
【解析】对于A、B、D均可能出现,而对于C是正确的.
6.设m,n是平面 内的两条不同直线,,是平面 内的两条相交直线,则// 的
一个充分而不必要条件是
A.m // 且l // B. m // l 且n // l
C. m // 且n // D. m // 且n // l
【答案】:B
[解析]若,则可得.若则存在
7. 已知正四棱柱中,为中点,则异面直线与
所成的角的余弦值为
A.
B.
C.
D.
解:令则,连∥ 异面直线与所成的角即
与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C
8.若正四棱柱的底面边长为1,与底面成60°角,则
到底面
的距离为 ( )
A. B.1
C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、
直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. (第4题解答图)
属于基础知识、基本运算的考查.
依题意,,如图,
,故选D.
9.已知二面角的大小为,为空间中任意一点,则过点且与平面和
平面所成的角都是的直线的条数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
答案 B
10.在正四棱柱中,顶点到对角线和到平面的距离分别为和,则下列命题中正确的是
A.若侧棱的长小于底面的边长,则的取值范围为(0,1)
B.若侧棱的长小于底面的边长,则的取值范围为
C.若侧棱的长大于底面的边长,则的取值范围为
D.若侧棱的长大于底面的边长,则的取值范围为
C
11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1,则
该三棱柱的高等于
A. B.
C. D.
A
12.正方体ABCD—的棱上到异面直线AB,C的
距离相等的点的个数为(C)
A.2 B.3 C. 4 D. 5
13.平面六面体- 中,既与共面也与共面的棱的条数为【 C 】
A.3 B. 4 C.5 D. 6
14.如图,正四面体的顶点,,分别在两两垂直的三条射线,,上,则在下列命题中,错误的为
A.是正三棱锥
B.直线∥平面
C.直线与所成的角是
D.二面角为
答案 B
15.如图,已知六棱锥的底面是正六边形,,则
下列结论正确的是
A. B.平面
C. 直线∥平面 D.
答案 D
二、填空题
16.如图,在长方形中,,,为的中点,为线段(端
点除外)上一动点.现将沿折起,使平面平面.在平面内过点作,为垂足.设,则的取值范围是 .
答案:
【解析】此题的破解可采用二个极端位置法,即对于F位于DC的中点时,,随着 F点到C点时,因平面,即有,对于,又,因此有,则有,因此的取值范围是
17.对于四面体ABCD,下列命题正确的是_________
(写出所有正确命题的编号)。
eq \o\ac(○,1)相对棱AB与CD所在的直线异面;
eq \o\ac(○,2)由顶点A作四面体的高,其垂足是BCD的三条高线的交点;
eq \o\ac(○,3)若分别作ABC和ABD的边AB上的高,则这两条高所在直线异面;
eq \o\ac(○,4)分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点;
eq \o\ac(○,5)最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。
[解析]①④⑤
18.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的
中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( D )
(A) (B) (C) (D)
解:设的中点为D,连结D,AD,易知即为异面直线与所 成的角,由三角余弦定理,易知.故选D
19.已知二面角α-l-β为 ,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为( C )
(A) (B)2 (C) (D)4
解:如图分别作
,连
,
又
当且仅当,即重合时取最小值。故答案选C。
20.如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,是侧
棱的中点,则异面直线所成的角的大小
是 。
答案
21.如图,若正四棱柱的底面连长为2,高 为
4,则异面直线与AD所成角的大小是______________(结果
用反三角函数表示).
答案
三、解答题
22.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱中,、分别是、的中
点,点在上,。
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)平面平面.
【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系,考查
空间想象能力、推理论证能力。满分14分。
23.(本小题满分14分)
如图6,已知正方体的棱长为2,点是正方形的中心,点
、分别是棱的中点.设点分别是点,在平面内的正投影.
(1)求以为顶点,以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积;
(2)证明:直线平面;
(3)求异面直线所成角的正弦值.
解:(1)依题作点、在平面内的正投影、,则、分别为、的中点,连结、、、,则所求为四棱锥的体积,其底面面积为
,
又面,,∴.
(2)以为坐标原点,、、所在直线分别作轴,轴,轴,得、,又,,,则,,,
∴,,即,,
又,∴平面.
(3),,则,设异面直线所成角为,则.
24.(本小题满分12分)
如图,在五面体ABCDEF中,FA 平面ABCD, AD//BC//FE,ABAD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD
(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(II) 证明平面AMD平面CDE;
(III)求二面角A-CD-E的余弦值。
方法
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一:(Ⅰ)解:由题设知,BF//CE,所以∠CED(或其
补角) 为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中
点,连结EP,PC。因为FEAP,所以FAEP,同理ABPC。
又FA⊥平面ABCD,所以EP⊥平面ABCD。而PC,AD
都在平面ABCD内,故EP⊥PC,EP⊥AD。由AB⊥AD,可
得PC⊥AD设FA=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=,
故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°
(II)证明:因为
(III)
由(I)可得,
25. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,平面,,平分,为的中点,
(1)证明:平面
(2)证明:平面
(3)求直线与平面所成角的正切值
26.(本题满分15分)如图,平面平面,
是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,
,的中点,,.
(I)设是的中点,证明:平面;
(II)证明:在内存在一点,使平面,并求点到,的距离.
证明:(I)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系O,
则,由题意得,因,因此平面BOE的法向量为,得,又直线不在平面内,因此有平面
(II)设点M的坐标为,则,因为平面BOE,所以有,因此有,即点M的坐标为,在平面直角坐标系中,的内部区域满足不等式组,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在内存在一点,使平面,由点M的坐标得点到,的距离为.
27.(本题满分14分)如图,平面,,,,分别为的中点.(I)证明:平面;(II)求与平面所成角的正弦值.
28.(Ⅰ)证明:连接, 在中,分别是的中点,所以, 又,所以,又平面ACD ,DC平面ACD, 所以平面ACD
(Ⅱ)在中,,所以
而DC平面ABC,,所以平面ABC
而平面ABE, 所以平面ABE平面ABC, 所以平面ABE
由(Ⅰ)知四边形DCQP是平行四边形,所以
所以平面ABE, 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP,
所以直线AD与平面ABE所成角是
在中, ,
所以
29.(本小题满分12分)
如图,已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点 。
(I)若平面ABCD ⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦;
(II)用反证法证明:直线ME 与 BN 是两条异面直线。
(I)解法一:
取CD的中点G,连接MG,NG。
设正方形ABCD,DCEF的边长为2,
则MG⊥CD,MG=2,NG=.
因为平面ABCD⊥平面DCED,
所以MG⊥平面DCEF,
可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=,所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 ……6分
30.(本小题满分13分)
如图,ABCD的边长为2的正方形,直线l与平面ABCD平行,g和F式l上的两个不同点,且EA=ED,FB=FC, 和是平面ABCD内的两点,和都与平面ABCD垂直,
(Ⅰ)证明:直线垂直且平分线段AD:
(Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面
体ABCDEF的体积。
【思路】根据空间线面关系可证线线垂直,由分割法可求得多面体体积,体现的是一种部分与整体的基本思想。
【解析】(1)由于EA=ED且
点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.
又ABCD是四方形
线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线
即点EF都居线段AD的垂直平分线上.
所以,直线EF垂直平分线段AD.
(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=1, .
—ABCD
又—BCF=VC-BEF=VC-BEA=VE-ABC
多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD+VE—BCF=
31.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
如图,四棱锥中,底面为矩形,底面, ,点M在侧棱上,=60°
(I)证明:M在侧棱的中点
(II)求二面角的大小。
(I)解法一:作∥交于N,作交于E,
连ME、NB,则面,,
设,则,
在中,。
在中由
解得,从而 M为侧棱的中点M.
解法二:过作的平行线.
解法三:利用向量处理. 详细可见09年高考参考答案.
(II)
分析
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一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。
过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.
分析二:利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点,则点为AM的中点,取SA的中点G,连GF,易证,则即为所求二面角.
分析三:利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线AM垂直的两个向量的夹角即可。
另外:利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等,这些方法也能奏效。
总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。
32.(本小题满分12分)
如图,直三棱柱中,、分别为、的中点,平面
(I)证明:
(II)设二面角为60°,求与平面所成的角的大小。
(I)分析一:连结BE,为直三棱柱,
为的中点,。又平面,
(射影相等的两条斜线段相等)而平面,
(相等的斜线段的射影相等)。
分析二:取的中点,证四边形为平行四边形,进而证∥,,得也可。
分析三:利用空间向量的方法。具体解法略。
(II)分析一:求与平面所成的线面角,只需求点到面的距离即可。
作于,连,则,为二面角的平面角,.不妨设,则.在中,由,易得.
设点到面的距离为,与平面所成的角为。利用,可求得,又可求得
即与平面所成的角为
分析二:作出与平面所成的角再行求解。如图可证得,所以面。由分析一易知:四边形为正方形,连,并设交点为,则,为在面内的射影。。以下略。
分析三:利用空间向量的方法求出面的法向量,则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。
总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。
34.(本小题共14分)
如图,在三棱锥中,底面,
点,分别在棱上,且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;
(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,
∴,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴,
∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,,
∴与平面所成的角的大小.
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时,
故存在点E使得二面角是直二面角.
【解法2】如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系,
设,由已知可得
.
(Ⅰ)∵,
∴,∴BC⊥AP.
又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,
∴,
∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵,
∴.
∴与平面所成的角的大小.
(Ⅲ)同解法1.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
∵,
∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,
∴平面.
(Ⅱ)设AC∩BD=O,连接OE,
由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,
∴O,E分别为DB、PB的中点,
∴OE//PD,,又∵,
∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,
在Rt△AOE中,,
∴,即AE与平面PDB所成的角的大小为.
37.(本小题满分12分,(Ⅰ)问5分,(Ⅱ)问7分)
如题(19)图,在四棱锥中,且;平
面平面,;为的中点,.求:
(Ⅰ)点到平面的距离;
(Ⅱ)二面角的大小.
39 (本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分)
如题(18)图,在五面体ABCDEF中,AB//DC,∠BAD=,CD=AD=2.,四边形ABFE为平行四边形,FA⊥平面ABCD,FC=3,ED=,求:
(Ⅰ)直线AB到平面EFCD的距离:
(Ⅱ)二面角F-AD-E的平面角的正切值,
40.(本小题满分12分)
如图4,在正三棱柱中,
D是的中点,点E在上,且。
(I) 证明平面平面
(II) 求直线和平面所成角的正弦值。
解 (I) 如图所示,由正三棱柱的性质知平面
又DE平面ABC,所以DEAA.
而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA,又DE平面ADE,故平面ADE平面AC CA。
(2)解法1 如图所示,设F使AB的中点,连接DF、DC、CF,由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知ABCD, ABDF
又CDDF=D,所以AB平面CDF,
而AB∥AB,所以
AB平面CDF,又AB平面ABC,故
平面AB C平面CDF。
过点D做DH垂直CF于点H,则DH平面AB C。
连接AH,则HAD是AD和平面ABC所成的角。
由已知AB=A A,不妨设A A=,则AB=2,DF=,D C=,
CF=,AD==,DH==—,
所以 sinHAD==。
即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。
41.(本小题满分12分)
如图3,在正三棱柱ABC-中,AB=4, A=,点D是BC的中点,点E在AC上,且DEE
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)求直线AD和平面所成角的正弦值。
解 (Ⅰ)如图所示,由正三棱柱ABC-的性质知平面
又DE平面ABC,所以DEA.
而DEA,,所以DE⊥平面
又DE 平面,故平面⊥平面
(Ⅱ)解法 1过点A作AF垂直于点
连接DF.由(Ⅰ)知,平面⊥平面,
所以AF平面,故直线AD和
平面所成的角。
因为DE所以DEAC而
ABC是边长为4的正三角形,于是AD=2 AE=4-CE=4- =3
又因为= 所以E= == 4
,
即直线AD和平面所成的角的正弦值为
42.(本小题满分12分)
在四棱锥中,底面是矩形,平面,,. 以的中点为球心、为直径的球面交于点,交于点.
(1)求证:平面⊥平面;
(2)求直线与平面所成的角的大小;
(3)求点到平面的距离.
20.解:
方法一:(1)依题设知,AC是所作球面的直径,则AM⊥MC。
又因为P A⊥平面ABCD,则PA⊥CD,又CD⊥AD,
所以CD⊥平面PAD,则CD⊥AM,所以A M⊥平面PCD,
所以平面ABM⊥平面PCD。
(2)由(1)知,,又,则是的中点可得
,
则
设D到平面ACM的距离为,由即,
可求得,
设所求角为,则,。
(1) 可求得PC=6。因为AN⊥NC,由,得PN。所以。
故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。
又因为M是PD的中点,则P、D到平面ACM的距离相等,由(2)可知所求距离为。
43(本小题满分12分)
如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相
垂直,△是等腰直角三角形,
(I)求证:;
(II)设线段的中点为,在直线上是否存在一点,使得?若存在,请指出点的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由;
(III)求二面角的大小。
(19)本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角
等基础知识,考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识,考察应用向量知识解决数学问题的能力。
解法一:
(Ⅰ)因为平面⊥平面,平面,
平面平面,
所以⊥平面
所以⊥.
因为为等腰直角三角形, ,
所以
又因为,
所以,
即⊥,
所以⊥平面。 ……………………………………4分
(Ⅱ)存在点,当为线段AE的中点时,PM∥平面
取BE的中点N,连接AN,MN,则MN∥=∥=PC
所以PMNC为平行四边形,所以PM∥CN
因为CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
所以PM∥平面BCE ……………………………………8分
(Ⅲ)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知,EA⊥平面ABCD
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA。从而,FG⊥平面ABCD
作GH⊥BD于G,连结FH,则由三垂线定理知,BD⊥FH
因此,∠AEF为二面角F-BD-A的平面角
因为FA=FE, ∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°,∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=.
FG=AF·sinFAG=
在Rt△FGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
GH=BG·sinGBH=·=
在Rt△FGH中,tanFHG= =
故二面角F-BD-A的大小为arctan. ………………………………12分
第一部分 五年高考荟萃
2009年高考题
2005—2008年高考题
一、选择题
1.(2008上海13) 给定空间中的直线L及平面(,条件“直线L与平面(内无数条直线都垂直”是“直线L与平面(垂直”的( )条件
A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要
答案 C
2.(2008天津5)设是两条直线,是两个平面,则的一个充分条件是( )
A. B.
C. D.
答案 C
3.(2008安徽4)已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
4.(2008湖南5)设有直线m、n和平面、.下列四个命题中,正确的是( )
A.若m∥,n∥,则m∥n
B.若m,n,m∥,n∥,则∥
C.若,m,则m
D.若,m,m,则m∥
答案 D
5.(2008全国Ⅰ11)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值等于 ( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
6.(2008全国Ⅱ10)已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等,是 的中点,则所成的角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
7.(2008四川9)设直线平面,过平面外一点与都成角的直线有且只有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案 B
8.(2008湖南9)长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上,且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是( C )
A.2 B.
C.
D.
答案 C
9.(2008陕西9)如图,到的距离分别是 和,与所成的角分别是和,在内的射影分别是和,若,则( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
11. (2007北京理•3)平面平面的一个充分条件是( )
A.存在一条直线
B.存在一条直线
C.存在两条平行直线
D.存在两条异面直线
答案 D
12. ( 2007安徽理•2)设,,均为直线,其中,在平面内,“”是且“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案
13.(2007福建理•8)已知,为两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
答案 D
14.(2007湖北理•4)平面外有两条直线和,如果和在平面内的射影分别是和,给出下列四个命题:
①⊥⊥; ②⊥⊥;
③与相交与相交或重合; ④与平行与平行或重合;
其中不正确的命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
15.(2007江苏理•4)已知两条直线,两个平面,给出下面四个命题:
① ②
③ ④
其中正确命题的序号是( )
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
答案 C
16.(2007全国Ⅰ理•7)如图,正四棱柱中,,
则异面直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 D
17.(2007福建理•10)顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=,则A、C两点间的球面距离为 ( )
A . B. C . D.
答案 B
18.(2007四川理•4)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是( )
A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1 D.异面直线AD与CB1角为60°
答案 D
19. (2006福建)对于平面和共面的直线m、n,下列命题中真命题是( )
A. 若m⊥,m⊥n,则n∥ B. 若m∥,n∥,则m∥n
C. 若m,n∥,则m∥n D. 若m、n与所成的角相等,则n∥m
答案 C
20. (2006广东)给出以下四个命题:
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行,
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
答案 B
21. (2006湖南卷)过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( )
A.4条 B.6条 C.8条 D.12条
答案 D
22.(2006全国II)如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面
α、β所成的角分别为EQ \f(π,4) 和 EQ \f(π,6),过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足
为A′、B′,则AB∶A′B′=( )
A. 2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3
答案 A
23. (2006重庆卷) 对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l
A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线
答案 C
24.(2005上海春13) 已知直线及平面,下列命题中的假命题是 ( )
A. 若,,则 B. 若,,则
C. 若,,则 D. 若,,则
答案 D
25.(2005上海14)若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的
( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
答案 A
二、填空题
26.(2008陕西14)长方体的各顶点都在球的球面上,其中.两点的球面距离记为,两点的球面距离记为,则的值为 .
答案
27.(2008全国Ⅰ16)等边三角形与正方形有一公共边,二面角的余弦值为,分别是的中点,则所成角的余弦值等于 .
答案
28.(2008安徽16)已知在同一个球面上,若,则两点间的球面距离是 .
答案
29.(2008辽宁14)在体积为的球的表面上有A,B,C三点,AB=1,BC=,A,C两点的球面距离为,则球心到平面ABC的距离为_________.
答案
30.(2007四川理•14)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为,
底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 .
答案
31.(2007浙江理•16)已知点O在二面角的棱上,点P在内,且 。若对于内异于O的任意一点Q,都有,则二面角的大小是_______。
答案
三、解答题
32.(2008北京16)如图,在三棱锥中,,,,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
(Ⅰ)证明 取中点,连结.
,
.
,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ)解 ,,
.
又,
.
又,即,且,
平面.
取中点.连结.
,.
是在平面内的射影,
.
是二面角的平面角.
在中,,,,
.
二面角的大小为.
(Ⅲ)解 由(Ⅰ)知平面,
平面平面.
过作,垂足为.
平面平面,
平面.
的长即为点到平面的距离.
由(Ⅰ)知,又,且,
平面.
平面,
.
在中,,,
.
.
点到平面的距离为.
第二部分 三年联考汇编
2009年联考题
一、 选择题
1.(山东省平邑第一中学2009届高三元旦竞赛试题)设是空间三条直线,是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是 ( )
A.当时,若,则
B.当时,若,则
C.当,且c是a在内的射影时,若,则
D.当,且时,,则
答案 B
2. (厦门市第二外国语学校2008—2009学年高三数学第四次月考)设是两条直线,是两个平面,则的一个充分条件是 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
3. (2009届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)在正方体中,是的中点,则异面直线与所成的角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
答案 C
4. (四川省成都市2009届高三入学摸底测试) 如图,在正方体中,若E是AD的中点,则异面直线与所成角的大小是 ( )
A. B. C. D.
答案 D
5. (安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)是两个不重合的平面,在下列条件中,可判断平面平行的是 ( )
A.是平面内两条直线,且
B.内不共线的三点到的距离相等
C.都垂直于平面
D.是两条异面直线,,且
答案 D
6. (四川省成都市高中数学2009级九校联考)设地球的半径为,若甲地位于北纬东经,乙地位于南纬东经,则甲、乙两地的球面距离为 ( )
A. B. C. D.
答案 D
7. (广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)在正方体中, 为的棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值是 ( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
8. (广东省湛江师范学院附中2009年高考模拟试题)已知直线是异面直线,直线分别与都相交,则直线的位置关系
A.可能是平行直线 B.一定是异面直线
C.可能是相交直线 D.平行、相交、异面直线都有可能
答案 C
9. (安徽省巢湖市2009届高三第一次教学质量检测)下列命题不正确的是( )
A.为垂足,且与不重合,则为与平面所成的角
B.则为二面角α-l-β的平面角
C.为垂足,则为直线到平面的距离
D.,则为平面α与平面β的距离
答案 C
10. (浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题(理))设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是( )
A、若,则 B、若则
C、若,则 D、若则
答案 C
二、填空题
11. (广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考)给出下面四个命题:
①过平面外一点,作与该平面成角的直线一定有无穷多条
②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行
③对确定的两异面直线,过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行
④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等
其中正确的命题序号为 .
答案 ② ④
12. (四川省成都市高2009届高中毕业班第一次诊断性检测)设地球半径为R,甲、乙两地均在本初子午线(0°经线)上,且甲地位于北纬40°,乙地位于南纬80°,则甲乙两地的球面距离为___________________.
答案 EQ \f(2πR,3)
13. (四川省成都市新都一中高2009级数学理科12月考试题)正三棱锥的高为2,侧棱与底面ABC所成角为,则点到侧面的距离是 .
答案
14. (四川省成都市新都一中12月月考)在120°的二面角内放置一个半径为5的小球,它与二面角的两个面相切于A、B两点,则这两个点在球面上的距离为___________________.
答案 EQ \f(5π,3)
15. (安徽省合肥市高三年级第一次质检)如图,正方体,则下列四个命题:
①在直线上运动时,三棱锥的体积不变;
②在直线上运动时,直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;
③在直线上运动时,二面角的大小不变;
④M是平面上到点D和距离相等的点,则M点的轨迹是过点 的直线
其中真命题的编号是 .(写出所有真命题的编号)
答案 ①③④
9月份更新
1.(2009泰安一模)已知m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是
(A)若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β (B)若m∥n,mn,nβ,则α∥β
(c)若m∥n,m∥α,则n∥α (D)若n⊥α,n⊥α,则α∥β
答案 D
2.(2009上海十校联考)如图,设是棱长为的正方体的一个顶点,过从此顶点出发的三条棱的中点作截面,对正方体的所有顶点都如此操作,所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体,则关于此多面体有以下结论:①有个顶点;②有条棱;③有个面;④表面积为;⑤体积为.其中正确的结论是____________.(要求填上所有正确结论的序号)
答案 ①②⑤
3. (20009枣庄一模)如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,,E是CD的中点,
(1)证明:平面平面PAB;
(2)求二面角A—BE—P的大小。
解:(1)如图,连结BD,由四边形ABCD是菱形且知,
BCD是等边三角形,
E是CD的中点,
而AB//CD, 2分
又平面ABCD,
而呵呵平面PAB。 4分
又平面PAB。 6分
(2)由(1)知,平面PAB,所以
又是二面角A—BE—P的平面角 9分
平面ABCD,
在
故二面角A—BE—P的大小是 12分
4.(2009上海十四校联考)如图,三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点
(1)求异面直线AE和PB所成角的大小;
(2)求三棱锥A—EBC的体积
解:(1)取BC的中点F,连接EF、AF,则EF//PB,
所以∠AEF就是异面直线AE和PB所成角或其补角;
……………3分
∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,
所以异面直线AE和PB所成角的大小为
………………8分
(2)因为E是PC中点,所以E到平面ABC的距
离为 …………10分
…………12分
5.(本题满分12分)如图,在棱长为2的正方体中,E是BC1的中点.求直线DE与平面ABCD所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
解】过E作EF⊥BC,交BC于F,连接DF.
∵ EF⊥平面ABCD,
∴ ∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角. ……………4分
由题意,得EF=
∵ …………………………..8分
∵ EF⊥DF, ∴ ……………..10分
故直线DE与平面ABCD所成角的大小是….12分
2007—2008年联考题
一、选择题
1. (2008江苏省启东中学高三综合测试三) 设b、c表示两条直线,、表示两个平面,下列命题中真命题是
A.若b,c∥,则b∥c
B.若b,b∥c,则c∥
C.若c∥,c⊥,则⊥
D.若c∥,⊥,则c
答案 C
2. (安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)设是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题
①;②;③;④;
其中正确的命题是( )
A.①④
B.②③
C.①③ D.②④
答案 C
3. (安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知为长 方体,对角线与平面相交于点G,则G与的( )
A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心
答案 B
4. (江西省五校2008届高三开学联考)已知直线、,平面、,给出下列命题:
①若,且,则 ②若,且,则
③若,且,则 ④若,且,则
其中正确的命题是
A..①③ B. ②④ C. ③④ D. ①
答案 D
5. (安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试) 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为 ( )
A.
B. C.
D.
答案 C
6. (安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)若二面角为,直线,直线,则直线与所成的角取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
7. (湖北省鄂州市2008年高考模拟)在正三棱锥中,相邻两侧面所成二面角的取值范围是( )
A. B.
C.(0,)
D.
答案 A
二、填空题
8. (2007岳阳市一中高三数学能力训练)已知直线和平面,试利用上述三个元素并借助于它们之间的位置关系,构造出一个判断⊥ 的真命题 .
答案 ⊥ 或 ⊥
三、解答题
9.(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求到平面的距离;
(Ⅲ)求二面角的大小.
(Ⅰ)证明 ∵平面,∴平面平面,
又,∴平面, 得,又,
∴平面.
(Ⅱ)解 ∵,四边形为菱形,故,
又为中点,知∴.取中点,则
平面,从而面面,
过作于,则面,在中,,故,即到平面的距离为.
(Ⅲ) 解 过作于,连,则,从而为二面角的平面角,在中,,∴,
在中,,故二面角的大小为.
C
A
P
D
B
C
A
P
B
C
A
� EMBED Equation.DSMT4 ���
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l
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A
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34
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