金融风险管理计算题
1( 一个银行在下一年盈利的回报服从正态分布。期望回报为整体资产的0.6%,而
标准
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差为整体资产的1.5%。银行的权益资本占整体资产的4%,在忽略税收的情况下,银行在下一年仍有正的权益资本的概率为多大,
于银行的权益资本占整体资产的4%,因此银行在下一年仍有正的权益 解: 由
资本的概率对应于银行的盈利大于资产的-4%的概率。
设 银行在下一年的盈利占总体总产的比例为X,则X大于资产的-4%的概率为,由于银行在下一年的盈利的回报服从正态分布,由题意有:
即银行股票为正的概率为N(3.067),其中N为标准正态分布,查
表
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的其解为99.89%,因此在忽略税收的情况下,银行在下一年仍有正的权益资本的概率为99.89%。
2( 股票的当前市价为94美元,同时一个3个月期的、执行价格为95美元的欧式期权价格为4.70美元,一个投资人认为股票价格会涨,但他并不知道是否应该买入100股股票或者买入2000个(相当于20份合约)期权,这两种投资所需资金均为9400美元。在此你会给出什么建议,股票价格涨到什么水平会使得期权投资盈利更好,
解 : 设 3个月以后股票的价格为X美元(X>94)
(1)当美元时,此时股票价格小于或等于期权执行价格,考虑到购买期权的费用,应投资于股票。
(2)当美元时,投资于期权的收益为:美元,投资于股票的收益为美元
)令
解得X = 100美元
给出的投资建议为:
若3个月以后的股票价格:美元,应买入100股股票; 若3个月以后的股票价格X=100美元,则两种投资盈利相同;
若3个月以后股票的价格:美元,应买入2000个期权,在这种价格下会使得期权投资盈利更好。
3( 某银行持有USD/EURO汇率期权交易组合,交易组合的Delta为30000,Gamma为-80000,请解释这些数字的含义。假设当前汇率(1欧元所对应的美元数量)为0.90,你应该进行什么样的交易以使得交易组合具备Delta中性,在某段时间后,汇率变为0.93。请估计交易组合新的Delta。此时还要追加什么样的交易才能保证交易组合的Delta呈中性,假如最初银行实施Delta中性策略,汇率变化后银行是否会有损益,
解:Delta的数值说明,当欧元汇率增长0.01时,银行交易价格会增长
美元;Gamma的数值说明,当欧元价格增长0.01美元时,交易组合的Delta会下降美元。
为了做到Delta中性,应卖出30000欧元。
当汇率增长到0.93时,期望交易组合的Delta下降为(0.93-0.90)
组合的价值变为27600,为了维持Delta中性,银行应该对2400数量欧元短头寸进行平仓,这样可以保证欧元净短头寸为27600。
当一个交易组合的Delta为中性,同时Gamma为负,资产价格有一个较大变动时会引发损失。这时的结论是银行可能会蒙受损失。
4( 假设某两项投资中的任何一项都有4%的可能触发损失1000万美元,有2%的可能触发损失100美元,并且有94%的概率盈利100万美元,这两项投资相互独立。
(1) 对应于在95%的置信水平下,任意一项投资的VaR是多少,
(2) 选定95%的置信水平,任意一项投资的预期亏损是多少,
(3) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的VaR
是多少,
(4) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的预
期亏损是多少,
(5) 请说明此例的VaR不满足次可加性条件,但是预期亏损满足次可加性条
件。
解:(1)对应于95%的置信水平,任意一项投资的VaR为100万美元。
分布中,有4%的概率损失1000 (2)选定95%的置信水平时,在5%的尾部
万美元,1%的概率损失100万美元,因此,任一项投资的预期亏损是
万美元5%5%
的概率 (3)将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有
损失2000万美元,有的概率损失200万美元,有
4=0.8836的概盈利200万美元,有的概率损失1100万美元,有的概率损失900万美元,有
的概率不亏损也不盈利,由于
0.95=0.8836++0.0376+0.0004+0.0284,因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的VaR是900万美元。
(4)选定95%的置信水平时,在5%的尾部分布中,有0.16%的概率损失2000万美元,有0.16%的概率损失1100万美元,有4.68%的概率损失900万美元,因此,两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的预期亏损
4.68%0.16%0.16%是万美元5%5%5%(5)由于
,因此VaR不满足次可加性条件,
,因此预期亏损满足次可加性条件。
5( 一家银行在下一年的盈利服从正态分布,其期望值和标准差分别为资产的
0.8%和2%。对应于
(1) 在99,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少,
(2) 在99.9,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少,
分析
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中忽略税收。
解:(1)设 在99%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为A,银行在下一年的盈利占资产的比例为X,由于盈利服从正态分布,因此银行在99%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为:,由此可得
,解得A=3.86% 2%
即在99,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为3.86%。
(2)设 在99.9%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为B,银行在下一年的盈利占资产的比例为Y,由于盈利服从正态分布,因此银行在查表得99.9%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为:,由此可得
查表得,解得B=5.4% 2%
即在99.9,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为5.4%。
6( 股票的当前市价为94美元,同时一个3个月期的、执行价格为95美元的欧式期权价格为4.70美元,一个投资人认为股票价格会涨,但他并不知道是否应该买入100股股票或者买入2000个(相当于20份合约)期权,这两种投资所需资金均为9400美元。在此你会给出什么建议,股票价格涨到什么水平会使得期权投资盈利更好,
解 : 设 3个月以后股票的价格为X美元(X>94)
(1)当美元时,此时股票价格小于或等于期权执行价格,考虑到购买期权的费用,应投资于股票。
(2)当美元时,投资于期权的收益为:美元,
投资于股票的收益为美元
令
解得X = 100美元
给出的投资建议为:
若3个月以后的股票价格:美元,应买入100股股票; 若3个月以后的股票价格X=100美元,则两种投资盈利相同;
若3个月以后股票的价格:美元,应买入2000个期权,在这种价格下会使得期权投资盈利更好。
7( 一金融机构持有以下场外期权交易组合,基础资产为英镑:
期权
种类
看涨
看涨
看跌
看跌 头寸 数量 -1000 -500 -2000 -500 期权的 期权的 期权的 Delta 0.50 0.80
-
某交易所交易期权的Delta为0.6,Gamma为1.5,Vega为0.8。
(1) 用多少交易所期权可以使场外交易同时达到Gamma及Delta中性,这
时采用的交易是多头头寸还是空头头寸,
(2) 采用什么及多少交易所交易期权可以使场外交易组合同时达到Vega
以及Delta中性,交易应该为多头头寸还是空头头寸,
解:根据
表格
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信息可以得出组合资产的头寸数量为
-(1000+500+2000+500)=-4000;
组合的Delta=(----0.4)+(--450;
同理可得组合的Gamma=-6000;组合的Vega=-4000;
(a)为达到Gamma中性,需要在交易组合中加入份期权,加入期权后的Delta为,因此,为保证新的交易组合的Delta中性,需要卖出1950份英镑。为使Gamma中性采用的交易是长头寸,为使Delta中性采用的交易是短头寸。
份期权,加入期 (b)为达到Vega中性,需要在交易组合中加入
权后的Delta为,因此,为保证新的交易组合的Delta中性,需要卖出2550份英镑。为使Vega中性采用的交易是长头寸,为使Delta中性采用的交易是短头寸。
9%的可能触发损失1000万美元,有 8( 假设某两项投资中的任何一项都有0.
99.1%的可能触发损失100美元,并且有正收益的概率均为0,这两项投资相互独立。
(6) 对应于在99%的置信水平下,任意一项投资的VaR是多少,
(7) 选定99%的置信水平,任意一项投资的预期亏损是多少,
(8) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的VaR
是多少,
(9) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的预
期亏损是多少,
(10) 请说明此例的VaR不满足次可加性条件,但是预期亏损满足次可加
性条件。
解:(1)对应于99%的置信水平下,任意一项投资的VaR是100万美元。
在1%的尾部分布中,有0.9%的概率损失1000 (2)选定99%的置信水平时,
万美元,0.1%的概率损失100万美元,因此,任一项投资的预期亏损是
万美元1%1%
(3)将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有的概率损失为2000万美元,有的概率损失为200万美元,有的概率损失为1100万美元,由于
99%=98.2081%+0.7919%,因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的VaR是1100万美元。
(4)选定99%的置信水平时,在1%的尾部分布中,有0.0081%的概率损失2000万美元,有0.9919%的概率损失1100万美元,因此两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的预期亏损是
万美元0.010.01
(5)由于,因此VaR不满足次可加性条件,
,因此预期亏损满足次可加性条件。
9( 一家银行在下一年的盈利服从正态分布,其期望值和标准差分别为资产的0.8%和2%。对应于
(3) 在99,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少,
(4) 在99.9,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少, 分析中忽略税收。
解:(1)设 在99%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为A,银行在下一年的盈利占资产的比例为X,由于盈利服从正态分布,因此银行在99%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为:,由此可得
,解得A=3.86% 2%
即在99,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为3.86%。
(2)设 在99.9%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为B,银行在下一年的盈利占资产的比例为Y,由于盈利服从正态分布,因此银行在查表得99.9%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为:,由此可得
查表得,解得B=5.4% 2%
即在99.9,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为5.4%
10( 一个交易员在股票价格为20美元时,以保证金形式买入200股股票,
初始保证金要求为60%,维持保证金要求为30%,交易员最初需要支付的保证金数量为多少,股票在价格时会产生保证金催付,
解:(1)由题目条件可知,初始股票价格为20美元,购入了200股股票,那么初始股票价值为美元,初始准备金为美元.
(2)设 当股票价格跌至X美元时产生准备金催款
当股票价格下跌至X美元时,股票价值为200X,则股票价值下跌了 美元
此时保证金余额为 美元,又已知维持保证金为30%,则有:
美元 解得
11( 某银行持有USD/EURO汇率期权交易组合,交易组合的Delta为30000,
Gamma为-80000,请解释这些数字的含义。假设当前汇率(1欧元所对应的美元数量)为0.90,你应该进行什么样的交易以使得交易组合具备Delta中性,在某段时间后,汇率变为0.93。请估计交易组合新的Delta。此时还要追加什么样的交易才能保证交易组合的Delta呈中性,假如最初银行实施Delta中性策略,汇率变化后银行是否会有损益,
解:Delta的数值说明,当欧元汇率增长0.01时,银行交易价格会增长
美元;Gamma的数值说明,当欧元价格增长0.01美元时,交易组合的Delta会下降美元。
为了做到Delta中性,应卖出30000欧元。
当汇率增长到0.93时,期望交易组合的Delta下降为(0.93-0.90)组合的价值变为27600,为了维持Delta中性,银行应该对2400数量欧元短头寸进行平仓,这样可以保证欧元净短头寸为27600。
当一个交易组合的Delta为中性,同时Gamma为负,资产价格有一个较大变动时会引发损失。这时的结论是银行可能会蒙受损失。
12( 组合A是由一个一年期,面值为2000美元零息债券及一个10年期,面值为6000美元的零息债券组成。组合B是由5.95年期,面值为5000美元的债券组成,当前所有债券年收益率为10%(连续复利)。
(1) 证明两个组合具有相同的久期。
(2) 证明如果收益率有0.1%上升,两个组合价值变化同利率变化的百分
比相同。
(3) 如何收益率上升5%,两种组合价值变化同利率变化的百分比为多
少,
解:(1)对于组合A,一年期债券的现值,十年其债券的现值
组合A的久期为
由于组合B的久期亦为5.95,因此两个组合的久期相等
(2)因为收益率上升了0.1%,上升幅度比较小,因此A,B组合价值的变化可以分别由以下
公式
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表示:
所以有
由(1)可知组合A与组合B的久期相等,因此两个组合价值变化同利率变化的百分比相同。
(3)因为收益率上升了5%,上升幅度较大,因此A,B组合价值的变化11可分别表示为:
所以有
可以计算得到组合A的曲率为
组合B的曲率为5000
分别把数据代入公式,计算得到
因此,如果收益率上升5%,两种组合价值变化同利率变化的百分比分别为-4.565和-5.065.